Gimnazija:
“Lucijan Vranjanin”
Maturalna radnja:
DETERMINANTE I MATRICE
Izradio:
Dinko Koruni
ć
, u
č
enik 4. G
Mentor:
Milena Broni
ć
, profesor
U Zagrebu, 20. sije
č
nja 1996.
S
ADRŽAJ
I.
UVOD ......................................................................................................... 1
II.
DETERMINANTE...................................................................................... 1
Determinante drugog reda
.......................................................................... 1
Determinante tre
ć
eg reda
........................................................................... 3
Determinante viših redova
.......................................................................... 6
Svojstva determinanata
............................................................................... 6
Ra
č
unske operacije sa determinantama
...................................................... 8
Primjena determinanti kod rješavanja sustava linearnih jednadžbi
.......... 9
III. MATRICE.................................................................................................. 9
Pojam i vrste matrica
.................................................................................. 9
Ra
č
unske operacije sa matricama
.............................................................. 13
Transponiranje matrica
.............................................................................. 15
Posebne vrste kvadratnih matrica
............................................................... 16
Postupak za ra
č
unanje inverznih matrica
................................................... 18
Recipro
č
na matrica i transponirana recipro
č
na matrica
........................... 19
Detaljnije o rangu matrice
.......................................................................... 19
Rješavanje linearnih matri
č
nih jednadžbi
.................................................. 20
Rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomo
ć
u matri
č
nog ra
č
unanja
..... 22
Rastavljanje matrica u blokove
................................................................... 24
IV. LITERATURA .......................................................................................... 26
2
Na isti na
č
in treba izjedna
č
iti i po nepoznanici
x
iz sistema jednadžbi (1) i (2), pa se dobije:
(
)
.
a b
a b y a c
a c
1 2
2 1
1 2
2 1
−
=
−
(4)
Ako pretpostavimo da je a
1
b
2
−
a
2
b
1
≠
0 iz predhodne dvije jednadžbe se dobija odre
đ
eno
rješenje zadanog sistema, i to tako da se jednadžba (3) podijeli sa faktorom uz
x
i analogno
tome jednadžba (4) faktorom uz
y
:
x
c b
c b
a b
a b
=
−
−
1 2
2 1
1 2
2 1
, te y
a c
a c
a b
a b
=
−
−
1 2
2 1
1 2
2 1
.
(5) i (6)
Prou
č
imo li jednadžbe (5) i (6), vidi se da su im nazivnici isti i da su im brojnici sli
č
no
gra
đ
eni. Možemo uvesti novu oznaku za izraz a
1
b
2
−
a
2
b
1
, i to:
D
a
b
a
b
a b
a b
=
=
−
1
1
2
2
1 2
2 1
. (7)
Analogno tome, možemo zapisati da je:
D
c
b
c
b
c b
c b
1
1
1
2
2
1 2
2 1
=
=
−
i D
a
c
a
c
a c
a c
2
1
1
2
2
1 2
2 1
=
=
−
. (8) i (9)
Brojnik i nazivnik dobijenih jednadžbi (5) i (6) se zovu determinante 2-og reda i to su ovdje
D
,
D
1
i
D
2
. Op
ć
enito vrijedi za svaka
č
etiri broja, raspore
đ
ena u obliku kvadratne sheme:
a
11
, a
12
,
a
21
, a
22
,
da se razlika koja odgovara toj shemi zove
determinanta 2-og reda
i ovdje je ta razlika
ekvivalentna
a
11
a
22
−
a
21
a
12
,
a zapisuje se simboli
č
ki
D
a
a
a
a
=
11
12
21
22
.
Elementi determinante
(u predhodnom redu) su brojevi
a
11
,
a
21
,
a
12
,
a
22
; pri
č
emu prvi dio
indeksa elementa pokazuje broj reda u kojem se element nalazi, a drugi dio indeksa elementa
broj stupca u kojem se nalazi taj element. Elementi
a
11
i
a
22
č
ine
glavnu dijagonalu
determinante, a elementi
a
21
i
a
12
sporednu dijagonalu
.
Red
ili
redak determinante
č
ine
elementi determinante koji stoje horizontalno jedan do drugoga.
Stupac
determinante
č
ine
elementi koji su vertikalno jedan ispod drugoga.
Iz dosadašnjeg izlaganja o
č
igledno je da rješenje sistema može biti izraženo pomo
ć
u
determinanata ako je
D
determinanta koeficijenata nepoznanica u sustavu jednadžbi (1) i (2),
D
1
je determinanta koja nastaje iz
D
ako se koeficijenti
a
1
i
a
2
od
x
nadomjeste brojevima
c
1
i
c
2
na desnim stranama jednadžbi, te
D
2
je determinanta koja nastaje iz
D
ako se koeficijenti
b
1
3
i
b
2
od
y
nadomjeste brojevima
c
1
i
c
2
. Kona
č
no rješenje sistema jednadžbi (1) i (2) onda
možemo zapisati u obliku:
x
D
D
=
1
, i y
D
D
=
2
(10) i (11)
ili opširnije:
x
c
b
c
b
a
b
a
b
=
1
1
2
2
1
1
2
2
, y
a
c
a
c
a
b
a
b
=
1
1
2
2
1
1
2
2
.
(12) i (13)
Determinanta u nazivniku je sastavljena od koeficijenata nepoznanica sistema jednadžbi,
ovdje jednadžbi (1) i (2), i zove se
determinanta tog sistema
, te se ozna
č
ava sa
D
ili sa
∆
.
Ako uvjet a
1
b
2
−
a
2
b
1
≠
0 nije zadovoljen, tj.
D
=0, onda i determinante
D
1
i
D
2
moraju biti
jednake nuli jer bi ina
č
e izrazi (5) i (6) bili kontradiktorni. Zna
č
i, ako je
D
=0, a barem jedna
od determinanti
D
1
i
D
2
razli
č
ita od nule, sistem nema rješenja.
Prema tome, možemo zapisati:
1) ako su koeficijenti nepoznanica u zadanom sistemu (vidjeti po
č
etak) neproporcionalni,
sistem je mogu
ć
i odre
đ
en;
2)
ako su koeficijenti nepoznanica proporcionalni, a slobodni
č
lanovi im nisu proporcionalni,
sistem je nemogu
ć
zbog proturje
č
ja u (5) i (6);
3)
ako su koeficijenti nepoznanica i slobodni
č
lanovi proporcionalni (
D
=
D
1
=
D
2
=0), sistem je
neodre
đ
en jer ima beskona
č
no rješenja.
Jednadžbe (5) i (6) te (12) i (13) za b
1
≠
0 i b
2
≠
0
č
ine tzv.
nehomogeni sustav
, a za b
1
=b
2
=0
homogeni sustav jednadžbi
. Iz prethodnih zaklju
č
aka slijedi da nehomogeni sustav ima ili
samo jedan sustav rješenja, ili uop
ć
e nema rješenja, ili ih ima beskona
č
no mnogo. Homogeni
sustav od dvije linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice ima rješenja razli
č
ita od o
č
iglednih,
tzv. trivijalnih, samo u slu
č
aju kad je determinanta sustava jednaka nuli, i tada ih ima
beskona
č
no mnogo.
Vrijednost determinante 2-og reda se izra
č
unava tako da se unakrsno množe
č
lanovi
determinante i pri tome se drugi umnožak dodaje prvom s protivnim predznakom:
+
−
Deteminante tre
ć
eg reda
Rješavanje sistema dviju linearnih algebarskih jednadžbi sa dvije nepoznanice dovodi nas do
determinanti drugog reda, a analogno tome nas razmatranje sistema triju linearnih jednadžbi
sa tri nepoznanice dovodi do determinanti 3-eg reda. Tako imamo sistem:
a x b y c z d
1
1
1
1
+
+
=
(14)
a x b y c z d
2
2
2
2
+
+
=
(15)
5
D
a
d
c
a
d
c
a
d
c
2
1
1
1
2
2
2
3
3
3
=
; (26)
i
z D
D
⋅ =
3
(27)
sa
D
a
b
d
a
b
d
a
b
d
3
1
1
1
2
2
2
3
3
3
=
.
(28)
Iz izraza (23), (25) i (27) se mogu izra
č
unati
x
,
y
,
z
ako vrijedi da
D
≠
0.
Tada je jednozna
č
no rješenje sistema jednadžbi (14), (15) i (16):
x
D
D
=
1
, y
D
D
=
2
te z
D
D
=
3
.
(29), (30), (31)
Ako je
D
=0, a barem jedna od determinanata
D
1
,
D
2
ili
D
3
razli
č
ita od nule, vidi se da prema
(29), (30) i (31) ne može postojati rješenje. Jednadžbe (14), (15) i (16) su onda proturje
č
ne.
Ako je
D
=
D
1
=
D
2
=
D
3
=0, onda sistem (14), (15), (16) ima beskona
č
no mnogo rješenja.
Za izra
č
unavanje vrijednosti determinante tre
ć
eg reda možemo se poslužiti
Sarrusovim
pravilom
: treba napisati determinantu i uz nju desno još dva prva stupca:
a
1
b
1
c
1
a
1
b
1
a
2
b
2
c
2
a
2
b
2
a
3
b
3
c
3
a
3
c
3
Sada po shemi tvorimo produkte po tri
č
lana i to prvo u smjeru glavne dijagonale, a zatim
produkte od tako
đ
er po tri
č
lana, no u smjeru suprotne dijagonale. Produkte uzete u smjeru
glavne dijagonale zbrojimo i od toga oduzmemo zbroj produkata uzetih u smjeru sporede
dijagonale.
Ako promotrimo izraz na desnoj strani izraza (22), možemo vidjeti da su elementi a
1
,b
1
, c
1
pomoženi determinantama drugog reda, koje se mogu dobiti razvijanjem determinante po
stupcu ili po retku (u determinanti tre
ć
eg reda se precrta redak i stupac u kojem se nalazi
doti
č
ni element). Za razvijanje determinante se koristimo shemom predznaka:
+ − +
− + −
+ − +
po kojoj uzimamo predznake pojedinih elementa kada razvijemo determinantu. Ako želimo
da razvijemo determinantu po npr. elementima prvog retka, tada prepišemo prvi element toga
retka i precrtamo prvi redak i prvi stupac determinante, te prepisani prvi element množimo s
preostalim dijelom determinante. Tako dobivena determinanta 2-og reda se zove
