Sadrˇ
zaj
5
Metriˇ
cki prostori
62
5.1 Metrika i osobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2 Konvergencija u metriˇckim prostorima . . . . . . . . . . . . . 68
5.3 Kompaktnost u metriˇckim prostorima . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4 Neprekidne funkcije u metriˇckim prostorima . . . . . . . . . . 71
5.5 Normirani prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.6 Euklidovi prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.6.1
Specijalni skupovi u Euklidskim prostorima . . . . . . 76
i
5.1. Metrika i osobine
Dakle, metriˇcki prostor je uredeni par (
X, d
) koga ˇcine skup
X
i na njemu
uvedena metrika
d
. Kratko´ce radi, umjesto oznake (
X, d
) mi ´cemo za metriˇcki
prostor skoro uvijek koristiti jednostavno oznaku
X
, kad god je jasno o kojoj
je metrici rijeˇc.
Uslovi M1.-M4. nazivaju se aksiomi metrike, a pojedinaˇcno to su
poz-
itivna definitnost
(M1.),
strogost
(M2.),
simetriˇcnost
(M3.) i
nejednakost
trougla
(M4.).
Osobina(M4.), tj. nejednakost trougla se moˇze generalizovati pravilom
mnogougla.
Lema 5.1.1.
U svakom metriˇckom prostoru
(
X, d
)
vrijedi pravilo mnogougla,
tj. za proizvoljne
x
1
, x
2
, ..., x
n
∈
X
(
n
≥
3
), vrijedi
d
(
x
1
, x
n
)
≤
d
(
x
1
, x
2
) +
d
(
x
2
, x
3
) +
· · ·
+
d
(
x
n
−
1
, x
n
)
.
Dokaz
: Dokaz se izvodi matematiˇckom indukcijom po
n
∈
N
.
♣
b
b
b
b
b
b
x
1
x
2
x
3
x
n
−
1
x
n
Slika 5.1: Pravilo mnogougla
U ispitivanju da li je neka funkcija, funkcija metrike na datom skupu,
ˇcesto su od velike vaˇznosti sljede´ce dvije nejednakosti.
Teorem 5.1.2.
(Nejednakost H¨oldera)
Neka su
a
i
i
b
i
(
i
= 1
,
2
, ..., n
) proizvoljni realni ili kompleksni brojevi i neka
je za realan broj
p >
1
, broj
q
definisan sa
1
p
+
1
q
= 1
. Tada za svako
n
∈
N
vrijedi
n
X
i
=1
|
a
i
b
i
| ≤
n
X
i
=1
|
a
i
|
p
!
1
p
n
X
i
=1
|
b
i
|
q
!
1
q
.
(5.1.1)
Specijalno, ako je
p
=
q
= 2, gornja nejednakost se naziva Cauchy-
Schwarzova nejednakost.
Teorem 5.1.3.
(Nejednakost Minkowskog)
Neka su
a
i
i
b
i
(
i
= 1
,
2
, ..., n
) proizvoljni realni ili kompleksni brojevi i neka
je
p
≥
1
. Tada za svako
n
∈
N
vrijedi
n
X
i
=1
|
a
i
+
b
i
|
p
!
1
p
≤
n
X
i
=1
|
a
i
|
p
!
1
p
+
n
X
i
=1
|
b
i
|
p
!
1
p
.
(5.1.2)
63
5.1. Metrika i osobine
Napomenimo da ´ce i u (5.1.1) i u (5.1.2) vrijediti jednakosti ako su
a
i
i
b
i
(
i
= 1
,
2
, ..., n
) proporcionalni.
Primjer
5.1
.
Neka je
X
proizvoljan skup i neka je za
x, y
∈
X
zadato
d
(
x, y
) =
0 ;
x
=
y ,
1 ;
x
6
=
y .
Funkcija
d
jeste metrika i (
X, d
) nazivamo diskretni metriˇcki prostor.
♦
Primjer
5.2
.
Skup realnih brojeva
R
sa rastojanjem
d
(
x, y
) =
|
x
−
y
|
,
predstavlja dobro nam poznati Euklidov prostor realne prave.
♦
Primjer
5.3
.
Sa
R
n
oznaˇcavamo skup svih uredenih
n
-torki realnih brojeva
x
= (
x
1
, x
2
, ..., x
n
). Metriku moˇzemo uvesti sa
1.
d
p
(
x, y
) = (
P
n
i
=1
(
x
i
−
y
i
)
p
)
1
p
(
p
≥
1).
2.
d
2
(
x, y
) = (
P
n
i
=1
(
x
i
−
y
i
)
2
)
1
2
.
3.
d
(
x, y
) = max
1
≤
i
≤
n
|
x
i
−
y
i
|
Ovim primjerom opravdavamo ˇcinjenicu da je nekada neophodno koristiti
definiciju metriˇckog prostora kao uredenog para, jer kao ˇsto vidimo, na istom
skupu se mogu zadati razliˇcite metrike.
♦
Primjer
5.4
.
Sa
C
[
a, b
] oznaˇcavamo skup svih neprekidnih realnih funkcija
na segmentu [
a, b
]. Ako uvedemo funkciju
d
(
f, g
) = sup
a
≤
t
≤
b
|
f
(
t
)
−
g
(
t
)
|
,
za proizvoljne
f, g
∈
C
[
a, b
], dobijamo metriˇcki prostor neprekidnih funkcija,
koga kra´ce uobiˇcajeno piˇsemo samo sa
C
[
a, b
].
♦
Definicija 5.1.2.
Za skup
A
, podskup metriˇckog prostora
(
X, d
)
, kaˇzemo
da je ograniˇcen ili omeden ako je skup rastojanja medu taˇckama tog skupa
ograniˇcen skup, tj.
(
∃
C >
0)(
∀
x, y
∈
A
) 0
≤
d
(
x, y
)
≤
C .
Primjer
5.5
.
Jediniˇcni krug
{
(
x, y
)
∈
R
2
|
x
2
+
y
2
≤
1
}
je ograniˇcen skup u
(
R
2
, d
2
).
♦
64
