MEHANIKA FLUIDA
Kratka skripta za studente Tehni
č
kog fakulteta u Rijeci
Luka Sopta
Lado Kranj
č
evi
ć
Rijeka, 2003.
SADRŽAJ
1. Statika fluida
2. Osnove dinamike fluida
3. Strujanje idealnog fluida
4. Strujanje realnog fluida u cijevi
5. Optjecanje tijela
1
Gusto
ć
a masene sile,
u oznaci
f
r
, se definira u svakoj to
č
ki promatranog tijela fluida kao
(
)
V
F
m
F
z
y
x
f
m
V
m
m
∆
∆
=
∆
∆
=
→
∆
→
∆
ρ
r
r
r
0
0
0
0
0
lim
lim
,
,
,
gdje je
∆
m masa tijela
∆
V koje sadrži to
č
ku (x
o
, y
o
, z
o
) i
m
F
r
∆
masena sila na to tijelo (
Sl.1.2
).
Gusto
ć
a kontaktne sile,
u oznaci
t
r
, se definira u svakoj to
č
ki tijela fluida kao
(
)
S
F
z
y
x
t
S
A
∆
∆
=
→
∆
r
r
0
lim
,
,
,
gdje je
∆
S
površina diferencijalnog dijela ravnine definirane to
č
kom (x, y, z) i normalom
n
r
, te
S
F
r
∆
kontaktna sila na
∆
S
(
Sl.1.3
).
Uz osnovna dva zakona statike fluida, koji su ujedno osnovni zakoni statike bilo kojeg
kontinuuma, potrebno je definirati konstitutivnu relaciju za fluid koja se o
č
ituje u definiranju
tenzora naprezanja. Fluid u stanju mirovanja nema tangencijalnih naprezanja, odnosno gusto
ć
a
kontaktne sile u proizvoljnoj to
č
ki (x, y, z) fluida kolinearna je vektoru normale za proizvoljno
zadanu ravninu u to
č
ki (x, y, z) (
Sl.1.3
), tj.
(
)
n
t
z
y
x
t
r
r
r
⋅
−
=
0
0
0
,
,
.
Intezitet gusto
ć
e kontaktne sile zove se tlak i ozna
č
ava se sa
p
. Stoga:
(
)
n
p
z
y
x
t
r
r
⋅
−
=
0
0
0
,
,
Intenzitet tlaka ne mijenja se s promjenom položaja plohe u promatranoj to
č
ki.
Kad fluid miruje, sila na plohu je okomita i tlak je uvijek isti, kako god postavili plohu
.
s
∆
Tlak je temeljna varijabla u mehanici fluida.
Tlak u to
č
ki (x, y, z),
p(x,y,z)
, definiran je omjerom intenziteta kontaktne sile i površinom plohe.
Osnovna jedinica
za tlak je paskal, u oznaci Pa, i jednaka je kvocijentu sile od jednog njutna i
površine od jednog metra kvadratnog, Pa (paskal) =N/m
2
.
Č
esto se koristi i jedinica
bar
= 10
5
Pa.
1.2 Osnovna jednadžba statike fluida – Eulerova jednadžba
f
p
r
ρ
=
grad
Eulerova jednadžb predstavlja sustav diferencijalnih jednadžbi:
x
f
x
p
ρ
∂
∂
=
y
f
y
p
ρ
∂
∂
=
z
f
z
p
ρ
∂
∂
=
Zadatak statike fluida sastoji se u tome da se iz Eulerove jednadžbe statike fluida uz poznatu
f
r
-
gusto
ć
u volumne sile i
ρ
- gusto
ć
u (mase), izra
č
una raspodjela tlaka
p(x,y,z).
3
Eulerova jednadžba izražava zakonitost da je najve
ć
a promjena tlaka (
grad p
) u miruju
ć
em fluidu
u smjeru masene sile
r
. Gradijent tlaka je vektor okomit na
izobaru
(plohu jednakog tlaka).
f
1.3 Fluid konstantne gusto
ć
e u polju sile teže
Važan slu
č
aj je slu
č
aj fluida konstantne gusto
ć
e (homogenog fluida) u konstantnom polju sile teže.
Koordinatni sustav definiran je tako da je
k
g
f
r
r
=
,
gdje je
g
= 9,81 m/s
2
ubrzanje sile teže (
Sl.1.4
).
voda
z
x
y
zrak
=
.
k
f
g
p
0
Izobare
Sl.1.4 Miruju
ć
i fluid u polju sile teže
Eulerova jednadžba napisana po komponentama glasi:
g
z
p
y
p
x
p
ρ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
=
=
,
0
,
0
.
Iz prve dvije jednadžbe izlazi da je
p
funkcija samo varijable
z
, tj.
p
=
p
(
z
). Tre
ć
a diferencijalna
jednadžba je:
g
dz
dp
ρ
=
.
Op
ć
e rješenje ove jednadžbe je
C
gz
z
p
+
=
ρ
)
(
.
Konstanta integracije C se odre
đ
uje iz poznavanja tlaka u jednoj to
č
ki fluida. Za z = 0, prema slici
Sl.1.4
tlak je p = p
0
pa slijedi vrijednost konstatne integracije C:
C
p
p
=
=
0
)
0
(
.
Iz prethodnog izraza vidljivo je: Izobare, plohe jednakog tlaka, su ravnine
, gdje je C
proizvoljan broj, odnosno izobare su ravnine okomite na smjer sile teže. Na odredenoj dubini
fluida
z = h
tlak je:
C
z
=
( )
gh
p
z
p
ρ
+
=
0
.
4
1.5. Relativno mirovanje fluida
Jednoliko ubrzanje fluida.
Promatra se fluid u posudi koja se giba konstantnim ubrzanjem
a
r
, (
Sl.1.8
)
Č
estice fluida miruju u
koordinatnom sustavu vezanom za spremnik.
Sl.1.8
Gusto
ć
a masene sile je:
g
a
f
r
r
r
−
−
=
Eulerova jednadžba glasi:
(
)
g
a
f
p
grad
r
r
r
+
−
=
⋅
=
ρ
ρ
,
odnosno po komponentama:
g
z
p
y
p
a
x
p
ρ
∂
∂
∂
∂
ρ
∂
∂
−
=
=
−
=
0
Iz druge jednadžbe slijedi
( )
z
x
p
p
,
=
.
Integracijom iz prve jednadžbe slijedi
)
(
z
ax
p
ϕ
ρ
+
−
=
Uvrštavanjem u tre
ć
u jednadžbu dobije se:
C
gz
z
g
dz
dp
z
p
+
−
=
−
=
=
∂
∂
ρ
ϕ
ρ
)
(
,.
Kona
č
no se može napisati
C
z
g
x
a
p
+
−
−
=
ρ
ρ
.
6
