NEPREKIDNA SLUČAJNA PROMJENLJIVA
Modeli
neprekidnih
rasporeda vjerovatnoće mogu
pružiti odgovarajuću aproksimaciju vjerovatnoća
prekidne slučajne promjenljive. Osim toga,
veliki broj
pojava može uzeti ma koju vrijednost iz nekog
konačnog ili beskonačnog intervala,
odnosno po
svojoj prirodi moraju se tretirati kao neprekidne
promjenljive.
Navedene promjenljive teorijski mogu uzeti bilo
koju vrijednost u nekom intervalu, iako je u praksi
broj tih vrijednosti konačan zbog nesavršenih
mjernih instrumenata.
Zbog toga nema ni smisla govoriti o vjerovatnoći da
slučajna promjenljiva
X
uzme jednu određenu
vrijednost
P
(
X
=
x
),
budući da takvih vrijednosti ima
beskonačno mnogo, pa je ta vjerovatnoća jednaka nuli
za svako
x
.
Dakle,
kod neprekidne slučajne promjenljive ima
smisla određivati samo vjerovatnoću da se
X
nalazi u
nekom intervalu.
Druga ključna razlika
između neprekidnih i
prekidnih slučajnih promjenljivih je u tome da
prekidne mogu uzimati samo izolovane vrijednosti, a
neprekidne
sve
vrijednosti u nekom intervalu.
Stoga je i razumljivo da se grafički prikaz neprekidne
promjenljive neće sastojati od ordinata, već od
neprekidne, glatke krive. Takva kriva naziva se
kriva
Raspored vjerovatnoće neprekidne slučajne promjenljive
gustine vjerovatnoće
.
Matematička funkcija označena sa
f
(
x
), čiji je grafik
predstavljen tom krivom, naziva se funkcija gustine
vjerovatnoće (ili raspored vjerovatnoće) neprekidne
slučajne promjenljive
X
.
Osnovne karakteristike funkcije gustine
vjerovatnoće su analogne onima kod prekidnih.
1. Funkcija gustine nikada nije negativna, tj.
.
2. Ukupna površina ispod krive gustine
vjerovatnoće uvijek je jednaka 1.
Budući da se radi o neprekidnoj krivi, umjesto znaka za
sabiranje moramo koristiti integral, tj:
,
gdje je
D
oblast definisanosti
X
(npr.
).
2
2
Raspored vjerovatnoće neprekidne slučajne promjenljive
.
Znači, kod neprekidne slučajne promjenljive
uključivanje graničnih vrijednosti intervala neće
mijenjati vjerovatnoću da slučajna promjenljiva
X
pada
u taj interval.
Na osnovu navedenog zaključujemo da vrijednost
funkcije gustine
f
(
x
) ne predstavlja vjerovatnoću, kao
kod prekidne slučajne promjenljive
P
(
X
=
x
), već nam
samo daje informaciju o veličini ordinate.
Međutim, nije potrebno u svakom konkretnom slučaju
izračunavati određeni integral, jer su
za veliki broj
vrijednosti najvažnijih neprekidnih rasporeda slučajnih
promjenljivih konstruisane odgovarajuće tablice
vjerovatnoće.
F
(
x
) predstavlja površinu ispod krive funkcije gustine
od njenog početka do tačke
x
, odnosno
vjerovatnoću
da
će slučajna promjenljiva
X
uzeti neku vrijednost u
intervalu čija je gornja granica
x
.
4
4
Raspored vjerovatnoće neprekidne slučajne promjenljive
Slika 2
Grafički prikaz proizvoljne funkcije gustine i funkcija rasporeda
Pošto površina ispod krive predstavlja vjerovatnoću,
funkcija rasporeda (osjenčeni dio na slici) i ostatak
površine u zbiru moraju biti jednaki 1. Usljed toga je taj
ostatak površine jednak 1 -
F
(
x
) =
P
(
X
> x).
Vjerovatnoću da neprekidna slučajna promjenljiva
uzme vrijednost u nekom intervalu (
a
,
b
) možemo sada
odrediti kao:
tj. kao razliku funkcije rasporeda gornje i donje granice
intervala.
Ovo se lako može shvatiti ako se podsjetimo da je
F
(
b
)
vjerovatnoća da
X
uzme vrijednost manju ili jednaku
b
,
F
(
a
) vjerovatnoća da
X
uzme vrijednost manju ili
jednaku
a
; njihova razlika mora biti jednaka
vjerovatnoći da se
X
nađe između
a
i
b
.
5
5
