MATRICE I DETERMINANTE
Pojam matrice
U matematici matrica je pravougaona tabela brojeva ili tabela koja se sastoji od apstraknih
objekata koji se mogu sabrati i množiti.Matrice se koriste da opišu linearne jednačine, da se
prate koeficijenti linearnih transformacija, kao i za čuvanje podataka koji zavise od dva
parametra.
(slika 1) Osnovni elementi matrice
Horizentalne linije u matrici se nazivaju vrstama, a vertikalne kolonama matrice.Matrice
m
vrsta
i
n
kolona , naziva se
m i n
matricom ( kaže se i zapisuje se da je formata
m
x
n
) a
m
i
n
su
dimenzije matrice.
Pod matricom tipa (formata)
m
x
n
nad skupom ( brojeva) P podrazumevamo funkciju koja
preslikava Dekartov proizvod A:
{
1,2
, … m
}
x
{
1,2,… n
}
u P.
Matrice obeležavamo velikim slovima latinice sa ili bez indeksa.Prema tome
A:
{
1,2
, … m
}
x
{
1,2
, … n
}
→P
Pri čemu se uređeni par (
i , j
)
preslikava u element matrice
a
ij
A(
i , j
)
=
a
ij
( (
i , j
)
∈
{
1,2
, … m
}
x
{
1,2
, … n
}
)
Elementi matrice A formata
m i n
se razvrstavaju u
m
vrsta i
n
kolona tako što element
a
ij
pripada
i
-toj vrsti i
j
-toj koloni.Vrste i kolone elemenata matrice A zapisuju se između uglastih
zagrada:
2
A =
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
¿
¿
a
m
1
¿
⋯
¿
a
mn
¿
]
Matrica A formata
m
x
n
može se zapisati i kraće kao
A=
[
a
ij
]
mxn
Matrica čiji su svi elementi jednaki nuli naziva se nulta matrica.Obeležava se sa
0
m x n
ili samo 0.
Matrica sa istim brojem vrsta i kolona , dokle matrica u kojoj je
m
=
n
, odnosno matrica
n × n
naziva se kavadratnom jednačinom reda
n
.
Dve matrice A i B nad skupom P su jednake ako su istog tipa i ako su im odgovarajući elementi
jednaki.Naime, ako su date matrice A=
[
a
ij
]
mxn
i B=
[
b
ij
]
mxn
onda je
A=B
⟺
A(
i , j
)(
a
ij
=
b
ij
,
i
=
1,2
, … , m ; j
=
1,2
, … , n
)
Ako je matrica A=
[
a
ij
]
kvadratna onda je pod njenom glavnom (padajućom) dijagonalom
podrazumevamo uređenu
n
-torku (
a
11
,
a
22
, … a
nn
) ,a pod sporednom uređenu
n
-torku (
a
n
1
,
a
n
−
12
,
, … a
1
n
).
Za kvadratnu matricu kažemo da je dijagonalna ako su svi njeni elementi van glavne dijagonale
jednaki 0.
D =
[
d
1
¿
0
d
2
¿ ¿¿
0
¿¿¿
d
n
¿
]
Ako su elementi dijagonalne matrice jednaki onda se takva dijagonalna matrica naziva se
skalarnom matricom.
3
A+B =
[
a
ij
]
mxn
+
[
b
ij
]
mxn
=
[
a
ij
+
b
ij
]
mxn
Sabiranje matrica je komutativno i asocijativno
A+B=B+A
(A+B)+C= A + (B + C)
Neutralni element za sabiranje matrica tipa
m x n
je nula matrica tipa
m x n
.
Primer 1 :
Ako su date matrice A i B , dimenzija
m
- sa –
n
, njihov zbir A+B je
m
-sa –
n
matrica izračunata
sabiranjem odgovarajućih elemenata (t.j. (A+B)
[
i , j
]
=A
[
i , j
]
+B
[
i , j
]
).
[
1 3 2
1 0 0
1 2 2
]
+
[
0 0 5
7 5 0
2 1 1
]
=
[
1
+
0 3
+
0 2
+
5
1
+
7 0
+
5 0
+
0
1
+
2 2
+
1 2
+
1
]
=
[
1 3 7
8 5 0
3 2 3
]
Primer 2:
Trgovac prodaje dva proizvoda S i G i imamo dve prodavnice A i B .Broj proizvoda koji su
prodani u zadnje dve nedelje su prikazani matricama A i B ispod ,gde kolane predstavljaju
sedmice a redovi odgovaraju proizvodima S i G respektivno
A=
[
5
4
12
7
10 12
9
14
]
, B =
[
8
9
3
4
8 18 21 5
]
Prodaju proizvoda po nedeljama u obe prodavnice prikazaćemo sabiranjem matrica.
T= A + B =
[
5
4
12
7
10 12
9
14
]
+
[
8
9
3
4
8 18 21 5
]
=
[
5
+
8
4
+
9
12
+
3
7
+
4
10
+
8 12
+
18 9
+
21 14
+
5
]
=
[
13 13 15 11
18 30 30 19
]
5
ODUZIMANJE MATRICE
Oduzimanje matrice vrši se tako što se oduzima odgovarajući elementi matrica.Tom prilikom se
vodi računa isto kao i kod sabiranja da matrice budu istih dimenzija.Ista pravila važe i kod
vektora.
Kao i kod sabiranja i oduzimanje je izvodljivo i u slučaju kad je jedan činilac skalar. Takav izraz se
izračunava tako što svakom elementu matrice dodaje ili od njega oduzima naznačeni skalar.
Primer 1:
Od date matrice A oduzeti skalar 1 .
D = A – 1
A=
[
1
2
3
2
−
3
1
−
4
−
5
−
6
]
D=
[
0
1
2
1
−
4
0
−
5
−
6
−
7
]
Napomena :
Skalar 1 automatski se shvata kao matrica istih dimenzija kao što je matrica A, čiji
su svi elementi jednaki 1.
Primer 2 :
Oduzeti matrice A i B
A =
[
5
4
12
7
10 12
9
14
]
, B =
[
8
9
3
4
8 18 21 5
]
A – B =
[
5
4
12
7
10 12
9
14
]
−
[
8
9
3
4
8 18 21 5
]
=
[
5
−
8
4
−
9
12
−
3
7
−
4
10
−
8 12
−
18 9
−
21 14
−
5
]
=
[
−
3
−
5
9
3
2
−
6
−
12 9
]
Primer 3:
