02. Mirovanje nestišljivog fluida. Ojlerova
jednačina. Pritisak u polju mirnog fluida.
Sile pritiska pri mirovanju nestišljivog
fluida
Uvod
U ovom predavanju razmatraćemo ponašanje nestišljivog fluida u mirovanju, osnovne
jednačine hidrostatike, kao i pojmove pritiska i sila pritiska u takvim uslovima. Ovi koncepti su
ključni za razumevanje statičkog stanja fluida i primene u nauci i inženjerskoj praksi.
Fluidi su od suštinskog značaja za razumevanje i rad mnogih prirodnih i inženjerskih sistema,
uključujući reke, okeane, hidraulične sisteme i naftne izvore. U mnogim slučajevima, fluidi se
nalaze u stanju mirovanja, gde se njihovo stanje opisuje statičkim zakonima, a promene
njihovog statičkog stanja su minimalne ili nepostojeće. Proučavanje stanja mirovanja
nestišljivih fluida je od ključnog značaja za razumevanje razlika u pritiscima, sila i ravnotežnih
uslova.
Ovaom prilikom fokusiramo se na osnovne pojmove i jednačine koje opisuju ponašanje
nestišljivog fluida u mirovanju, sa posebnim osvrtom na
Ojlerovu jednačinu hidrostatike
i
pojmove
pritiska
i
sile pritiska
. Razumevanje ovih principa je osnova za praktičnu primenu u
mnogim naučnim i inženjerskim analizama - od projektovanja i eksploatacije sudova pod
pritiskom do hidroakumulacionih i vodoprivrednih rezervoara.
1. Mirovanje nestišljivog fluida
1.1. Definicija
Nestišljiv fluid
je takav da se njegova gustina (ρ) ne menja pod uticajem pritiska ili
promene temperature, odnosno:
ρ=const.
Mirovanje
znači da je fluid u stanju statičke ravnoteže, da sveukupno ne vrši kretanje,
odnosno:
v=0
Ovo stanje je ključno jer omogućava analizu ravnotežnih sila i pritisaka, a pri tome se ne
uzimaju u obzir složeniji efekti (strujanje, turbulencija i sl.).
Mirovanje fluida može biti
apsolutno
i
relativno
. U oba slučaja fluid miruje u odnosu na sud u
kome se nalazi, s tim da je u slučaju apsolutnog mirovanja fluida i sam sud nepokretan, dok je
u slučaju relativnog mirovanja fluida sud pokretan (i može obavljati translatorno, rotaciono ili
kombinovano kretanje). U tom smislu, pri apsolutnom mirovanju fluida - on ne trpi nikakve sile
inercije, dok pri relativnom mirovanju fluida - on trpi i sile inercije, pa se polje pritiska
usložnjava u odnosu na slučaj apsolutnog mirovanja.
Napomena: U ovom kursu “Tehnička hidromehanika” izučava se samo slučaj apsolutnog
mirovanja fluida.
1.2. Posledice postavke o stanju mirovanja
Nema prisustva strujanja, sila i pritisaka koji izazivaju promene u obliku ili položaju fluida.
Pritisak u svim tačkama fluida se definiše i proučava u ovom stanju (stanje mirovanja).
2. Ojlerova jednačina hidrostatike
2.1. Osnovni principi
Izjednačavanje sila koje deluju na element fluida u mirovanju daje osnovu za formulisanje
Ojlerove jednačine hidrostatike
.
U stanju mirovanja, sve sile koje deluju na element fluida su u ravnoteži.
2.2. Izvođenje Ojlerove jednačine hidrostatike
Razmatramo element fluida u mirovanju, u stanju (hidro)statičke ravnoteže, u kojem deluju:
sila teže (zapreminska, gravitationa):
ρ
·
g
sila pritiska (površinski, deluje u svim pravcima podjednako)
Za tačku unutar fluida, ravnoteža sila (teže i pritiska) daje:
∫
V
❑
ρ ∙
⃗
F ∙ dV
=
∫
A
❑
p ∙
⃗
dA
∫
V
❑
ρ ∙
⃗
F ∙ dV −
∫
A
❑
p ∙
⃗
dA
=
0
∫
V
❑
ρ ∙
⃗
F ∙ dV −
∫
V
❑
grad
(
p
)
∙ dV
=
0
∫
V
❑
[
ρ ∙
⃗
F − grad
(
p
)
]
∙ dV
=
0
ρ ∙
⃗
F − grad
(
p
)
=0
ρ ∙
⃗
F
=
grad
(
p
)
(osnovna jednačina mirovanja fluida (Ojlerova
jednačina hidrostatike), u vektorskom obliku)
ρ ∙
(
F
x
∙ dx
+
F
y
∙ dy
+
F
z
∙ dz
)=
p
x
∙ dx
+
p
y
∙ dy
+
p
z
∙ dz
=
dp
(osnovna jednačina mirovanja fluida, u skalarnom
obliku)
(
F
x
=
0
, F
y
=
0
, F
z
=
− g
)
− ρ ∙ g ∙ dz
= dp
dp
=
− ρ ∙ g ∙ dz
(osnovna jednačina mirovanja fluida, u skalarnom
obliku, za fluid koji miruje u polju sile zemljine
teže)
pri čemu su:
F
- jedinična zapreminska sila (po jedinici mase) u tački prostora koji zauzima fluid,
p
- pritisak u tački prostora koji zauzima fluid,
ρ
- gustina fluida,
g
- gravitaciono ubrzanje,
z
- vertikalna osa.
