1
VISOKA EKONOMSKA ŠKOLA STRUKOVNIH
STUDIJA PEĆ u KRALjEVU
SEMINARSKI RAD
Predmet-Matematika
Tema-MATRICE
Mentor Student
mr.Vesna Simović Veselin Petrović
broj indeksa 71026/17
Kraljevo mart,2018
2
SADRŽAJ:
Uvod
Determinanta matrice
Osobine determinante
Računske operacije sa matricama
Inverzna matrica
Način računanja inverzne matrice
Primer računanja inverzne matrice
Recipročna matrica i transponirana recipročna matrica
Rang matrice
Elementarne transformacije matrice
Primer računanja ranga matrice
Matrične jednačine
Primer matričnih jednačina
Primena matričnih jednačina
Primer primene matričnih jednačina
Literatura
4
A
=
[
a
11
0 ...
0
0
a
22
...
0
... ... ... ...
0
0 ...
a
MN
]
Ovo su neki od osnovnih pojmova koje trebamo znati da bismo lakše rešili matričnu
jednačinu ali da bi se ona rešila potrebno je izračunati njenu determinantu, inverznu matricu te
rang matrice.
DETERMINANTA MATRICE
Determinanta je u matematici izraz predočen kvadratnom šemom u kojoj je poredano
n
2
članova u n vrsta i n kolona i to je determinanta n-tog reda
.
Smatrat ćemo da je determinanta kvadratne matrice A
∈
R
NxN
realan broj pridružen toj matrici.
Označavat ćemo ga sa det A ili
|
A
|
. Determinanta se pridružuje isključivo kvadratnoj matrici.
Ukoliko je matrica formata NxN, za determinantu pridruženu toj matrici kažemo da je reda N.
Neka je
A
=
[
a b
c d
]
proizvoljna matrica formata 2x2.
Po definiciji je
|
A
|=
[
a b
c d
]
=
ad
−
bc
.
Dakle, determinanta drugog reda se izračunava tako što se od proizvoda elemenata na
glavnoj dijagonali (ad) oduzme proizvod elemenata na sporednoj dijagonali (bc) te
determinante.
Neka je
A
=
[
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
a
3
b
3
c
3
]
proizvoljna matrica formata 3x3.
5
Determinantu matrice A ćemo izračunati na sedeći način:
s desne strane determinante ćemo dopisati prve dvije kolone matrice A
a zatim množimo elemente na tri glavne dijagonale, saberemo
i od tog zbira oduzmemo zbir elemenata sa tri sporedne dijagonale.
Imamo:
A
=|
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
a
3
b
3
c
3
|
a
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
=(
a
1
b
2
c
3
+
b
1
c
2
a
3
+
c
1
a
2
b
3
)−(
b
1
a
2
c
3
+
a
1
c
2
b
3
+
c
1
b
2
a
3
)
Osobine determinanti
Ukoliko u determinanti postoji dosta nula lakše je izračunati njihovu vrijednost. Ovo su neke
osobine determinanti pomoću kojih ih je lakše izračunati.
Za svaku kvadratnu matricu A je det A= det AT.
Ako su u matrici A elementi jedne vrste ili kolone jednaki ili proporcionalni elementima
druge vrste ili kolone, determinanta je jednaka nuli
Determinanta se množi (deli) brojem različitim od nule tako da se elementi jedne vrste
ili kolone determinante pomnože (podele) tim brojem
Ako dve vrste ili kolone zamene mesta, determinanta menja predznak
Vrednost determinante ostaje ne promenjena ukoliko sve elemente neke vrste ili kolone
pomnožimo sa nekim realnim brojem i saberemo sa odgovarajućim elementima neke
druge vrste ili kolone.
Za kvadratne matrice A i B, istog formata, vredi det(AxB)= det Axdet B.
RAČUNSKE OPERACIJE SA MATRICAMA
Sabiranje
Pod sabiranjem dvu (m,n) materica A i B podrazumeva se (m,n) matrica C. Moguće je sabirati
samo matrice koje imaju isti broj vrsta i kolona. Matrica dobijena sabiranjem ima isti broj vrsta i
kolona kao polazna matrica.
C=(A+B),
Onda: c
ik
=a
ik
+b
ik
(i=1, …., m; k=1, …., n).
Za sabiranje matrica vrijede zakoni komutacije i asocijacije.
(A+B)=(B+A) (komutacija),
