Mehanika 2

1

UNIVERZITET

U

BANJOJ

LUCI

MAŠINSKI

FAKULTET

Dr

Valentina

Golubovi

ć ‐ 

Bugarski

MEHANIKA

2

(Skripta

–

izvodi

predavanja)

Banja

Luka,

septembar

2014.

2

PREDGOVOR

Ova

skripta

prire

đ

ena

su

prema

važe

ć

em

nastavnom

programu

predmeta

Mehanika

2,

koji

se

izvodi

u

III

semestru

I

ciklusa

studija

na

svim

odsjecima

Mašinskog

fakulteta

u

Banjoj

Luci.

Nastavno

gradivo

predmeta

Mehanika

2

obuhvata

dvije

oblasti

mehanike,

i

to

Kinematiku

i

Dinamiku.

Obim

gradiva

prilago

đ

en

je

fondu

  č

asova

predavanja

i

vježbi

(4+3).

U

skriptama

je

gradivo

izloženo

prirodnim

redosljedom

po

kome

je

prvo

obra

đ

ena

kinematika

ta

č

ke,

kinemtaika

krutog

tijela,

potom

dinamika

materijalne

ta

č

ke

i

dinamika

materijalnog

sistema

i

krutog

tijela.

Ipak,

mogu

ć

e

je

odstupiti

od

datog

redosljeda

gradiva

i

bez

ikakvih

teško

ć

a

prvo

obraditi

kinematiku

i

dinamiku

materijalne

ta

č

ke

kao

jednu

cjelinu,

a

potom

kinematiku

i

dinamiku

materijalnog

sistema

i

krutog

tijela.

Ovaj

sažeti

tekst

svakako

  ć

e

pomo

ć

i

studentima

u

pripremanju

ispita

iz

ovog

fundamentalnog

predmeta

tehni

č

ke

struke.

Studenti

se

upu

ć

uju

da

šira

i

dublja

saznanja

iz

podru

č

ja

Tehni

č

ke

mehanike,

koja

se

obra

đ

uju

u

ovom

nastavnom

predmetu,

steknu

iz

odgovaraju

ć

e

nastavne

literature,

udžbenika

i

zbirki

zadataka,

dostupnih

u

bibliotekama

i

na

internetu.

Banja

Luka,

septembar

2014.

Autor

4

KINEMATIKA

5

UVOD

U

KINEMATIKU

Kinematika

je

dio

teorijske

mehanike

u

kome

se

prou

č

avaju

mehani

č

ka

kretanja

tijela

ne

uzimaju

ć

i

u

obzir

njihovu

masu

i

sile

koje

dejstvuju

na

njih.

U

kinematici

se

prou

č

avaju

geometrijska

svojstva

kretanja

tijela,

te

se

kinamtika

naziva

još

i

geometrijom

kretanja.

Pod

mehani

č

kim

kretanjem

podrazumijeva

se

promjena

položaja

koje

tokom

vremena

jedno

materijalno

tijelo

vrši

u

odnosu

na

drugo

materijalno

tijelo.

Mehani

č

ko

kretanje

tijela

je

mogu

ć

e

prou

č

iti

samo

ako

postoji

drugo

tijelo

(posmatra

č

)

u

odnosu

na

koje

vršimo

upore

đ

ivanje,

tzv.

referentno

tijelo.

Pri

prou

č

avanju

kretanja

u

kinemati

č

kom

smislu,

referentno

tijelo

se

uvijek

može

smatrati

nepokretnim.

Kada

analiti

č

ki

opisujemo

položaj

tijela

,

referentno

tijelo

(posmatra

č

a)

predstavljamo

ta

č

kom

O,

a

prostor

u

odnosu

na

koji

se

tijelo

kre

ć

e

prikazujemo

prostornim

koordinatnim

sistemom

(referentnim

sistemom),

npr.

Dekartovim

koordinatnim

sistemom

sa

po

č

etkom

u

ta

č

ki

O.

Kretanje

ta

č

ke

ili

tijela

u

odnosu

na

apsolutno

nepokretni

sistem

referencije

naziva

se

apsolutno

kretanje.

Kretanje

ta

č

ke

ili

tijela

u

odnosu

drugo

pokretno

tijelo

naziva

se

relativno

kretanje.

Kretanje

tijela

se

vrši

tokom

vremena

u

prostoru,

te

stoga

kinematika

uvodi

u

analizu

dvije

veli

č

ine:

dužinu

(L)

i

vrijeme

(t),

a

njihove

osnovne

jedinice

su

metar

i

sekunda.

Vrijeme

u

klasi

č

noj

mehanici

je

pozitivna

skalarna

veli

č

ina

koja

se

neprekidno

mijenja

i

uzima

se

za

nezavisno

promjenljivu

veli

č

inu,

koju

obilježavamo

sa

t

.

Sve

ostale

veli

č

ine

u

kinematici

se

posmatraju

kao

funkcije

vremena.

Prilikom

mjerenja

vremena

uvodimo

pojam

po

č

etnog

trenutka

vremena,

odre

đ

enog

trenutka

vremena

i

intervala

vremena.

Po

č

etni

ternutak

vremena

naziva

se

trenutak

od

kada

po

č

injemo

da

mjerimo

vrijeme,

tj.

od

kada

po

č

injemo

da

posmatramo

kretanje.

Obi

č

no

se

usvaja

da

je

po

č

etni

trenutak

vremena

(t

0

=0).

Vrijeme

neprestano

te

č

e

i

argument

(

t

),

u

funkciji

koga

definišemo

sve

kinemati

č

ke

veli

č

ine,

je

pozitivna

rastu

ć

a

veli

č

ina.

Odre

đ

eni

trenutak

vremena

(

t

)

definiše

se

brojem

sekundi

koji

su

protekli

od

po

č

etnog

trenutka

vremena.

Interval

vremena



t

=

t

2



t

1

naziva

se

vrijeme

koje

protekne

izme

đ

u

dvije

odre

đ

ene

pojave,

tj.

razlika

izme

đ

u

bilo

koja

dva

trenutka

vremena.

U

kinematici

se

prou

č

ava

kretanje

krutih

tijela,

tj.

tijela

koja

ne

mijenjaju

svoj

oblik

(nepromjenljiv

razmak

izme

đ

u

bilo

koje

dvije

ta

č

ke

tijela).

Kretanje

nekog

tijela

poznajemo

ako

poznajemo

položaj

svake

ta

č

ke

tog

tijela

u

toku

vremena

kretanja.

Zbog

toga

je

potrebno

prvo

prou

č

iti

kretanje

ta

č

ke,

a

zatim

tijela.

Stoga

se

i

kinemtika

može

podijeliti

na:

1.

Kinematku

ta

č

ke

2.

Kinematku

krutog

tijela

Ta

č

ka

u

kinemati

č

kom

smislu

je

geometrijska

ta

č

ka

koja

mijenja

položaj

u

prostoru

u

toku

vremena.

Ta

č

ka

može

biti

uo

č

ena

ta

č

ka

nekog

tijela,

npr.

M

1

,M

2

,

...

ili

to

može

biti

tijelo

zanemarljivo

malih

dimenzija.

7

ANALITI

Č

KI

(KOORDINATNI)

POSTUPAK

ODRE

Đ

IVANJA

KRETANJA

TA

Č

KE

a)

Dekartov

pravougli

koordinatni

sistem

Vektor

položaja

r



ta

č

ke

M

može

se

predstaviti

u

obliku

   

 

 

r

r t

x t i

y t j

z t k



















gdje

su

i



,

j



i

k



jedini

č

ni

vektori

osa

x

,

y

i

z

.

Vektorskoj

funkciji

r



odgovaraju

tri

skalarne

funkcije

 

 

 

,

,

x

x t

y

y t

z

z t







koje

se

zovu

zakon

kretanja

ili

kona

č

ne

jedna

č

ine

krivolinijskog

kretanja

ta

č

ke

u

Dekartovim

koordinatama.

Eliminacijom

parametra

t

iz

jedna

č

ina

kretanja

dobija

se

jedna

č

ina

linije

putanje

ta

č

ke.

b)

Polarno

cilindri

č

ni

koordinatni

sistem.

Polarne

koordinate.

Položaj

ta

č

ke

M

odre

đ

en

je

pomo

ć

u

koordinata

( ),

( ),

( )

r

r t

t

z

z t

 







koje

se

zovu

zakon

kretanja

ili

kona

č

ne

jedna

č

ine

krivolinijskog

kretanja

ta

č

ke

u

polarno

cilindri

č

nim

koordinatama.

Rastojanje

'

OM

r



je

polarno

rastojanje

i

naziva

se

poteg,

a



je

polarni

ugao.

Ako

se

ta

č

ka

M

kre

ć

e

u

ravni

xOy

,

onda

je

položaj

ta

č

ke

odre

đ

en

koordinatama

( ),

( )

r

r t

t

 





koje

se

nazivaju

zakon

kretanja

ili

kona

č

ne

jedna

č

ine

krivolinijskog

kretanja

ta

č

ke

u

polarnim

koordinatatama,

i

dobiju

se

za

z=0.

PRIRODNI

POSTUPAK

ODRE

Đ

IVANJA

KRETANJA

TA

Č

KE

Ako

je

poznata

putanja

(linija

putanje

ta

č

ke

‐

hodograf

vektora

položaja

ta

č

ke),

onda

je

položaj

ta

č

ke

M

potpuno

odre

đ

en

lu

č

nom

(krivolinijskom)

koordinatom

s

.

Na

putanji

se

uo

č

i

nepokretna

ta

č

ka

A,

koja

se

uzme

za

referentnu

ta

č

ku,

i

jedan

smjer

se

usvoji

kao

pozitivan

a

drugi

kao

negativan.

Orijentisani

luk

s

tada

jednozna

č

no

odre

đ

uje

položaj

ta

č

ke

M

na

putanji.

Ako

se

ta

č

ka

kre

ć

e

duž

krive,

onda

se

koordinata

s

mijenja

tokom

vremena,

tj.

 

s

s t



.

Ova

jedna

č

ina

naziva

se

kona

č

na

jedna

č

ina

kretanja

ta

č

ke

po

putanji

ili

zakon

kretanja

ta

č

ke

po

putanji.