V.
Pavlovi
ć
–
PREDAVANJA
IZ
FIZIKE,
Mašinski
fakultet
Univerziteta
u
Beogradu
1
III
–
TALASNO
KRETANJE
Talas
predstavlja
prenošenje
oscilacija
kroz
prostor.
Reč je o prenošenju oscilatornog procesa, sa
izvora oscilovanja na okolinu, a pošto se svaki oscilatorni proces može okarakteristi oscilatornom promenom
određenih fizičkih veličina,
talas
se
može
definisati
i
kao
prenošenje
oscilatorne
promene
neke
fizi
č
ke
veli
č
ine
u
datom
prostoru
. Takođe se može reći i da talas predstavlja
prenošenje
poreme
ć
aja
kroz
prostor
1
.
Zavisno od prirode oscilatornog procesa koji se prenosi, tj. zavisno od poremećaja koji se prenosi,
talase delimo na
2
:
•
mehani
č
ke
talase
– odnose se na prostiranje mehaničkih oscilacija i prostiru se samo kroz
supstancijalne sredine; podvrgavaju se Njutnovim zakonima;
•
elektromagnetne
talase
odnose se na prostiranje oscilatorne promene vektora jačine električnog
polja i vektora jačine magnetnog polja; prostiru se i kroz supstancijalnu sredinu i kroz vakuum; za
njih važe tzv. Maksvelove jednačine;
•
de
Broljeve
talase
‐ pridružuju se česticama u kretanju i podvrgavaju se zakonima kvantne fizike.
MEHANI
Č
KI
TALASI
POJAM
MEHANI
Č
KOG
TALASA.
USLOVI
NASTANKA
I
PROSTIRANJA
MEHANI
Č
KOG
TALASA
Mehani
č
ki
talas
predstavlja
proces
prenošenja
(prostiranja)
mehani
č
kih
oscilacija
kroz
supstancijalnu
sredinu.
Može se reći i:
Mehani
č
ki
talas
predstavlja
proces
prenošenja
(prostiranja)
mehani
č
kog
poreme
ć
aja
koji
nastaje
usled
oscilovanja
č
estica
date
supstancijalne
sredine.
Neki primeri mehaničkih talasa su: talasi na struni (žici), talasi na površini vode, zvučni talasi,
seizmički talasi (u Zemljinoj kori), itd. Kada se kaže da se mehanički talas prostire kroz prostor, to znači da se
prenose
oscilacije
č
estica
date
sredine
(od jedne do druge čestice), a same čestice koje učestvuju u prenošenju
tog poremećaja ostaju u bliskoj okolini svog prvobitnog položaja i periodično se pomeraju oko njega (čestice
osciluju oko svojih ravnotežnih položaja). Npr. pri prenošenju zvuka kroz vazduh dolazi do naizmeničnog
zgušnjavanja i razređivanja vazduha. Upravo to zgušnjavanje i razređivanje vazduha predstavlja mehanički
poremećaj koji se prostire, tj. zvučni talas. Pri tome, čestice vazduha ostaju u bliskoj okolini svog prvobitnog
položaja, dok se talas može preneti na veliku razdaljinu.
Može se zaključiti:
Kod
prostiranja
mehani
č
kog
talasa
ne
prenosi
se
masa,
ve
ć
samo
poreme
ć
aj
(tj.
proces
oscilovanja)
i
energija
poreme
ć
aja
(oscilovanja).
Deli
ć
i
sredine
ne
putuju
zajedno
sa
talasom.
Ovakav mehanički talas, kod kojeg se energija prenosi sa jednog delića sredine na susedni delić, zove
se progresivni (putujući) mehanički talas.
Za nastanak i prostiranje mehaničkih talasa neophodno je da postoje:
•
Izvor
mehani
č
kog
talasa
(mesto gde počinje talasno kretanje, tj. mesto gde najpre počinje oscilovanje
u nekoj sredini);
•
Supstancijalna
elasti
č
na
(ili
kvazielasti
č
na)
sredina
3
, koja obezbeđuje:
a
) postojanje čestica (atoma, molekula) na koje će se preneti oscilacije iz izvora talasa. Pod
susptancijalnom sredinom podrazumevamo skup tj. sistem čestica dovoljno gust da se oseća
međusobno delovanje tih čestica, jer je međusobno delovanje čestica neophodno za dalje
prenošenje nastalog poremećaja, od jedne do druge čestice. Mehanički talasi se ne prostiru kroz
vakuum.
1
Misli se na poremećaj koji nastaje usled postojanja izvora oscilovanja u datoj sredini. Npr. kod mehaničkih talasa se prostire poremećaj
koji se odnosi na oscilacije čestica neke sredine, dok se kod elektromagnetnih talasa prostire poremećaj koji nastaje usled oscilatorne
promene vektora jačine električnog polja i vektora jačine magnetnog polja.
2
Pretpostavlja se da postoji i četvrta grupa talasa – gravitacioni talasi, ali to nije još uvek eksperimentalno potvrđeno.
3
Talasi na površini tečnosti (npr. u vodenim rezervoarima, jezerima, morima...) su posebna vrsta mehaničkih talasa, za čije prostiranje su
prvenstveno odgovorne: gravitaciona sila i sila površinskog napona, pa ti talasi imaju i transverzalnu i longitudinalnu komponentu u
opštem slučaju. Za prostiranje ostalih vrsta mehaničkih talasa (zvučnih talasa, udara, seizmičkih talasa, longitudinalnih talasa u
tečnostima itd.) je odgovorno postojanje elastičnih ili kvazielastičnih sila među česticama sredine.
V.
Pavlovi
ć
–
PREDAVANJA
IZ
FIZIKE,
Mašinski
fakultet
Univerziteta
u
Beogradu
2
b
) postojanje elastičnih (ili kvazielastičnih) sila među česticama, što se odnosi na sile oblika:
i
x
const
F
r
r
⋅
⋅
−
=
(izraz je dat za slučaj da sila deluje duž
x
ose, tj. u pravcu i smeru orta
i
r
).
Sledi da sredina kroz koju se prostiru mehanički talasi mora imati:
•
inercijalna svojstva (čestice moraju imati masu),
•
elastična, tj. kvazielastična svojstva.
PODELA
MEHANI
Č
KIH
TALASA
Podela
mehani
č
kih
talasa
prema
delu
prostora
koji
zauzimaju
Prema delu prostora koji zauzimaju, odnosno prema pravcu prostiranja talasa (pravcu prostiranja
deformacije kroz sredinu) mehaničke talase možemo podeliti na:
1)
linijske
talase
, koji se prostiru se duž jednog pravca (npr. duž
zategnute žice),
2)
površinske
talase
, koji se šire duž dva pravca, tj. po nekoj
površini (npr. talasi na površini vode)
3)
trodimenzionalne odnosno
zapreminske
talase
(npr. zvučni
talasi).
Kod površinskih i zapreminskih talasa može da se definiše
talasni
front
(talasna
površina)
.
Talasni
front
je
geometrijsko
mesto
ta
č
aka
u
prostoru
do
kojih
je
talas
stigao
u
trenutku
t.
Može se reći i sledeće:
Talasni
front
je
grani
č
na
površina
koja
razdvaja
č
estice
koje
su
zahva
ć
ene
talasom
(
č
estice
koje
osciluju)
od
č
estica
koje
ne
osciluju,
tj.
nisu
zahva
ć
ene
talasom.
•
Talasni
front
kod
površinskih
talasa
je zamišljena linija
koja povezuje tačke do kojih je talas
stigao u istom trenutku, odnosno linija koja povezuje sve tačke u kojima su čestice počele da
osciluju u istom trenutku.
•
Talasni
front
kod
zapreminskih
talasa
predstavlja zamišljenu površinu koja povezuje sve tačke
do kojih je talas stigao u istom trenutku, odnosno sve tačke u kojima su čestice počele da osciluju u
istom trenutku.
Podela
zapreminskih
talasa
prema
obliku
talasnog
fronta
Kod zapreminskih talasa, talasni frontovi mogu imati različite oblike.
Tri
najzna
č
ajnije
vrste
zapreminskih
talasa,
posmatrano
prema
obliku
talasnog
fronta,
su:
ravanski,
cilindri
č
ni
i
sferni
talasi
. Ovi tipovi
talasa se prostiru u homogenim i izotropnim sredinama (to su sredine kod kojih brzina ili amplituda talasa ne
zavisi od pravca prostiranja, pa su svojstva talasa ista u svim pravcima).
o
Kod
sfernog
talasa
izvor je tačkast i od njega se talas prostire ravnomerno u svim pravcima, pa
su talasni frontovi površine sfernog oblika (koncentrične sferne površine, koje su normalne na
pravac prostiranja talasa).
o
Kod
cilindri
č
nog
talasa
izvor je raspoređen duž prave linije od koje se talas prostire
ravnomerno u svim pravcima, pa su talasni frontovi cilindrični.
o
Kod
ravanskog
talasa
talasni frontovi su ravne površi, koje su međusobno paralelne i normalne
na pravac prostiranja talasa. Na velikom rastojanju od izvora talasa svaki talas se može
razmatrati kao približno ravanski talas.
a) talasni frontovi sfernog talasa
b) talasni frontovi cilindričnog talasa c) talasni frontovi ravanskog talasa
c
x
y
z
λ
talasni front
talasni zrak
talasni front
λ
izvor
talasa
talasni front
talasni zraci
λ
izvor
talasa
V.
Pavlovi
ć
–
PREDAVANJA
IZ
FIZIKE,
Mašinski
fakultet
Univerziteta
u
Beogradu
4
•
Brzina
transverzalnog
mehani
č
kog
talasa
kroz
žicu
mase m i dužine l, koja je zategnuta silom
F,
iznosi:
ρ
σ
μ
/
m
/
Fl
/
F
c
=
=
=
,
gde je:
μ
podužna masa (masa jedinične dužine žice:
l
/
m
μ
=
),
ρ
‐ gustina materijala od kojeg je žica
napravljena, a
σ
‐ normalni napon (
S
/
F
σ
=
; s – površina poprečnog preseka žice).
2.
Brzina
prostiranja
mehani
č
kih
talasa
u
fluidima:
Kroz fluide se prenose samo longitudinalni talasi.
•
Brzina
prostiranja
longitudinalnih
talasa
kroz
fluide
čiji je moduo stišljivosti В i gustina
ρ
iznosi:
ρ
/
B
c
=
.
OSNOVNI
PARAMETRI
MEHANI
Č
KOG
TALASA
Osnovni parametri koji definišu svaki mehanički talas su:
•
brzina
talasa
(
c
) – brzina prenošenja oscilatornog procesa kroz datu sredinu;
•
brzina
oscilovanja
č
estice
sredine
zahva
ć
ene
talasom
(
υ
) – brzina oscilovanja čestice oko njenog
ravnotežnog položaja (menja se tokom vremena); zove se još i „ brzina
u
talasu“.
•
elongacija
(y
) ‐ pomeraj čestice date sredine iz ravnotežnog položaja (menja se tokom vremena);
•
amplituda
(
A
) ‐ najveće udaljenje čestice od ravnotežnog položaja (ukoliko nema gubitka energije
prilikom prostiranja talasa, amplituda je konstantna u prostoru i vremenu);
•
period
(
Т
)
– vreme za koje čestica sredine izvrši jednu punu oscilaciju;
•
frekvencija
talasa (
ν
)
– broj oscilacija koje čestica izvrši u jedinici vremena. Važi:
T
ν
1
=
,
[ ]
[ ]
Hz
s
≡
−
1
;
•
kružna
frekvencija
talasa (
ω
) – jednaka je kružnoj frekvenciji oscilovanja izvora talasa. Veza sa
frekvencijom i periodom talasa je data relacijom
:
T
π
πν
ω
2
2
=
=
[
]
s
/
rad
;
•
talasna
dužina
talasa (
λ
)
put koji talas pređe u toku jednog perioda oscilovanja čestica sredine, pri
čemu pri prolasku kroz homogenu sredinu gde je brzina talasa konstantna (c=const), važi:
cT
λ
=
[ ]
m
.
Imajući u vidu relaciju
T
ν
1
=
, sledi:
ν
λ
/
c
=
.
•
ugaoni
talasni
broj
(
k
)
– broj talasnih dužina na 2
π
metara. Važi:
λ
π
k
2
=
[
]
m
/
rad
. Pošto je
c
πν
ν
/
c
π
λ
π
k
2
2
2
=
=
=
, onda važi:
c
ω
k
=
.
Faza
talasa
određuje stanje oscilovanja čestice koja je zahvaćena talasom i koja se u trenutku
t
nalazi na
rstojanju
x
od izvora talasa. Izraz za fazu talasa će biti definisan naknadno.
OPŠTA
JEDNA
Č
INA
TALASA
U kinematici materijalne tačke smo pominjali da jednačine kretanja materijalne tačke:
)
t
(
f
x
1
=
,
)
t
(
f
y
2
=
,
)
t
(
f
z
3
=
određuju položaj te tačke (npr. čestice) u svakom trenutku vremena.
Kod prostiranja
mehani
č
kog
talasa
, sve čestice koje su zahvaćene talasom vrše oscilatorno kretanje
oko svojih ravnotežnih položaja. Jednačina mehaničkog talasa određuje koliko u svakom trenutku iznosi
rastojanje od ravnotežnog položaja (elongacija) svake od čestica sredine koje su zahvaćene talasom. Vrednost
elongacije uočene čestice zavisi ne samo od vremena (t), već i od ravnotežnog položaja čestice. U Dekartovom
koordinatnom sistemu, ravnotežni položaj svake od čestica je određen prostornim koordinatama
x,
y,
z
, pa je
u Dekartovom koordinatnom sistemu jednačina mehaničkog talasa opisana nekom funkcijom tih prostornih
koordinata i vremena:
(
)
t,
z
,
y
,
x
f
ψ
=
.
V.
Pavlovi
ć
–
PREDAVANJA
IZ
FIZIKE,
Mašinski
fakultet
Univerziteta
u
Beogradu
5
pri čemu veličina
ψ
ima smisao elongacije, tj. rastojanja čestice date sredine (čestice zahvaćene talasnom) od
ravnotežnog položaja. Konkretni oblik funkcije
f
zavisi od vrste talasa (npr. zavisi od toga da li je talas
ravanski ili sferni, prost harmonijski ili ne, itd.).
Sa druge strane, kod elektromagnetnih talasa
ψ
označava vektor jačine električnog polja ili vektor
jačine magnetnog polja, jer se te veličine menjaju po oscilatornom zakonu pri prostiranju EMT. Dakle,
Svako
talasno
kretanje
se
može
opisati
opštom
jedna
č
inom
oblika:
(
)
t,
z
,
y
,
x
f
ψ
=
,
pri
č
emu
ψ
ozna
č
ava
veli
č
inu
koja
se
menja
po
oscilatornom
zakonu
pri
prostiranju
datog
talasa
i
karakteriše
dati
tip
talasa.
JEDNA
Č
INA
PROSTOG
LINIJSKOG
HARMONIJSKOG
PROGRESIVNOG
MEHANI
Č
KOG
TALASA
Zamislimo slučaj najjednostavnijih, linijskih progresivnih (putujućih) mehaničkih talasa, koji se
prostiru duž jedne linije (npr. talas na zategnutoj struni). Neka je struna tj. žica dovoljno duga (tako da
posmatranje nije ometeno odbijenim talasom) i idealna, tako da nema odbijanja i tako da nema trenja među
delićima sredine, što znači da nema gubitka energije.
Ako je izvor mehaničkog talasa
harmonijski
oscilator
, onda jednačina oscilovanja tog izvora ima
harmonijski
oblik
, tj. sinusni ili kosinusni oblik. Ukoliko je u
pitanju sinusna funkcija, a početna faza jednaka nuli, onda
jednačina
oscilovanja
izvora
talasa
ima
oblik:
y
(
x,t
)=
A
sin(
ω
t
), gde je
A
‐ amplituda, a
ω
‐ kružna
frekvencija oscilovanja. Ako koordinatni početak stavimo
u položaj datog izvora talasa (npr. tačka O), onda izvoru
talasa odgovara koordinata
x
= 0. Čestica sredine, koja se
nalazi na proizvoljnom rastojanju
x
od izvora (npr. čestica
u tački P na slici), kasni sa početkom oscilovanja za vreme
t
Δ
koje je potrebno poremećaju (talasu) da stigne od
izvora do te čestice sredine. To znači da ako vreme oscilovanja izvora iznosi
t
, onda vreme oscilovanja čestice
koja se nalazi na rastojanju
x
od izvora iznosi:
(
)
t
t
Δ
−
. Pošto talas za vreme
t
Δ
pređe put
x
brzinom
c
,
onda važi:
c
x
t
=
Δ
.
Ukoliko posmatrana sredina
ne
apsorbuje energiju talasa (talas se ne prigušuje), onda je
amplituda talasa konstantna i
jedna
č
ina
oscilovanja
te
proizvoljno
odabrane
č
estice
je
4
:
(
)
[
]
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
−
=
x
c
ω
t
ω
sin
A
c
x
t
ω
sin
A
t
t
ω
sin
A
y
Δ
,
gde je
y
elongacija (rastojanje od ravnotežnog položaja) čestice sredine koja se nalazi na rastojanju
x
od
izvora talasa u trenutku
t.
Uz vrednost koordinate čestice stoji koeficijent, koji predstavlja ugaoni talasni broj:
k
λ
π
c
ω
=
=
2
[
m
/
rad
].
Ako posmatramo različite čestice neke sredine, koje se nalaze na pavcu prostiranja talasa i bivaju zahvaćene
talasom, onda će u jednom istom trenutku
t
one imati međusobno različite vrednosti elongacije, zavisno od
koordinate
x
, tj. zavisno od njihovog rastojanja od izvora talasa. Vrednost elongacije svake od tih čestica
redine će se menjati sa vremenom po zakonu:
(
)
(
)
kx
t
ω
sin
A
c
x
ω
t
ω
sin
A
y
−
=
−
=
. Zato govorimo o
prostiranju sinusoidalnog progresivnog prostog harmonijskog talasa. Sledi da se
jedna
č
ina
sinusoidalnog
progresivnog
prostog
harmonijskog
talasa,
koji
se
prostire
u
smeru
x
ose,
može predstaviti i u obliku:
(
)
kx
t
ω
sin
A
y
−
=
.
Oznaka A se odnosi na amplitudu, a argument harmonijske funkcije u jednačini talasa, tj.
veli
č
ina
(
)
kx
t
ω
φ
−
=
,
se
zove
faza
prostog
harmonijskog
progresivnog
linijskog
talasa
.
Vidi se da
kod
progresivnog
talasa
faza
zavisi
i
od
vremena
i
od
položaja
č
estice
sredine
pri
njenom
oscilovanju.
4
Treba primetiti da se navedena jednačina
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
c
x
t
ω
sin
A
y
može napisati i u obliku:
(
)
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
=
x
ct
c
ω
sin
A
y
, što je u skladu sa
ranije navedenim opštim oblikom jednačine progresivnog talasa:
(
)
x
ct
f
y
±
=
.
y
x
λ
P
P
y
c
r
O
t
c
x
P
Δ
=
Grafički prikaz elongacije različitih čestica
sredine zahvaćenih talasom duž x ose, za
trenutak
t=(T/4)
od početka oscilovanja izvora.
A
V.
Pavlovi
ć
–
PREDAVANJA
IZ
FIZIKE,
Mašinski
fakultet
Univerziteta
u
Beogradu
7
Talasni
front
mehani
č
kog
talasa
u
trenutku
t
se
može
definisati
kao
geometrijsko
mesto
ta
č
aka
u
prostoru
u
kojima
č
estice
sredine
osciluju
u
fazi
u
trenutku
t.
Oscilovanje
č
estica
u
kontrafazi
Dve
č
estice
osciluju
u
kontrafazi
ako
su
im
u
proizvoljno
izabranom
trenutku
elongacije
iste
po
apsolutnoj
vrednosti,
ali
suprotne
po
znaku.
Za te čestice važi da su im ivektori brzine međusobno istog intenziteta, alisu suprotno usmereni. Takođe su i
vektori ubrzanja međusobno istog intenziteta, ali suprotnog smera.
Uslov
da
dve
č
estice
osciluju
u
kontrafazi
je
da
razlika
njihovog
rastojanja
od
izvora
bude
jednaka
neparnom
umnošku
polovina
talasnih
dužina:
(
)
2
1
2
λ
z
x
−
=
Δ
,
tj.
da
im
fazna
razlika
iznosi:
(
)
π
ϕ
Δ
1
z
2
−
=
. z =
±
1,
±
2, ...
FREKVENCIJA
I
TALASNA
DUŽINA
MEHANI
Č
KOG
TALASA
U
RAZLI
Č
ITIM
SREDINAMA
Pri
prelasku
talasa
iz
jedne
u
drugu
sredinu,
menja
se
brzina
talasa
i
talasna
dužina,
a
frekvencija
i
kružna
frekvencija
talasa
se
pri
tome
ne
menjaju.
IZRAZI
ZA
BRZINU
I
UBRZANJE
Č
ESTICE
SREDINE
POGO
Đ
ENE
MEHANI
Č
KIM
TALASOM,
ZA
SLU
Č
AJ
PROSTOG
HARMONIJSKOG
PROGRESIVNOG
TALASA.
•
Brzina
č
estice
sredine
pogo
đ
ene
talasom
je
odre
đ
ena
jedna
č
inom
:
(
)
(
)
(
)
(
)
kx
t
cos
kx
t
cos
A
kx
t
sin
A
dt
d
t
d
y
d
max
−
=
−
=
−
=
=
ω
υ
ω
ω
ω
υ
,
gde je
ω
A
υ
max
=
maksimalna brzina čestice zahvaćene talasom (amplituda brzine). Čestica ima maksimalnu
brzinu pri prolasku kroz ravnotežni položaj, tokom oscilovanja.
•
Ubrzanje
č
estice
sredine
pogo
đ
ene
talasom
je
odre
đ
eno
jedna
č
inom
:
(
)
(
)
(
)
(
)
kx
t
sin
a
kx
t
sin
A
kx
t
cos
A
dt
d
t
d
d
a
max
−
=
−
−
=
−
=
=
ω
ω
ω
ω
ω
υ
2
.
DIFERENCIJALNA
JEDNA
Č
INA
HARMONIJSKOG
TALASA
(ZA
ONE
KOJI
ŽELE
DA
ZNAJU
VIŠE)
Posmatrajmo ravanski prost harmonijski mehanički talas koji se prostire u pravcu i smeru x ose,
brzinom c. Kao što je ranije objašnjeno, jednačina tog talasa je:
(
)
kx
t
ω
sin
A
y
−
=
i ona opisuje zavisnost
elongacije delića sredine (čestice sredine) od ravnotežnog položaja tog delića i od vremena.
Ako se pri prelasku talasa iz jedne u drugu sredinu
brzina talasa poveća, iz relacije
ν
/
c
λ
=
sledi da
je u drugoj sredini veća je i njegova talasna dužina.
Na slici sa desne strane je to šematski
predstavljeno
za
slučaj
prostog
linijskog
progresivnog harmonijskog talasa.
2
1
2
1
2
1
λ
λ
c
c
ν
ν
<
⇒
<
=
1
λ
1
λ
2
λ
2
λ
1
2
