Mehanika fluida 1

Факултет

техничких

наука

Нови

Сад

МЕХАНИК

A 

ФЛУИДА

 1 

Маша

Букуров

октобар

, 2011.  

1 

Кинематика

флуида

и

напонско

стање

У

механици

флуида

решавају

се

динамичке

једначине

кретања

за

разна

струјања

која

су

присутна

у

техничким

, 

физичким

, 

биолошким

и

другим

областима

. 

При

томе

упознају

се

све

спољашње

и

унутрашње

карактеристике

, 

односно

инерцијске

, 

вискозне

, 

притисне

, 

турбулентне

, 

спољашње

, 

еластичне

и

остале

силе

  (

величина

, 

карактер

, 

повезаност

, 

дејства

, 

утицај

и

последице

). 

Кинематика

флуида

, 

која

се

бави

проучавањем

геометријских

и

кинематских

карактеристика

струјања

, 

само

привидно

је

без

нарочитог

значаја

у

решавању

струјних

проблема

. 

Њен

значај

лежи

у

чињеници

да

је

до

данас

решен

ограничен

број

стварних

струјних

проблема

 (

реалан

флуид

), 

па

је

свака

информација

о

струјању

, 

без

обзира

са

које

стране

долази

  (

нпр

. 

аналогија

са

оптиком

, 

електротехником

, 

магнетизмом

, 

еластомехаником

), 

драгоцена

. 

Струјна

слика

са

распоредом

брзина

формира

се

непосредно

под

дејством

наведених

динамичких

величина

. 

Флуид

је

непрекидна

средина

, 

врло

покретна

и

деформабилна

. 

Непрекидност

се

задржава

и

при

изузетно

високим

деформацијама

које

су

често

присутне

у

струјном

пољу

. 

Уместо

деформација

разматрају

се

умереније

изражене

величине

 – 

брзине

деформација

које

су

повезане

са

напонским

стањем

. 

За

покретан

флуид

потребно

је

да

се

одреде

следеће

величине

: 

( ,

,

),

,

,

x

y

z

v

v v v

p

T

ρ

=

Свеукупност

ових

величина

у

посматраном

простору

и

времену

описује

струјно

поље

. 

Струјно

поље

је

стационарно

, 

ако

су

све

горе

наведене

величине

само

функције

положаја

. 

Када

су

ове

величине

променљиве

функције

и

времена

, 

поље

је

нестационарно

. 

Постоје

два

начина

за

проучавање

кретања

флуида

:  

o

Лагранжов

, 

када

се

за

сваки

флуидни

делић

одређује

путања

, 

брзина

и

убрзање

;  

o

Ојлеров

, 

који

се

састоји

у

праћењу

брзина

, 

убрзања

и

других

својстава

флуидних

делића

у

једној

непокретној

тачки

поља

. 

3 

O

во

описивање

одговарајуће

  je 

за

величине

које

су

везане

за

одређене

флуидне

делиће

, 

нпр

. 

распростирање

полутаната

. 

Сви

закони

одржања

(

масе

, 

количине

кретања

и

енергије

) 

такође

се

физички

јасније

представљају

Лагранжовим

методом

. 

Међутим

, 

Лагранжова

метода

захтева

велики

број

једначина

за

једно

струјно

поље

, 

због

великог

броја

флуидних

делића

, 

те

је

стога

неприхватљива

за

већину

проблема

. 

Такође

, 

било

каква

мерења

тешко

су

изводљива

, 

јер

би

мерни

апарати

морали

да

прате

флуидне

делиће

. 

Ојлеров

метод

Овим

методом

разматра

се

промена

струјних

величина

у

једном

сталном

месту

простора

, 

док

делићи

пролазе

кроз

ово

место

. 

Струјне

величине

могу

да

се

мере

непокретним

мерним

уређајима

. 

Међусобна

веза

између

Лагранжовог

и

Ојлеровог

метода

дата

је

у

следећој

једначини

за

својство

флуидног

делића

ϕ

: 

d

d

d

d

d

d

d

d

grad

x

y

z

x

y

z

t

t

x

t

y

t

z

t

v

v

v

v

t

x

y

z

t

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

∂

∂

∂

∂

=

+

+

+

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

+

+

+

=

+

∂

∂

∂

∂

∂

Материјална

  (

супстанцијална

) 

промена

величине

ϕ

(

тотални

извод

)

(

која

може

да

се

одреди

Лагранжовом

методом

) 

једнака

је

збиру

њене

локалне

и

конвективне

промене

  (

Ојлеров

метод

). 

Локална

промена

представља

промену

својства

ϕ

у

једној

тачки

флуидног

простора

током

времена

, 

а

конвективна

промена

је

промена

својства

флуида

због

тога

што

делић

флуида

прелази

из

једне

у

другу

тачку

струјног

простора

, 

тј

. 

конвективна

промена

описује

како

поље

брзина

утиче

на

величину

ϕ

  (

grad

v

ϕ

).  

На

пример

, 

својство

ϕ

може

да

буде

температура

Т

. 

Тада

тотални

извод

температуре

може

да

се

прикаже

у

виду

локалне

временске

промене

температуре

и

конвективне

промене

која

се

односи

на

утицај

поља

брзина

на

ту

промену

. 

d

grad

d

T

T

v

T

t

t

∂

=

+

∂

Кинематика

флуида

обрадиће

се

кроз

упознавање

са

битним

струјним

својствима

у

скаларном

, 

векторском

и

тензорском

пољу

. 

4 

Скаларно

поље

Скаларно

поље

је

простор

у

коме

је

дефинисана

скаларна

функција

положаја

U

=

U

(

x,y,z

). 

Скаларна

функција

положаја

може

да

описује

простор

, 

површину

или

линију

, 

па

су

скаларна

поља

тада

просторна

, 

површинска

или

линијска

. 

Линије

или

површине

на

којима

скаларна

функција

задржава

исту

вредност

су

еквискаларне

. 

Градијент

скаларне

функције

Слика

 2. 

Градијент

скаларне

функције

 – 

правац

најоштрије

промене

Ради

описивања

правца

промене

скаларне

величине

, 

својства

општег

за

све

врсте

скаларних

поља

, 

уводи

се

диференцијално

-

векторски

оператор

набла

i

j

k

x

y

z

∂

∂

∂

∇ =

+

+

∂

∂

∂

који

се

примењује

на

скаларну

функцију

U=U

(

x,y,z

) 

и

одређује

градијент

скаларне

функције

U

 (grad

U

): 

grad

U

U

U

U

i

j

k

x

y

z

∂

∂

∂

=

+

+

∂

∂

∂

. 

grad

U 

(

вектор

)

има

правац

и

смер

нормале

у

произвољној

тачки

површине

U=U

(

x,y,z

)

, 

а

пошто

је

нормала

најкраће

растојање

између

две

вредности

скалара

U

1

и

U

2

, 

то

  grad

U

представља

правац

најјаче

промене

скалара

U

. 

Смер

 grad

U

је

смер

пораста

промене

скалара

 (

слика

2

). 

За

операције

са

 grad 

важе

иста

правила

као

и

за

диференцирање

. 

Са

познатим

 grad

U

може

да

се

одреди

промена

скаларне

функције

U

у

било

ком

правцу

r

. 

Тотални

диференцијал

(

)

0

d

d

d

d

grad ,

d

U

U

U

U

x

y

z

U r

r

x

y

z

∂

∂

∂

=

+

+

=

∂

∂

∂

6 

Путања

представља

 "

траг

" 

који

за

собом

оставља

један

флуидни

делић

. 

При

стационарном

кретању

струјнице

су

уједно

и

путање

.  

Једначина

струјнице

одређена

је

векторском

једначином

: 

[ , d ]

0

v

s

=

Развијањем

векторског

производа

добија

се

: 

d

d

d

x

y

z

x

y

z

v

v

v

=

=

Увођење

струјнице

одговара

Ојлеровом

начину

посматрања

. 

Струјна

цев

Слика

 4. 

Струјна

цев

Без

неких

значајнијих

промена

карактеристика

струјнице

, 

могуће

је

проширити

струјницу

на

струјну

цев

  (

слика

  4

), 

тј

. 

на

скуп

свих

струјница

које

пролазе

кроз

све

тачке

затворене

криве

линије

. 

У

проточном

пресеку

струјне

цеви

брзине

не

морају

бити

једнаке

, 

док

се

притисци

сматрају

непроменљивим

, 

кад

год

су

изводнице

струјне

цеви

приближно

паралелне

. 

Дивергенција

вектора

брзине

Примена

оператора

∇

преко

скаларног

производа

на

векторску

функцију

доводи

до

скаларне

величине

  – 

дивергенције

те

векторске

функције

: 

(

)

div

y

x

z

x

y

z

v

v

v

v

v

i

j

k

v i

v j

v k

x

y

z

x

y

z

∂





∂

∂

∂

∂

∂

∇ ⋅ =

=

+

+

⋅

+

+

=

+

+





∂

∂

∂

∂

∂

∂





7 

Проток

Дивергенција

брзине

може

да

се

доведе

у

везу

са

запреминским

протоком

кроз

произвољну

флуидну

запремину

V 

омеђену

површином

А

(

слика

  5

). 

За

стационарно

струјање

, 

ако

тачкама

елементарног

проточног

пресека

припадају

брзине

v

, 

мора

бити

:  

d

d

( , d )

m

Q

v

A

ρ

ρ

=

=

тј

. 

( ,d )

A

m

v

A

ρ

=

∫

где

су

: 

m

 - 

масени

проток

флуида

кроз

површину

А

 [kg/s] 

Q

 - 

запремински

проток

флуида

кроз

површину

А

 [m

3

/s]. 

За

течности

густина

се

не

мења

, 

па

је

1

2

0

1

1

2

2

0

0

( ,d )

d

d

d

A

A

A

A

m

Q

v

A

v A

v A

v A

ρ

=

=

= −

+

±

∫

∫

∫

∫

где

су

: 

A

 - 

површина

 – 

омотач

запремине

флуида

V

: 

0

1

2

A

A

A

A

=

+

+

v

 - 

тј

. 

0

1

2

,

,

v

v v

 - 

брзине

нормалне

на

одговарајуће

делове

површине

А

. 

Слика

 5. 

div

v

као

мера

запреминског

протока

кроз

површину

А

Површински

интеграл

може

да

се

замени

запреминским

, 

те

следи

div d

V

Q

v V

=

∫

Ако

већа

количина

флуида

истиче

из

запремине

V

него

што

утиче

, 

Q

је

веће

од

нуле

, 

односно

  div

0

v

>

, 

тј

. 

из

посматране

запремине

извире

течност

која

се

додаје

струји

. 

Дивергенција

брзине

div

v

представља

, 

дакле

, 

разлику

количине

флуида

која

истече

из

јединице

запремине

9 

0

y

x

z

x

y

z

v

v

v

v

v

v

t

x

y

z

x

y

z

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

∂





∂

∂

∂

∂

∂

∂

+

+

+

+

+

+

=





∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂





или

(

)

grad

div

0

v

v

t

ρ

ρ

ρ

∂

+

+

=

∂

или

div (

)

0

v

t

ρ

ρ

∂

+

=

∂

. 

Када

је

струјање

стационарно

, 

а

флуид

нестишљив

, 

једначина

континуитета

представља

се

са

div

0

v

=

односно

d

0

Q

=

. 

Ако

се

у

флуидној

запремини

налази

извор

или

понор

издашности

±

ε

, 

једначина

континуитета

је

div (

)

v

t

ρ

ρ

ρε

∂

+

=

∂

где

је

d

V

ε

ε

±

=

 - 

специфична

издашност

извора

или

понора

 [m

3

/s/m

3

]. 

Једначина

континуитета

представља

закон

одржања

масе

флуида

и

уз

карактеристичну

и

динамичку

једначину

  (

законе

кретања

) 

служи

за

одређивање

непознатих

струјних

параметара

: 

ρ

, 

p

и

v

. 

Ротор

брзине

Ако

се

оператор

набла

∇

примени

на

векторску

функцију

брзине

преко

векторског

производа

, 

добија

се

сложена

векторско

-

диференцијална

величина

која

се

назива

ротор

брзине

rot

v

.  

Математички

израз

у

Декартовим

координатама

је

10 

[

]

rot

,

y

y

x

x

z

z

x

y

z

i

j

k

v

v

v

v

v

v

v

v

i

j

k

x

y

z

y

z

z

x

x

y

v

v

v









∂

∂









∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂









= ∇

=

=

−

+

−

+

−

















∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

























У

физичком

смислу

ротор

брзине

представља

меру

обртања

флуидног

делића

око

сопствене

тежишне

осе

. 

Вртлог

Флуидни

делићи

које

пролазе

кроз

сужење

подлежу

и

деформацији

и

ротацији

као

што

се

може

видети

на

слици

 6

. 

Слика

 6. 

Деформација

и

ротација

флуидних

делића

који

пролазе

кроз

сужење

Претпоставиће

се

, 

као

што

је

приказано

на

слици

  7

. 

да

се

елементарни

флуидни

делић

, 

приказан

у

равни

у

виду

правоугаоника

  ABCD 

са

странцама

  d

x

и

 d

y

у

тренутку

t

налази

се

са

својим

центром

у

тачки

О

. 

У

тренутку

t

+d

t

овај

флуидни

делић

заузима

ново

место

у

простору

О

’ 

деформишући

се

при

томе

у

четвороугао

  A’B’C’D’. 

Страница

  AB 

крећући

се

у

правцу

x

-

осе

и

ротирајући

се

за

 d

ε

1

заузима

ново

место

у

простору

 A’B’. 

Страница

 AD 

креће

се

у

y

правцу

и

ротира

се

за

 d

ε

2

. 

1

2

1

2

1

2

d

d d

d

d d

d

d

d

d

d

d

d

d

y

x

y

x

v

v

x t

y t

x

y

v

v

t

t

x

x

y

y

ε

ε

ε

ε

θ

θ

∂

∂

=

= −

∂

∂

∂

∂

=

=

=

= −

∂

∂

Угаоне

брзине

страница

 AB 

и

 AD 

су

ω

1

и

ω

2

: 

1

2

1

2

d

d

d

d

y

x

v

v

t

x

t

y

θ

θ

ω

ω

∂

∂

=

=

=

= −

∂

∂

12 

rot

2

v

ω

=

назива

се

вртлогом

. 

Вртлог

је

позитиван

уколико

је

обртање

флуидних

делића

у

смеру

супротном

од

кретања

казаљке

на

часовнику

. 

Ротор

брзине

показује

колико

је

и

какво

обртање

флуидног

делића

у

ма

којој

тачки

струјног

поља

око

сопствене

тежишне

осе

.  

Слика

 8. 

Вртложно

струјање

; 

а

)

заробљен

 – 

вештачки

вртлог

б

) 

слободан

вртлог

Као

што

је

приказано

на

слици

 8

, 

цилиндричан

суд

који

садржи

течност

обрће

се

око

вертикалне

осе

одређеном

угаоном

брзином

. 

Када

се

сва

течност

обрће

константном

угаоном

брзином

ω

=

const.

око

неке

осе

(

тачке

), 

као

да

се

ради

о

чврстом

телу

, 

а

не

флуиду

; 

сви

њени

делићи

обрћу

се

истом

угаоном

брзином

око

те

исте

осе

  (

тачке

). 

Ово

је

тзв

. 

заробљен

  – 

вештачки

вртлог

  (

слично

релативном

мировању

у

статици

флуида

). 

На

слици

лево

приказан

је

случај

тзв

. 

заробљеног

вртлога

, 

при

коме

дрвце

које

плива

на

слободној

површини

ротира

заједно

са

судом

. 

Слика

десно

приказује

слободан

вртлог

, 

када

дрвце

не

ротира

. 

Овај

случај

среће

се

кад

год

флуид

истиче

кроз

мали

отвор

на

дну

суда

. 

Иако

се

флуид

обрће

, 

његови

делићи

заузимају

исти

правац

без

ротирања

. 

Урагани

, 

речни

вирови

, 

торнада

примери

су

природних

вртлога

. 

Иако

је

структура

ових

вртлога

комплексна

, 

основни

елементи

који

чине

ове

вртлоге

су

заробљен

вртлог

у

центру

и

слободан

вртлога

на

периферији

. 

Многи

од

вртлога

у

природи

су

овог

типа

.  

13 

Циркулација

Линијски

интеграл

по

затвореној

кривој

С

  (

слика

  9

) 

скаларног

производа

вектора

брзине

v

и

вектора

елемента

затворене

криве

линије

d

s

означава

се

са

Г

 (

гама

) 

и

назива

се

циркулација

.  

( ,d )

cos d

(rot ,d )

(2 ,d )

C

C

A

A

v

s

v

s

v

A

A

α

ω

Γ =

=

=

=

∫

∫

∫

∫

. 

Коначна

вредност

циркулације

означава

присуство

  "

протока

вртлога

2( , d )

A

A

ω

∑

" 

кроз

целу

површину

А

. 

При

томе

, 

исто

као

и

за

вртлог

, 

уколико

се

при

обилажењу

контуре

С

у

правцу

супротном

од

кретања

казаљке

на

сату

добија

вредност

већа

од

нуле

, 

циркулација

је

позитивна

и

обрнуто

. 

Слика

 9. 

Циркулација

Г

Слика

 10. 

Независност

Г

од

облика

и

величине

затворене

контуре

Ако

се

само

у

једној

тачки

В

струјног

поља

 (

слика

 10

) 

флуидни

делићи

15 

d

d

d

x

y

z

x

y

z

ω

ω

ω

=

=

За

вртложна

влакна

и

цеви

важи

закон

о

неуништивости

вртлога

и

представља

се

једначином

 (

за

.

const

ω =

по

пресеку

А

) 

1 1

2

2

A

A

ω

ω

=

где

су

површине

А

1

и

А

2

нормалне

на

ω

1

и

ω

2

.

Слика

 11. 

Вртложно

поље

Слика

 12. 

Неуништивост

идеалног

вртлога

Вртложне

линије

не

почињу

и

не

завршавају

се

у

вртложном

пољу

. 

Неуништивост

вртлога

важи

за

идеализовани

случај

вртложења

без

трења

  (

идеалан

флуид

  – 

слика

  12

). 

У

реалном

флуиду

вртлози

, 

који

се

најчешће

принудно

формирају

, 

нестају

током

времена

. 

Њихова

енергија

претвара

се

у

топлотну

и

предаје

околном

флуиду

. 

Неуништивост

вртлога

објашњава

дуго

време

постојања

циклон

, 

торнада

, 

урагана

, 

одн

. 

вртложних

формација

у

атмосфери

. 

Сложено

поље

. 

Код

сложеног

поља

важи

  div

0

v

≠

и

  rot

0

v

≠

. 

У

оваквом

пољу

има

и

вртлога

и

извора

и

понора

. 

Компликовано

је

за

проучавање

.  

16 

Векторско

поље

убрзања

Поље

убрзања

значајно

је

јер

репрезентује

инерцијске

силе

. 

У

свакој

тачки

овог

поља

одређен

је

вектор

убрзања

флуидних

делића

који

се

у

датим

тренуцима

налазе

у

њој

. 

Инерцијске

силе

, 

као

и

остале

величине

у

механици

флуида

, 

изражавају

се

по

јединици

масе

флуида

, 

те

су

представљене

убрзањем

и

имају

такву

димензију

.  

d

( , )

d

x

y

z

v

v

v

v

v

v

a

v

v

v

v

v

t

t

x

y

z

t

∂

∂

∂

∂

∂

=

=

+

+

+

=

+

∇

∂

∂

∂

∂

∂

где

су

: 

d

d

v

t

 - 

супстанцијални

или

тотални

извод

брзине

по

времену

; 

v

t

∂

∂

 - 

локални

извод

по

времену

, 

одн

. 

како

се

мења

брзина

v

у

уоченој

тачки

струјног

поља

са

временом

: 

( , )

v

v

∇

 - 

назива

се

конвективни

извод

брзине

v

и

представља

промену

брзине

v

у

једној

тачки

поља

при

њеном

померању

у

неком

правцу

.  

Тензорско

поље

У

савременој

физици

проучавају

се

појмови

који

не

могу

да

се

опишу

уобичајеним

изразима

више

математике

. 

У

ову

групу

спадају

и

тензори

. 

Тензори

су

скупови

више

величина

којима

се

дефинише

неко

физичко

својство

тела

у

простору

. 

Простор

где

су

тензори

дефинисани

назива

се

тензорским

пољем

. 

У

таквим

пољима

као

и

у

скаларним

и

векторским

, 

тензори

су

функција

положаја

. 

У

наставку

помињу

се

тензори

брзине

деформисања

флуидних

делића

и

напони

који

су

с

тим

повезани

. 

Тензор

брзина

деформисања

делића

Потпуна

слика

о

кретању

делића

течности

добија

се

једино

када

се

, 

поред

кретања

, 

познаје

и

начин

на

који

се

делићи

деформишу

. 

С

обзиром

на

то

што

гасови

и

течности

представљају

веома

покретљиве

средине

, 

делићи

флуида

се

јако

деформишу

, 

тако

да

је

важнија

брзина

деформисања

од

самих

деформација

. 

Овом

одликом

флуиди

се

битно

разликују

од

чврстих

тела

где

су

деформације

веома

мале

и

споре

. 

18 

div

y

x

z

v

v

v

v

x

y

z

∂

∂

∂

=

+

+

∂

∂

∂

што

представља

брзину

релативне

запреминске

промене

делића

 (

слика

14

), 

јер

се

под

дејством

нормалних

напона

првобитна

запремина

шири

или

скупља

.  

Слика

 14. 

div

v

 - 

брзина

релативне

запреминске

промене

делића

Из

раније

поменуте

једначине

div d

V

Q

v V

=

∫

div

v

представља

и

елементарни

проток

флуида

. 

Тензор

напона

 – 

напонско

стање

Ако

се

из

бестежинског

вискозно

-

струјног

флуидног

простора

издвоји

флуидни

елемент

, 

његово

равнотежно

стање

дато

је

одређеном

конфигурацијом

тангенцијалних

и

нормалних

напона

, 

који

представљају

дејство

околне

вискозне

средине

на

издвојени

флуидни

делић

. 

Нормални

напони

усмерени

су

у

правцу

спољашњих

нормала

граничних

површина

издвојеног

делића

и

представљају

дејство

привлачних

  – 

вискозних

нормалних

сила

околине

. 

Тангенцијални

напони

распоређени

су

у

равнима

  – 

омотачима

издвојеног

делића

, 

а

представљају

дејствовање

смичућих

сила

околине

због

издвајања

њеног

дела

.  

Први

индекс

означава

осу

која

је

нормална

на

површиницу

, 

а

други

правац

осе

по

којој

се

напон

испољава

. 

Напони

σ

xx

, 

σ

yy

и

σ

zz

су

19 

нормални

напони

услед

чисте

вискозности

, 

а

τ

yx

=

τ

xy

, 

τ

zx

=

τ

xz

и

τ

zy

=

τ

yz

су

тангенцијални

напони

. 

Нормални

и

тангенцијални

напони

имају

позитиван

знак

кад

смер

нормале

на

површину

и

смер

деловања

напона

имају

исти

знак

у

односу

на

оријентацију

координата

. 

У

противном

, 

напони

су

негативни

 (

слика

 15

). 

Слика

 15. 

Распоред

напона

на

издвојеном

флуидном

делић

у

Тензор

напона

вискозних

сила

представљен

је

са

: 

xx

yx

zx

xy

yy

zy

xz

yz

zz

S

σ

τ

τ

τ

σ

τ

τ

τ

σ









≡













. 

Веза

напона

са

брзинама

деформисања

Њутн

је

успоставио

везу

између

напонског

и

деформацијског

стања

у

виду

следећих

једначина

21 

Веза

између

напона

и

брзина

деформисања

користи

се

за

извођење

Навије

-

Стоксове

једначине

. 

Притисак

Притисак

у

једној

тачки

струјног

простора

има

константну

вредност

, 

без

обзира

на

оријентацију

површине

на

коју

дејствује

. 

Он

је

последица

дејства

спољашњих

поремећаја

  (

клип

који

притискује

флуид

) 

или

запреминских

спољашњих

сила

  (

привлачна

сила

Земљине

теже

  – 

тежина

флуида

). 

Притисак

дејствује

у

истом

правцу

као

и

нормални

  – 

вискозни

напон

, 

али

је

супротно

оријентисан

  – 

усмерен

ка

омотачу

издвојене

флуидне

запремине

. 

Разлика

интензитета

притиска

и

нормалног

 – 

вискозног

напона

одређује

општи

нормални

напон

, 

који

је

усмерен

ка

површини

на

којој

се

мери

 (

не

важи

правило

са

индексима

). 

Три

нормална

 (

општа

) 

напона

дата

су

са

: 

;

;

xx

xx

yy

yy

zz

zz

p

p

p

p

p

p

σ

σ

σ

= −

= −

= −

Сабирање

ова

три

нормална

напона

, 

водећи

рачуна

да

је

0

xx

yy

zz

σ

σ

σ

+

+

=

добија

се

(

)

1

3

xx

yy

zz

p

p

p

p

=

+

+

Ова

једначина

служи

за

одређивање

вредности

притиска

у

једној

тачки

струјног

простора

.  

Притисак

је

непроменљив

у

једној

тачки

и

одређује

се

преко

нормалних

напона

p

xx

, 

p

yy

,

 p

zz

који

се

мере

појединачно

.  

За

флуид

, 

у

стању

мировања

, 

важи

0

xx

yy

zz

σ

σ

σ

=

=

=

, 

односно

xx

yy

zz

p

p

p

p

=

=

=

.  

У

динамици

флуида

статички

притисак

одговара

горњој

релацији

. 

22 

Потенцијално

струјање

M

одел

потенцијалног

струјања

са

граничним

слојем

Теорија

потенцијалног

струјања

најстарија

је

област

аналитичке

механике

флуида

и

датира

из

половине

  XVIII 

века

. 

Све

до

Прантлове

хипотезе

математичка

решења

бројних

случајева

потенцијалног

струјања

нису

имала

  (

или

су

имала

врло

ограничену

) 

инжењерску

примену

. 

Стварно

струјно

поље

аналитички

се

представља

комбинацијом

потенцијалног

поља

и

граничног

слоја

. 

Коришћењем

модела

потенцијалног

струјања

са

граничним

слојем

добија

се

могућност

аналитичког

решавања

унутрашњих

и

спољашних

струјања

  (

губици

у

цевима

, 

силе

отпора

и

узгона

при

опструјавању

тела

). 

Значај

рачунског

решавања

стварних

струјних

проблема

огледа

се

у

томе

што

нема

потребе

за

експерименталним

одређивањем

карактеристичних

, 

често

најважнијих

елемената

струјања

као

што

су

коефицијенти

: 

локалних

губитака

, 

узгона

и

отпора

. 

Постављање

модела

потенцијалног

струјања

са

граничним

слојем

уследило

је

због

знатних

одступања

која

су

се

јављала

при

аналитичком

решавању

струјања

са

високим

Рејнолдсовим

бројем

, 

уз

претпоставку

о

занемареној

сили

трења

  (

R

е

је

однос

инерцијских

и

вискозних

сила

). 

Примери

занемаривања

вискозних

и

инерцијских

сила

су

Бернулијева

једначина

за

идеалан

флуид

и

потпуно

развијено

струјање

у

цевима

. 

Прантл

је

  1904. 

године

први

поставио

хипотезу

граничног

слоја

по

којој

су

, 

за

струјања

са

великим

Рејнолдсовим

бројевима

, 

ефекти

вискозности

и

вртложења

ограничени

на

узан

слој

флуида

уз

граничну

површину

чврстог

тела

или

површину

дисконтинуитета

  (

гранична

површина

млаза

). 

Изван

ове

области

струјање

се

понаша

као

идеално

: 

невискозно

и

невртложно

, 

тј

. 

потенцијално

. 

На

слици

  1 

приказане

су

области

граничног

слоја

и

потенцијалног

струјања

за

пример

спољашњег

и

унутрашњег

струјања

. 

24 

струјна

слика

спољашњег

и

потенцијалног

струјања

потенцијалног

струјања

из

претходно

одређеног

распореда

притиска

. 

Повезаност

решавања

потенцијалног

струјања

и

граничног

слоја

је

приказана

на

слици

  2.

Повратна

спрега

  (

корекције

) 

прорачуна

граничног

слоја

и

потенцијалног

струјања

служи

за

добијање

тачнијег

распореда

притиска

што

је

посебно

значајно

при

решавању

проблема

унутрашњих

струјања

као

што

је

нпр

. 

улазна

област

цеви

. 

Сл

.2. 

Шематски

приказ

прорачуна

при

великим

 R

е

модела

потенцијалног

струјања

и

граничног

слоја

Иако

се

у

новије

време

мерењем

распореда

притиска

на

граници

и

кроз

гранични

слој

у

потпуности

избегава

решавање

потенцијалног

струјања

, 

потреба

за

коришћењем

модела

потенцијалног

струјања

са

граничним

слојем

остаје

, 

јер

представља

компоненту

теоријског

развоја

распоред

тангенцијалног

напона

на

чврстој

површини

,

τ

0

површински

распоред

притиска

притисак

корекције

(

према

избору

, 

нпр

. 

узимање

у

обзир

δ

за

смањењење

потенцијалног

струјног

тока

) 

дебљина

граничног

слоја

прорачун

потенцијалног

струјања

прорачун

граничног

слоја

одвајање

у

граничном

слоју

? 

важеће

решење

целокупног

струјног

проблема

почетак

25 

механике

флуида

која

је

најдубље

продрла

у

реалне

струјне

проблеме

. 

Иницирање

стварне

слике

струјања

и

могућност

комбиновања

и

описивања

нових

реалних

и

имагинарних

струјања

захтева

изучавање

потенцијалног

струјања

  - 

најзначајнијег

представника

кретања

идеалног

флуида

.  (

Само

понекад

потенцијално

струјање

примењује

се

на

слабо

компресибилне

флуиде

.) 

Гранични

слој

се

изучава

нешто

касније

јер

се

његов

практичан

значај

манифестује

кроз

отпоре

тела

која

се

крећу

кроз

флуид

 - 

најважнију

дисциплину

примењене

механике

флуида

у

техници

. 

Функција

потенцијала

брзине

φφφφ

и

струјна

функција

ψ

ψ

ψ

ψ

Полазна

претпоставка

потенцијалног

струјања

да

невискозан

флуид

условљава

непостојање

вртлога

може

да

се

докаже

математичким

путем

или

објасни

на

следећи

начин

. 

Да

би

се

у

невтрложном

струјању

појавили

вртлози

потребан

је

момент

, 

међутим

, 

у

одсуству

тангенцијалних

сила

  (

невискозан

флуид

) 

једине

силе

које

постоје

су

нормалне

  (

притисак

који

делује

кроз

геометријско

тежиште

флуидног

делића

) 

и

тежина

  (

која

делује

кроз

центар

месе

флуидног

делића

). 

Ниједна

од

ових

сила

у

флуиду

једнолике

густине

не

може

да

изазове

момент

који

ће

обртати

флуидни

делић

. 

У

одсуству

вискозности

вртложење

не

може

да

се

појави

ни

уколико

кроз

миран

флуид

пролази

чврсто

тело

, 

тако

да

важи

већ

раније

исказан

постулат

да

уколико

је

почетно

струјање

без

вртлога

оно

ће

и

остати

безвртложно

. 

На

овом

месту

треба

поновити

да

стационарно

и

невртложно

струјање

Ојлерову

једначину

редукује

на

основни

облик

Бернулијеве

једначине

која

важи

за

цело

струјно

поље

. 

2

d

.

2

v

p

gz

const

ρ

+

+

=

∫

Услов

невртложности

[

]

,

rot

0

v

v

∇

=

=

захтева

v

φ

= ∇

27 

Слика

 3. 

Израчунавање

запреминског

протока

између

две

струјнице

За

одређену

струјницу

ψ

=const. 

важи

d

d

d

0

x

y

x

y

ψ

ψ

ψ

∂

∂

=

+

=

∂

∂

тј

. 

.

d

d

y

const

x

v

y

x

x

v

y

ψ

ψ

ψ

=

∂





∂

=

=





∂





∂

представља

нагиб

струјнице

. 

Линије

φ

=const. 

које

се

називају

еквипотенцијалним

линијама

нормалне

су

на

струјнице

пошто

се

из

d

d

d

0

x

y

x

y

φ

φ

φ

∂

∂

=

+

=

∂

∂

и

.

d

d

x

const

y

v

y

x

x

v

y

φ

φ

φ

=

∂





∂

=

= −





∂





∂

види

да

је

њихов

нагиб

реципрочно

негативан

према

струјницама

. 

Ова

законитост

губи

се

само

у

тачкама

сингуларитета

  (

тачке

у

којима

су

v

x

=0 

и

v

y

=0). 

На

слици

  4

приказане

су

струјнице

и

еквипотенцијалне

линије

за

спољашње

и

унутрашње

струјање

. 

За

невртложно

струјање

важи

28 

2

0

y

x

z

v

v

x

y

x

x

y

y

ψ

ψ

ω

ψ

∂





∂

∂

∂

∂

∂





=

−

=

−

−

−

= −∆ =









∂

∂

∂

∂

∂

∂









односно

струјна

функција

мора

да

задовољи

Лапласову

једначину

као

и

функција

φ

2

2

0

x

y

ψ

ψ

∂

∂

+

=

∂

∂

Функције

φ

и

ψ

различите

су

, 

иако

задовољавају

исту

једначину

због

различитих

граничних

услова

. 

Слика

 4.