Odsek:
Tehnička mehanika
Predmet:
Mehanika kontinuma
Ispitni zadatak iz Mehanike kontinuuma
Seminarski rad
Student: Miroslava Bunić
Mentor: prof. dr Valentin Glavardanov
Br. indeksa: MT 18/2014
Novi Sad, 2017.
Miroslava Bunić
Seminarski rad
2
SADRŽAJ:
1.
Uvod..............................................................................................................................................3
2.
Kovarijantni sistem,bazni vektori i metrički tenzori.....................................................................4
3.
Kristofelovi simboli.......................................................................................................................7
4.
Zakon održanja mase,fizičke komponente vektora brzine i tenzora napona.................................9
5.
Konstitutivne jednačine...............................................................................................................12
6.
Navier-Stokesove jednačine........................................................................................................13
7.
Određivanje fizičkih komponenata vektora brzine i tenzora napona..........................................19
8.
Prilog...........................................................................................................................................22
Miroslava Bunić
Seminarski rad
4
2. Koordinatni sistem, bazni vektori i metrički tenzor
2.1
Koordinatni sistem
Usvojeni sistem je
polarno-cilindrični koordinatni sistem
. Lako se vidi da geometrija osnovi jeste
cilindrična. Veza između polarnih koordinata i Dekartovih koordinata data je sa:
cos
x
r
sin
y
r
z
z
U slučaju da nam je potrebna zavisnost radijalne koordinate
r,
ugaone koordinate
θ
i pravolinijske
koordinate
z
u funkciji od dekartovih koordinata:
2
2
r
x
y
1
tan
y
x
z
z
Koordinate dekartovog kordinantog sistema biće označavane na sledeći način:
1
2
3
,
,
,
x
z
y
z
z
z
u indeksnoj notaciji ove koordinate mogu označiti
z
j
.
Koordinate sfernog koordinantnog sistema biće označavane na sledeći način:
1
2
3
,
,
,
r
x
x
x
u indeksnoj notaciji ove koordinate mogu označiti
x
i
.
2.2
Kovarijantni bazni vektori
Predstavljaju vektore tangente na trajektoriju infinitezimale čestice čije se kretanje posmatra u
krivojlinijskom koordinatnom sistemu. U opštem slučaju oni ne moraju biti jedinični,označavaju se sa
(
g
i
), a definisani su kao:
j
i
z
x
i
j
g
e
(2.1)
gde oznaka
e
j
označava komponente jediničnih vektora u dekartovom koordinantnom sistemu.
Ako jednačinu (2.1) sumiramo po indeksu
j
ona postaje:
1
2
3
2
3
i
i
i
z
z
z
x
x
x
i
1
g
e
e
e
Sada možemo odrediti kovarijantne bazne vektore:
1
2
3
2
3
2
3
2
1
1
1
cos
sin
z
z
z
x
y
z
x
x
x
r
r
r
1
1
1
1
g
e
e
e
e
e
e
e
e
Miroslava Bunić
Seminarski rad
5
1
2
3
2
3
2
3
2
2
2
2
sin
cos
z
z
z
x
y
z
r
r
x
x
x
2
1
1
1
g
e
e
e
e
e
e
e
e
1
2
3
3
2
3
2
3
3
3
3
3
z
z
z
x
y
z
x
x
x
1
1
g
e
e
e
e
e
e
e
2.4 Kovarijantni metrički tenzor
Metrički tenzor, grubo rečeno, daje vezu između koordinantnih sistema. U ovom slučaju to će biti veza
između sfernih i dekartovih koordinata. Ovaj tenzor dobija se međusobnim množenjem baznih vektora.
Za određivanje kovarijantnog metričkog tenzora množićemo kovarijantne bazne vektore:
ij
g
i
j
g g
U dekartovom kordinantnom sistemu metrički tenzor će imati oblik Kronekerovog delta simbola
δ
ij
.
Zbog simetrije metričkog tenzora, postoji 6 različitih komponenata:
11
1
1
2
2
cos
sin
cos
sin
1
g
1
1
g g
e
e
e
e
12
21
1
2
2
2
cos
sin
sin
cos
0
g
g
r
r
1
1
= g g
e
e
e
e
13
31
1
3
2
3
cos
sin
0
g
g
1
= g g
e
e
e
2
22
2
2
2
2
(
sin
cos
) (
sin
cos
)
g
r
r
r
r
r
1
1
g g
e
e
e
e
33
3
3
3
3
g
g
g
e e
=1
Elementi metričkog tenzora na glavnoj dijagonali su različiti od nule, dakle kovarijantni metrički tenzor,
prikazan u matričnom zapisu ima oblik:
11
12
13
2
21
22
23
31
32
33
1
0
0
0
0
0
0
1
ij
g
g
g
g
g
g
g
r
g
g
g
2.5 Kontravarijantni metrički tenzor
Za dobijanje kontravarijantnog metričkog tenzora možemo koristiti sledeći obrazac:
,
ij
ij
G
g
g
(2.2)
gde je veličina označena sa [
G
ij
] adjungovana matrica kovarijantnog metričkog tenzora, dok je veličina
označena sa
g
determinanta kovarijantnog metričkog tenzora.
2
2
2
2
0
0
1
0
0
0
1
0 ,
0
0
0
0
0
0
1
ij
ij
ij
r
G
adj g
g
g
r
r
r
(2.3)
Ako sada dobijene vrednosti iz izraza (2.4) vratimo u (2.3) dobijamo kontravarijantni metrički tenzor:
2
2
2
2
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
ij
r
g
r
r
r
Miroslava Bunić
Seminarski rad
7
3. Kristofelovi simboli
Kristofelovi simboli (
Christoffel Symbols
), su numerički nizovi slični tenzorma ali nisu tenzori. Koriste
se za opis „paralelnog transportovanja“ kroz krivolinijske koordinantne sisteme. Tokom linearne
transformacije koordinata u prostoru, komponente se transformišu kao što se transformišu komponente
tenzora, međutim za neku opštu transformaciju ovo pravolo ne važi. U većini praktičnih problema,
Kristofelovi simboli će biti jednaki nuli usled simetrije koja se javlja u koordinatnom sistemu i
metričkom tenzoru.
Ako posmatramo kovarijante bazne vektore
g
i
i parcijalno ih diferenciramo po krivolinijskim
koordinatama, obraćajući pažnju na (2.5), dobijamo sledeće rezultate:
2
2
m
m
m
k
m
m
k
j
j
i
i
j
i
j
m
z
z
z
x
x
x
x
x x
x x
z
i
g
e
e
g
(3.1)
Komponente jediničnih vektora
e
m
možemo povezati sa kontravarijantnom baznim vektorima relacijom:
k
m
k
m
x
z
e
g
Jednačina (3.1) se kraće može zapisati:
k
ij
k
j
x
i
g
g
(3.2)
Oznaka
Γ
k
ij
se naziva Kristofelov simbol druge vrste. Veza između Kristofelovog simbola prve i druge
vrste data je jednačinom (3.3):
ili
m
m
km
ijk
ij
km
ij
ijk
g
g
(3.3)
3.1 Kristofelovi simboli I vrste
Za određivanje Kristofelovog simbola prve vrste, jednostavnije je diferencirati kovarijantni metrički
tenzor:
ij
ikj
jki
k
k
k
k
jk
j
k
j
k
k
j
jik
kij
i
i
i
i
ki
k
i
k
i
i
k
kij
ijk
j
j
j
j
g
x
x
x
x
g
x
x
x
x
g
x
x
x
x
j
i
i
j
j
i
g
g
g g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
(3.4)
Izrazi (3.4) daju vezu između kristofelovih simbola prve vrste i metričkih tenzora.
2
1
2
jk
ij
ki
kij
ijk
jik
kij
ikj
jki
ijk
j
i
k
jk
ij
ki
ijk
j
i
k
g
g
g
x
x
x
g
g
g
x
x
x
(3.5)
Jednačina (3.5) se koristi za određivanje kristofelovih simbola prve vrste za dati problem.
11
11
11
11
11
11
111
1
1
1
1
1
0
2
2
g
g
g
g
g
g
x
x
x
r
r
r
Jasno se vidi da su većina Kristofelovih simbola prve vrste biti jednaki nuli. Jednostavniji način je
nalaženje komponenata koji figurišu u jednačini (3.5), a različiti su od nule.
