Sadrˇ
zaj
Predgovor
i
1
σ
– algebre i merljive funkcije
2
1.1
σ
– algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Merljive funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Borelova
σ
– algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4
Nizovi merljivih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.5 Nenegativna merljiva funkcija kao granica niza nenegativnih jed-
nostavnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2 Mera
16
2.1 Definicija i osobine mere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2 Primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3 Nemerljivi skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.4 Kompletna mera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3 Konstrukcija Lebeg-Stiltjesove mere
27
3.1 Spoljna mera i teorema Karateodorija . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2 Proˇsirenje mere sa algebre na
σ
- algebru . . . . . . . . . . . .
32
3.3 Borelove mere na
B
R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.4 Lebeg–Stiltjesove mere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.5 Lebegova mera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4 Integral nenegativne funkcije
49
4.1 Lebegova Teorema monotone konvergencije. Lema Fatua . . . .
52
5 Integral funkcije kompleksne promenljive
59
5.1 Integrali funkcija jednakih skoro svuda . . . . . . . . . . . . . .
63
5.2 Znaˇcajne teoreme u opˇstijoj formi . . . . . . . . . . . . . . . .
65
6 Proizvod mera. Teoreme Fubinija i Tonelija
67
6.1 Proizvod
σ
-algebri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
6.2 Proizvod mera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
Glava 1
σ
– algebre i merljive
funkcije
1.1
σ
– algebre
Neka je
X
6
=
∅
i
P
(
X
) partitivni skup. Ponovimo, topologija
τ
na skupu
X
je
familija skupova
τ
⊂ P
(
X
) sa osobinama:
1.
∅
, X
∈
τ
;
2.
O
1
, O
2
∈
τ
⇒
O
1
T
O
2
∈
τ
;
3.
O
α
∈
τ, α
∈
Λ
⇒
S
α
∈
Λ
O
α
∈
τ.
Skup
X
sa topologijom
τ
je topoloˇski prostor; oznaˇcavamo ga sa (
X, τ
)
.
1.1
σ
– algebre
3
Definicija 1.
σ
– algebra
na
X
je familija skupova
M ⊂ P
(
X
) sa osobinama:
1.
X
∈ M
;
2.
A
∈ M ⇒
X
A
∈ M
;
3.
A
n
∈ M
, n
∈
N
⇒
S
n
∈
N
A
n
∈ M
.
Zbog ˇcitkosti komplement skupa
A, X
A,
oznaˇcavamo i sa
A
c
kad god je iz
konteksta jasno u odnosu na koji skup se uzima komplement.
Skup
X
sa
σ
– algebrom
M
nazivamo prostor sa
σ
– algebrom; oznaˇcavamo
ga sa (
X,
M
)
.
Elemente
σ
– algebre
M
nazivamo
merljivim skupovima
.
N
Primedba
Neka je (
X,
M
) prostor sa
σ
– algebrom. Iz Definicije 1 sledi:
(i)
∅ ∈ M
.
(ii)
n
S
i
=1
A
i
∈ M
, ako
A
i
∈ M
, i
= 1
, ..., n.
(iii)
∞
T
i
=1
A
i
∈ M
, ako
A
i
∈ M
, i
∈
N
.
(iv)
n
T
i
=1
A
i
∈ M
,
ako
A
i
∈ M
, i
= 1
, ..., n.
(v)
A
B
∈ M
, ako
A, B
∈ M
.
Tvrd¯enje (i) sledi iz 1) i 2).
Tvrd¯enje (ii) sledi iz 3) sa
A
n
+
j
=
∅
, j
∈
N
.
Tvrd¯enje (iii) dokazujemo koriste´ci De Morganove jednakosti: Vaˇzi
∞
T
i
=1
A
i
=
(
S
∞
i
=1
A
c
i
)
c
,
i pritom je
A
c
i
∈ M
, i
∈
N
(zbog 2))
.
Sada
S
∞
i
=1
A
c
i
∈ M
(zbog 3))
te je (zbog 2)) (
S
∞
i
=1
A
c
i
)
c
∈ M
.
Tvrd¯enje (iv) sledi iz (iii) stavljaju´ci
A
n
+
j
=
X, j
∈
N
.
(v) sledi iz
A
B
=
A
T
B
c
.
Definicija 2.
Neka za
A ⊂ P
(
X
) vaˇzi
1)
X
∈ A
;
2) ako
A
∈ A
,
tada
A
c
∈ A
;
3) Unija konaˇcno mnogo elemenata iz
A
je u
A
.
Tada se
A
naziva
algebra
.
N
U Definiciji 2, ako je
A 6
=
∅
,
tada osobina 1) sledi iz 2) i 3) jer ako
A
∈ A
,
tada vaˇzi
A
c
∈ A
,
te je
X
=
A
S
A
c
∈ A
.
Definiciji 2 je ekvivalentna slede´ca definicija.
Familija
A ⊂
P
(
X
)
se naziva algebra ako vaˇzi:
1)’
X
∈ A
;
2)’ ako
A
∈ A
i
B
∈ A
,
tada je
A
B
∈ A
;
1.2 Merljive funkcije
5
Lema 1.
Neka je (
X,
M
) prostor sa
σ
– algebrom i
f
:
X
→
R
. Slede´ca
tvrd¯enja su ekvivalentna:
(i)
f
je merljiva.
(ii) Za svako
a
∈
R
je
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
> a
} ∈ M
.
(iii) Za svako
a
∈
R
je
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
≥
a
} ∈ M
.
(iv) Za svako
a
∈
R
je
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
< a
} ∈ M
.
(v) Za svako
a
∈
R
je
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
≤
a
} ∈ M
.
Dokaz:
Jasno, tvrd¯enja (ii) i (v) su ekvivalentna, jer su skupovi dati u njima
med¯usobno komplementarni. Na isti naˇcin moˇzemo zakljuˇciti i da su tvrd¯enja
(iii) i (iv) ekvivalentna.
Dokaˇzimo sada ekvivalentnost (ii) i (iii). Neka vaˇzi (ii). Tada je
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
≥
a
}
=
n
∈
N
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
> a
−
1
n
} ∈ M
.
Sliˇcno, ako pretpostavimo da vaˇzi (iii), tada (ii) sledi na osnovu osobina
σ
–
algebre i relacije
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
> a
}
=
[
n
∈
N
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
≥
a
+
1
n
} ∈ M
.
Dakle, uslovi (ii)–(v) su svi med¯usobno ekvivalentni.
Dokaˇzimo sada na primer da je (i) ekvivalentno sa (ii). Pretpostavimo da
je funkcija
f
merljiva. Tada je
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
> a
}
=
f
−
1
((
a,
+
∞
))
∈ M
,
jer je (
a,
+
∞
) otvoren u
R
. Obratno, neka su svi skupovi oblika kao u (ii)
merljivi. Tada, na osnovu ekvivalentnosti uslova, merljivi su i skupovi oblika
kao u (ii)–(v). Kako se svaki otvoren skup u
R
moˇze prikazati kao najviˇse
prebrojiva unija otvorenih intervala (
a, b
) = (
−∞
, b
)
∩
(
a,
∞
) (a ˇcije inverzne
slike sve pripadaju
M
, sledi da je
f
merljiva.
Opˇstiji oblik ove leme bi´ce dat u Teoremi 5.
Teorema 2.
Neka su Ω
1
,
Ω
2
⊂
R
otvoreni skupovi, (
X,
M
) prostor sa
σ
–
algebrom i neka su
u
:
X
→
Ω
1
, v
:
X
→
Ω
2
, merljive funkcije. Neka je
φ
: Ω
1
×
Ω
2
= Ω
→
C
neprekidna funkcija. Tada je preslikavanje
F
:
X
→
C
, x
7→
F
(
x
) =
φ
(
u
(
x
)
, v
(
x
)) merljivo.
Dokaz:
Neka je
f
:
X
→
Ω definisano sa
f
(
x
) := (
u
(
x
)
, v
(
x
))
.
Tada vaˇzi
F
=
φ
◦
f.
Treba dokazati da je
f
merljiva. Tada na osnovu Teoreme 1 sledi
da je
F
merljiva funkcija. Neka je Π = (
a, b
)
×
(
c, d
) proizvoljan (otvoreni)
pravougaonik u Ω
.
Vaˇzi
x
∈
f
−
1
(Π) ako i samo ako (
u
(
x
)
, v
(
x
))
∈
(
a, b
)
×
(
c, d
)
ˇsto je ekvivalentno sa
x
∈
u
−
1
((
a, b
)) i
x
∈
v
−
1
((
c, d
))
.
Sledi
f
−
1
(Π) =
u
−
1
((
a, b
))
v
−
1
((
c, d
))
∈ M
,
