Sadrˇzaj
Glava 1
Pozitivne mere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Merljivi skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Merljive funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Mera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Lebeg-Stiltjesova mera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.1 Konstrukcija pozitivne mere
µ
g
na Lebegovoj algebri
R
. . . . . . . . . . .15
1.5.2 Spoljna mera
µ
∗
g
na
P
(
R
∗
). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
Konstrukcija Karateodorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Lebegova mera na
R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Glava 2
Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Integral proste merljive nenegativne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Integral nenegativne merljive funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Integral realne merljive funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Lebegov integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5
L
p
prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2
GLAVA 1. POZITIVNE MERE
mogu´ci interval, odnosno postoji interval (
a, b
) tako da
x
∈
(
a, b
)
⊂
G
,
a, b /
∈
G
. Do
ovog intervala se dolazi na slede´c i naˇcin:
b
= inf([
x,
+
∞
)
∩
G
c
)
,
a
= sup((
−∞
, x
]
∩
G
c
)
.
Interval (
a, b
) je
komponentni interval
koji sadrˇzi taˇcku
x
∈
G
. Oˇcigledno, svakoj
taˇcki
x
∈
G
odgovara taˇcno jedan komponentni interval. Dakle, skup
G
je unija
familije svih svojih komponentnih intervala, pri ˇcemu su komponentni intervali
jednoznaˇcno odre¯
deni. Osim toga, komponentnih intervala ne moˇze biti viˇse od
racionalnih brojeva (svaki komponentni interval sadrˇzi neki racionalan broj), te
sledi da komponentnih intervala ima najviˇse prebrojivo mnogo.
Prethodno tvr¯
denje ne vaˇzi u prostoru
R
n
za
n >
1.
Pretpostavimo da u prostoru
R
n
ulogu otvorenih intervala igraju otvorene kugle.
Drugim reˇcima, ako je
x
∈
R
n
i
r >
0, osnovni otvoreni skupovi u
R
n
jesu
K
(
x, r
) =
{
y
∈
R
n
:
|
x
−
y
|
< r
}
.
Drugi pristup je da ulogu otvorenih intervala u prostoru
R
n
imaju
n
-pravougaonici.
Neka je
a
i
, b
i
∈
R
i
a
i
< b
i
za svako
i
= 1
, . . . , n
. Tada je
P
=
n
Y
i
=1
(
a
i
, b
i
) =
{
x
= (
x
1
, . . . , x
n
)
∈
R
n
:
a
i
< x
i
< b
i
, i
= 1
,
2
, . . . , n
}
otvoren
n
-pravougaonik u prostoru
R
n
.
Primer 1.1.1.
Pretpostavimo da je otvoreni kvadrat u ravni prebrojiva unija dis-
junktnih otvorenih kugli. Tada dijagonala polaznog kvadrata mora biti najviˇse
prebrojiva unija disjunktih otvorenih intervala. Poslednje tvr¯
denje oˇcigledno nije
mogu´ce.
Analogno, neka je otvoren krug u ravni prebrojiva unija otvorenih pravougaonika.
Tada je preˇcnik (koji nije papralelan koordinatnim osama) tog kruga prebrojiva
unija otvorenih intervala, ˇsto tako¯
de nije mogu´ce.
U nekim situacijama korisno je zameniti otvorene intervale (
a, b
) poluzatvorenim
intervalima [
a, b
) (ili (
a, b
]). Na primer, neka je
a < b
i
n
0
∈
N
, tako da je
1
n
0
< b
−
a
.
Tada je, oˇcigledno,
(
a, b
) =
·
a
+
1
n
0
, b
¶
∪
Ã
∞
[
n
=
n
0
·
a
+
1
n
+ 1
, a
+
1
n
¶!
,
pri ˇcemu su svi poluzatvoreni intervali na desnoj strani me¯
dusobno disjunktni, i ima
ih prebrojivo mnogo. Analogno razmatranje vaˇzi i za intervale zatvorene sa desne
strane.
Nadalje, jednostavnosti radi, posmatra´cemo intervale oblika [
a, b
). Na osnovu
prethodnog rezonovanja, formuliˇsemo rezultat.
Tvr¯
denje 1.1.1.
Svaki otovren skup
G
u
R
je disjunktna prebrojiva unija poluzatvorenih
intervala, pri ˇcemu su svi intervali zatvoreni s leve strane, ili su svi intervali
zatvoreni s desne strane.
1.1. UVOD
3
Problemi merenja skupova dovode do situacije da vrednosti nekih funkcija mogu
biti beskonaˇcno velike. Na primer, prirodno je uzeti da je duˇzina realne prave
jednaka +
∞
. Stoga je potrebno razmotriti i proˇsirenu realnu pravu, odnosno skup
R
∗
= [
−∞
,
+
∞
].
U skupu
R
neophodno je definisati familiju otvorenih skupova. Otvoreni interval
u skupu
R
∗
je svaki skup oblika
(
a, b
)
,
[
−∞
, b
)
,
(
a,
+
∞
]
,
[
−∞
,
+
∞
]
,
za
a, b
∈
R
, a < b.
Skup
G
⊂
R
∗
je otvoren, ako je unija otvorenih intervala. Lako je utvrditi
da je dovoljno posmatrati najviˇse prebrojive unije otvorenih intervala (u svakom
otvorenom intervalu postoji neki racionalan broj, te stoga disjunktnih intervala ne
moˇze biti viˇse nego racionalnih brojeva; ako intervali nisu disjunknti, njihova unija
je ponovo interval).
U skuPu
R
∗
poluzatvoreni intervali s desne strane jesu:
[
a, b
)
,
[
−∞
, b
)
,
[
a,
+
∞
]
,
[
−∞
,
+
∞
]
,
za
a, b
∈
R
, a < b.
Za otvorene podskupove skupa
R
∗
lako je dokazati slede´ce tvr¯
denje.
Tvr¯
denje 1.1.2.
Svaki otvoreni skup u
R
∗
je najviˇse prebrojiva disjunktna unija
otvorenih intervala, pri ˇcemu su ti intervali jednoznaˇcno odre¯
deni.
Svaki otvoreni skup u
R
∗
je najviˇse prebrojiva disjunkta unija poluotvorenih in-
tervala u
R
∗
, pri ˇcemu su svi intervali zatvoreni sa leve strane, ili su svi zatvoreni
sa desne strane.
Dokaz ovog tvr¯
denja je analogan dokazu za otvorene skupove u
R
.
Algbarske operacije u skupu
R
∗
definisane su na uobiˇcajeni naˇcin. Na primer,
ako je
a
∈
R
, tada je
a
+
∞
= +
∞
,
a
·
(+
∞
) = +
∞
ako je
a >
0, i sliˇcno. Nije mogu´ce
definisati +
∞−∞
, dok je, sa druge strane, po konvenciji 0
·∞
= 0. Ovu ”neobiˇcnu“
konvenciju suˇstinski koristimo samo u integraciji. Naime, integral nula-funkcije na
skupu beskonaˇcne mere bi´ce jednak nuli. Tako¯
de, integral proizvoljne funkcije na
skupu mere nula bi´ce tako¯
de jednak nuli. Ova prosta svojstva integraljenja su
posledica prethodno uvedene konvencije. Za ovako uvedene operacije u skupu
R
∗
vaˇze uobiˇcajene osobine.
Na kraju uvodnog dela opisujemo strukturu otvorenih skupova u
R
n
za
n >
1.
Tvr¯
denje 1.1.3.
Svaki otvoreni skup u
R
n
jeste najviˇse prebrojiva unija otvorenih
kugli. Svaki otvoreni skup u
R
n
jeste najviˇse prebrojiva unija otvorenih
n
-pravo-
ugaonika.
U prethodnom tvr¯
denju posmatrane otvorene kugle nisu obavezno uzajamno
disjunktne, a tako¯
de posmatrani otvoreni
n
-pravougaonici nisu obavezno uzajamno
disjunktni. Ovu nelagodnost prevazilazimo koriˇs´cenjem poluzatvorenih intervala u
R
n
.
1.2. MERLJIVI SKUPOVI
5
Primer 1.2.1.
Neka je
X
neprazan skup. Tada je
R
0
=
{∅
, X
}
najmanja
σ
-algebra
na
X
. Tako¯
de,
P
(
X
) je najve´ca
σ
-algebra na
X
.
Prethodni primer pokazuje da na svakom skupu postoje najmanje dve
σ
-algebre.
Za potrebe matematiˇcke analize potrebno je izgraditi sofisticiranije primere.
Na poˇcetku dokazujemo osnovna svojstva
σ
-algebri.
Tvr¯
denje 1.2.1.
Neka je
R
jedna
σ
-algebra na skupu
X
. Tada vaˇzi:
(a)
∅ ∈ R
.
(b)
Ako
E
1
, . . . , E
n
∈ R
za
n
∈
N
, tada
E
1
∪ · · · ∪
E
n
∈ R
.
(c)
Ako
E
n
∈ R
za svako
n
∈
N
, tada
∞
T
n
=1
E
n
∈ R
.
(d)
Ako
E, F
∈ R
, tada
E
F
∈ R
.
Dokaz.
(a) Vaˇzi
X
∈ R
, te je i
∅
=
X
c
∈ R
.
(b) Ako je
n
∈
N
i
E
n
+1
=
E
n
+2
=
· · ·
=
∅ ∈ R
, tada sledi da je
n
S
k
=1
E
k
=
∞
S
k
=1
E
k
∈ R
.
(c) Neka je
E
n
∈ R
za svako
n
∈
N
. Tada je
∞
T
n
=1
E
n
=
µ
∞
S
n
=1
E
c
n
¶
c
∈ R
.
(d)
E
F
=
E
∩
F
c
∈ R
.
Ako je
A
neka familija podskupova od
X
, od interesa je posmatrati
σ
-algebre
koje sadrˇze familiju
A
. Posebno, vaˇzno je postojanje najmanje takve
σ
-algebre.
Tvr¯
denje 1.2.2.
Neka je
X
neprazan skup i
A ⊂ P
(
X
)
. Tada je
σ
−R
(
A
) =
{R
:
A ⊂ R
,
R
je
σ
−
algebra
}
najmanja
σ
-algebra skupa
X
koja sadrˇzi familiju skupova
A
.
Dokaz.
Prvo dokazujemo da je
σ
−R
(
A
) jedna
σ
-algebra. Na osnovu
X
∈ R
za
svaku
σ
-algebru
R
, sledi da je
X
∈
σ
−R
(
A
). Neka je
E
∈
σ
−R
(
A
) i neka je
R
proizvoljna
σ
-algebra koja sadrˇzi
A
. Tada je
E
∈ R
, te je i
E
c
∈ R
. Prema tome,
E
c
∈
σ
−R
(
A
). Na kraju, neka je
E
n
∈
σ
−R
(
A
) za svako
n
= 1
,
2
, . . .
. Ako je
R
proizvoljna
σ
-algebra koja sadrˇzi
A
, tada je
E
n
∈ R
za svako
n
= 1
,
2
, . . .
, te je i
∞
S
n
=1
E
n
∈ R
. Sledi da je
∞
S
n
=1
E
n
∈
σ
−R
(
A
). Ovim smo pokazali da je
σ
−R
(
A
) jedna
σ
-algebra na skupu
X
.
Dokaˇzimo da je
σ
−R
(
A
) najmanja
σ
-algebra koja sadrˇzi
A
. Na osnovu konstruk-
cije sledi da je
A ⊂
σ
−R
(
A
). Ako je
R
bilo koja
σ
-algebra koja sadrˇzi
A
, tako¯
de
na osnovu konstrukcije sledi da je
σ
−R
(
A
)
⊂ R
. Ovim smo dokazali da je
σ
−R
(
A
)
najmanja
σ
-algebra koja sadrˇzi familiju
A
.
