Zadaci za vježbu – MFII – 1. kolokvij
1. Polje brzine u stacionarnom ravninskom strujanju fluida, zadano je komponentama:
1
1 2
4
v
x x
=
2
2
2
1
v
Ax
= +
pri
č
emu su sve veli
č
ine mjerene jedinicama iz SI sustava mjera.
a) Odredite konstantu
A
da bi dano polje brzine ozna
č
avalo nestla
č
ivo strujanje,
te za tako definirano nestla
č
ivo strujanje odredite:
b) strujnu funkciju,
c) to
č
ke zastoja,
d) protok kroz spojnicu ishodišta koordinatnog sustava i to
č
ke T(1,1),
e) ubrzanje
č
estice fluida koja se nalazi u to
č
ki T,
f) kutnu brzinu rotacije
č
estice fluida u to
č
ki T.
[Rj. a) A=-2; b)
2
1 2
1
2
x x
x
ψ
=
−
; c)
1
2
T (0,
)
2
,
1
2
T (0,
)
2
−
; d)
2
1 m / s
Q
=
;
e)
(
)
2
12, 4 m/s
a
=
G
; f)
-1
3
2 s
ω
= −
]
2.
Komponente polja brzine zadane su izrazima (sve veli
č
ine zadane su u SI
sustavu mjernih jedinica.):
v
x
= A
xz
+C(
y
2
–
z
2
)
v
y
= 3
y
(
x
–
z
)
v
z
= -3
xz
+B(
x
2
–
y
2
)
a)
Odredite konstantu A tako da polje brzine opisuje nestla
č
ivo strujanje.
b)
Odredite konstante B i C tako da polje brzine (uz prethodno odre
đ
enu
konstantu A) opisuje bezvrtložno strujanje.
c)
Uz tako odre
đ
ene vrijednosti konstanti A i B odredite ubrzanje
č
estice fluida u
to
č
ki M(1, 1, 1).
d)
Ako se u to
č
ki M zamisli elementarni paralelopiped bridova d
x
, d
y
, d
z
,
odredite brzinu promjene kuta me
đ
u bridovima d
x
i d
y.
3. Strujna funkcija za ravninsko strujanje je dana izrazom
2
3
3
x y y
ψ
=
−
, gdje su
x
i
y
koordinate izražene u m, a
ψ
u m
2
/s. Odredite protoke kroz dužinu AB zadanu
to
č
kama A(1,0) i B(0,1). Skicirajte strujnice koje prolaze ishodištem.
4. Strujna funkcija je dana izrazom
2
3
x
y
ψ
=
−
, gdje se
ψ
mjeri u m
2
/s, a
x
i
y
u m.
a) Skicirajte sliku strujnica i na strujnicama ucrtajte smjer strujanja.
b) Provjerite je li strujanje bezvrtložno i nestla
č
ivo.
c) Odredite polje ubrzanja za ovo strujanje.
5. Potencijal neviskoznog strujanja u horizontalnoj ravnini dan je izrazom:
2
3
(3
)
x y y
ϕ
= −
−
,
gdje je
φ
izražen u m
2
/s, a
x
i
y
u metrima. Odredite razliku tlaka
p
A
-
p
B
u to
č
kama
A(1,1) i B(2,3), ako je fluid gusto
ć
e
ρ
=800 kg/m
3
.
6. Tvornica na jednom mjestu uzima vodu iz rijeke odre
đ
enim protokom
Q
, a
nizvodno nakon udaljenosti
h
istu koli
č
inu vra
ć
a u rijeku. Ovo se strujanje modelira
ravninskom kombinacijom paralelnog strujanja, ponora kapaciteta 2
Q
= 2 m
2
/s i
izvora istog kapaciteta. Brzina rijeke je
v
∞
= 2 m/s. Odredite minimalnu udaljenost
h
min
izme
đ
u mjesta uzimanja i mjesta ispuštanja vode da se ne dogodi da se uzima
ispuštena voda. Slike prikazuju strujnice za
h < h
min
i
h > h
min
.
ponor
izvor
h<h
min
ponor
izvor
h>h
min
7. Odredite silu
F
na beskona
č
ni horizontalni zid pri potencijalnom nastrujavanju
fluida iz beskona
č
nosti brzinom
v
∞
na izvor kapaciteta
Q
udaljen za duljinu
a
od
horizontalne podloge, prema slici.
Pomo
ć
:
(
)
2
2
2
2
2
2
1
2(
) 2
x dx
x
x
arctg
a
x
a
a
a
x
−
=
+
+
+
∫
8. Kombinacijom paralelnog strujanja brzinom
5 m/s
v
∞
=
i to
č
kastog izvora
kapaciteta
3
1.2 m /s
Q
=
u ishodištu koordinatnog sustava nastaje polubeskona
č
no
osnosimetri
č
no tijelo. Odredite udaljenost
a
tjemena tijela od ishodišta koordinatnog
sustava i asimptotsku vrijednost (daleko od tjemena) polumjera
R
∞
tijela.
[Rj.
4
Q
a
v
π
∞
=
,
Q
R
v
π
∞
∞
=
]
9. Istjecanje vode gusto
ć
e
ρ
=1000 kg/m
3
kroz kružni otvor na dnu bazena može se
aproksimirati ravninskim potencijalnim strujanjem dobivenim kombinacijom ponora
kapaciteta
Q
= -2
π
m
2
/s. i vrtloga cirkulacije
Γ
= 2
π
m
2
/s. Odredite silu na kuglicu
volumena
V
= 1 cm
3
koja se giba zajedno s fluidom i nalazi se na udaljenosti
r
= 1 m
od središta otvora.
Uputa : Za izra
č
unavanje sile tlaka po površini kuglice primijenite teorem Gauss-
Ostrogradskog i pretpostavite konstantni gradijent tlaka unutar volumena kuglice.
[Rj.
3
2 10 N
F
−
= ⋅
, djeluje prema središtu otvora]
a
Q
v
∞
