Metodi rešavanja električnih kola stalnom jednosmernom strujom

METODI REŠAVANJA ELEKTRIČNIH KOLA 

SA STALNOM JEDNOSMERNOM STRUJOM 

Direktna primena Kirhofovih zakona – uvodna razmatranja 

Recept 

1. prebrojati sve čvorove u kolu i taj broj označiti sa 

n

č 

2. prebrojati sve grane u kolu i taj broj označiti sa 

n

g

; usput, u svakoj od grana, 

bez strujnog generatora,

 proizvoljno odrediti referentni smer struje za tu 

granu i obeležiti struju nekom oznakom (obično 

I

1

 , 

I

2

 , 

I

3

, itd.)

3. prebrojati sve strujne generatore u kolu i taj broj označiti sa 

n

sg 

4. po I Kirhofovom zakonu postaviti 

n

č 

– 1 

jednačina, u 

n

č 

– 1 

različitih čvorova; 

bilo kojih 

n

č 

– 1 

čvorova 

5. po II Kirhofovom zakonu postaviti 

n

g

 – (n

č 

– 1) - n

sg

 jednačina, po 

nezavisnim

 i 

korisnim

 konturama 

6. rešiti jednačine

I to je sve. Samo zašto baš toliko i toliko jednačina po I KZ, a onoliko i onoliko po II 
KZ? I šta su to 

nezavisne

, a šta 

korisne

 konture? 

Da bismo odgovorili na ta pitanja, posmatrajmo jedno 

složeno  

kolo, koje se sastoji 

od četiri naponska generatora (

E

1

 , 

E

2

 , 

E

7

 i 

E

9

) i devet otpornika (

R

1

 , 

R

2

 , 

R

3

, 

R

4

 , 

R

5

, 

R

6

 , 

R

8

, 

R

10

 i 

R

11

), kao na slici: 

Referentni smerovi 

Prvo

 što treba uraditi (posle brojanja čvorova), pri rešavanju bilo kakvog kola, je 

obeležavanje referentnih smerova. 

Samo

 za struje, oni za napon (

na elementu

) se 

znaju automatski. 

Budući da je crtež već pretrpan, posmatraćemo samo 

žičanu konturu

 ovog kola. 

Žičana kontura pokazuje kako su povezane žice i to nema nikakve veze sa 

zamišljenim

 konturama iz II KZ, koje, doduše, mogu ići i kroz žice, ali ne moraju. 

Žičana kontura kola se češće naziva 

graf

 kola. 

Obeležimo čvorove i struje na ovom grafu. 

Uočavamo šest čvorova, koji su radi veće jasnoće (ili nejasnoće) blago zaokruženi sa 
svojim pripadajućim oznakama - 

A

,

 B

,

 C

,

 D

,

 E 

i

 F

. Takođe, uočavamo deset, za sada, 

nepoznatih struja – 

I

1

 do 

I

10

. Ovde, dakle, imamo deset 

nepoznatih

 veličina. Za 

deset nepoznatih

, trebaće nam 

deset jednačina

. Nacrtajmo ovaj graf još jednom, 

malo preglednije. 

suvišni čvor, 

jednako

 je, 

jedan

 čvor koji nam treba za rešavanje kola. Zapamtimo 

ovaj detalj. 

Ali šta da radimo sa monstrum-kolom, sa šest čvorova i deset struja? Napišimo prvo 
tih šest jednačina u šest čvorova, stavljajući na levu stranu znaka jednakosti one 
struje koje ulaze u čvor, a na desnu one koje izlaze: 

Linearna algebra

 i 

rang matrice

 (

i determinante

) bi ovde svakako pomogli, ali o 

tome, neki drugi put, na nekom drugom mestu. 

Zapazimo i to da iz čvora 

C

 ne izlazi nikakva struja, a ulaze čak tri! Jedna od njih će 

na kraju ispasti negativna (možda i dve, a nikako tri), jer su referentni smerovi 
izabrani kako su izabrani, takoreći, bezvezno. Ali bolje od toga i 

ne može

 i 

ne treba

. 

Isto važi i za čvor 

F

. 

Nastavimo sa eksperimentima. Bacimo još jedan pogled na odgovarajući graf, iz 
malo drugačije perspektive: 

Struja 

I

2

izlazi iz čvora 

F

 i ulazi u čvor 

D

. Mi vidimo samu granicu tih čvorova, a ono 

iza granice, u osenčenoj oblasti, recimo, ne vidimo. Ako je 

I

2

slučajno negativna, cela 

priča je ista, samo obrnuta.  Dakle, evo jednačina: 

To su 

dva

 čvora, ali samo 

jedna

 jednačina! Osenčenu površinu treba posmatrati kao 

jedan element, a čvorove 

D

 i 

F

, kao 

formalne

 čvorove. Zadržimo se još samo malo 

na ovom. Prosto kolo, još jednom. 

Ovo prosto kolo je “dobilo” dva 

formalna

 čvora. Istina je, istina, da je maločas bilo 

rečeno: “Čvor je mesto gde se spajaju 

najmanje

tri

grane

. A grana je provodni put 

koji spaja dva čvora... Grana je put kojim prolazi 

jedna jedina

 struja.” Ali, eto, 

pojaviše se formalni čvorovi. Da vidimo u čemu je stvar. Napišimo I KZ u čvorovima 

D

 i 

F

, i II KZ po konturi kroz žice: 

Prva i druga jednačina su jedna te ista, 

jedina

, jednačina. Dakle, opet zaključujemo 

da je informacija iz jednog čvora suvišna. Formalno gledano, ovde postoje dve 
nepoznate struje 

I

E

 i 

I

R

. Ali veza između njih je zaista trivijalna, 

I

E

 = 

-I

R

. 

Istovremeno postoje tri jednačine, od kojih je jedna višak. Kada se 

višak koji potiče

iz I KZ odbaci, ostaju dve jednačine sa dve nepoznate, što je u redu. 

I pronađosmo nepoznate struje 

I

E

 i 

I

R

. I samo još jednom…

Uveli smo još jedan formalni čvor, čvor 

G

. I još jednu “nepoznatu” struju 

I

FG

. Sa 

izvesnim razlogom. Pogledajmo jednačine: