Visoka ekonomska škola strukovnih studija Peć u Žiči
Kraljevo
Seminarski rad
Predmet
: Matematika
Tema
:
Izvod funkcije
Profesor: Vesna Simović
Student: Marko Markovic (92/55)
Septembar, 2017.godine.
SADRŽAJ
I.
UVOD.................................................................................................................1.
II.
TEMA RADA....................................................................................................2.-4.
2.1 Priraštaj funkcije
2.2 Tangenta funkcije
2.3 Pojam izvoda funkcije
III.
TEOREME.........................................................................................................5-8.
3.1
Neprikladnost funkcije
3.2 Teorema 1
3.3
Teorema 2
3.4 Teorema 3
3.5 Teorema 4
IV.
PRIMERI .........................................................................................................9-13.
4.1 Izvod linearne funkcije f(x)=ax+b
4.2 Primeri
V.
LITERATURA…................................................................................................13.
II TEMA RADA
2.1 Priraštaj funkcije
Posmatrajmo (neprekidnu) krivu u
xOy
ravni, zadatu jednačinom
y
=
f
(
x
)
. Neka je
M
0
(
x
0
,
y
0
)
proizvoljna fiksirana tačka na toj krivoj .
Da bismo definisali pojam tangente date krive u tački
M
0
, posmatrajmo još jednu tačku
M
1
(
x
,
y
)
te krive, različitu od
M
0
. Pravu
M
1
M
0
zvaćemo
sečicom
date krive. Nagib te krive, određen je
njenim
koeficijentom pravca
koji je jednak:
tg α
=
k
=
y
−
y
0
x
−
x
0
Ako uzmemo u obzir da je
y
0
=
f
(
x
0
)
i
y
=
f
(
x
)
, prethodnu formulu možemo napisati u obliku
k
=
f
(
x
)−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
Izraz u imeniocu ovog razlomka označavaćemo sa
Δ
x
i zvaćemo priraštajem nezavisne
promenljive,
Δ
x
=
x
−
x
0
, a izraz u brojiocu označavaćemo sa
Δ
y
ili
Δ
f
(
x
)
i zvaćemo priraštajem
zavisno promenljive , odnosno
priraštajem funkcije
f u tački
x
0
, generisanim priraštajem
Δ
x
:
Δ
f
(
x
)=
f
(
x
)−
f
(
x
0
)=
f
(
x
0
+Δ
x
)−
f
(
x
0
)
Tada možemo pisati
k
=
Δf
(
x
0
)
Δx
tj. koeficijent pravca sečice je količnik priraštaja funkcije i priraštaja nezavisno promenljive.
2.2 Tangenta funkcije
Pretpostavimo sada da se tačka
M
1
, ostajući na datoj krivoj, približava tački
M
0
. Zbog
pretpostavke o neprekidnosti funkcije
y
=
f
(
x
)
, to znači da
x
teži
x
0
i
y
teži
y
0
, tj. da priraštaji
Δ
x
i
Δ
f
(
x
)
teže nuli. Ako pri tome postoji granični položaj sečice
M
1
M
0
, tj. ako izraz
k
teži nekoj
odrđenoj vrednosti
k
0
=tan
α
0
, tu graničnu vrednost nazvaćemo tangentom
grafika funkcije
y
=
f
(
x
)
u tački
M
0
. Dakle,
tg α
=
k
0
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
=
lim
x
→
x
0
Δf
(
x
0
)
Δx
.
Tu graničnu vrednost označavaćemo sa
y
′
(
x
0
)
ili
f
′
(
x
0
)
(čita se:" ipsilon prim od iks nula",
osnosno "ef prim od iks nula") i zvaćemo
izvodom funkcije f tački
x
0
.
Ako ona postoji (i konačna
je), tangenta krive
y
=
f
(
x
)
u tački
M
0
imaće jednačinu
y
−
y
0
=
f
′
(
x
0
)(
x
−
x
0
).
