Академија пословних струковних студија Београд- одсек Блаце
Семинарски рад из предмета Операциона истраживања
Тема:
Матрице и детерминанте
Ментор: Студенти:
др Гордана Прлинчевић Јелена Радосављевић 95/16п
Кристина Валић 82/16п
Јагодина, јун 2019.
Садржај
страна
УВОД..................................................................................................................3
1. Детерминанта матрице.............................................................................4
2. Особине детерминанти...........................................................................5
3. Рачунске операције са матрицама...........................................................6
4. Инверзна матрица.....................................................................................8
5. Ранг матрице...........................................................................................11
6. Матричне једначине...............................................................................14
7. Примена матричних једначина..............................................................17
8. Крамерово правило.................................................................................19
ЗАКЉУЧАК………….…………………………………….…………...…….22
ЛИТЕРАТУРА..................................................................................................23
2
ДЕТЕРМИНАНТА МАТРИЦЕ
Детерминанта је у математици израз предочен квадратном шемом у којој је поређано
n2 чланова у n врста и n колона и то је детерминанта n-тог реда.
Сматраћемо да је детерминанта квадратне матрице А RNxN реалан број придружен
тој матрици. Означаваћемо га са А или
. Детерминанта се придружује искључиво
квадратној матрици. Уколико је матрица формата NxN, за детерминанту придружену
тој матрици кажемо да је реда N.
Нека је
произвољна матрица формата 2x2.
По дефиницији је
.
Дакле, детерминанта другог реда се израчунава тако што се од производа елемената на
главној дијагонали (аd) одузме производ елемената на споредној дијагонали (bc) те
детерминанте.
Нека је
произвољна матрица формата 3x3.
Детерминанту матрице А ћемо израчунати на следећи начин:
сa десне стране детерминанте ћемо дописати прве две колоне матрице А
а затим множимо елементе на три главне дијагонале, саберемо
и од тог збира одузмемо збир елемената са три споредне дијагонале.
Имамо:
4
ОСОБИНЕ ДЕТЕРМИНАНТИ
Уколико у детерминанти постоји доста нула лакше је израчунати њихову вредност.
Ово су неке особине детерминанти помоћу којих их је лакше израчунати.
За сваку квадратну матрицу А је дет А= дет АТ.
Ако су у матрици А елементи једне врсте или колоне једнаки или
пропорционални елементима друге врсте или колоне, детерминанта је једнака
нули
Детерминанта се множи (дели) бројем различитим од нуле тако да се елементи
једне врсте или колоне детерминанте помноже (поделе) тим бројем
Ако две врсте или колоне замене места, детерминанта мења предзнак
Вредност детерминанте остаје непромењена уколико све елементе неке врсте
или колоне помножимо са неким реалним бројем и саберемо са одговарајућим
елементима неке друге врсте или колоне.
За квадратне матрице А и B, истог формата, вреди дет(АxB)= дет Аxдет B.
РАЧУНСКЕ ОПЕРАЦИЈЕ СА МАТРИЦАМА
САБИРАЊЕ
Под сабирањем две (м, n) матрице А и B подразумева се (м, n) матрица C. Могуће је
сабирати само матрице које имају исти број врста и колона. Матрица добијена
сабирањем има исти број врста и колона као полазна матрица.
5
k-та потенција n-матрице А је продукт од k једнаких фактора А. Такође, дефинишемо
нулту потенцију са: A
0
=E, тј, под нултом потенцијом n-матрице подразумевамо
јединичну n-матрицу. Само се квадратне матрице могу међусобно множити са самим
собом, јер иначе нису испуњени услови за бројеве врста и колона. Зато се потенцирање
дефинише само за квадратне матрице. За потенцирање вреди: A
p
A
p
= A
p+p
.
ИНВЕРЗНА МАТРИЦА
Матрицу А за коју вреди A x A
-1
= A
-1
x A= E
N
, зовемо
инверзном матрицом
матрице
А. Уколико је дет А= 0, онда матрица нема инверзну матрицу и таква матрица се
назива
сингуларна
матрица.
Уколико је дет A 0 матрица је
инвертибилна
и вреди:
A
-1
= 1/ detA x A*
Начин рачунања инверзне матрице
7
