Vukomir M Milinkovi´c Dalibor M ´Cosi´c Knjiga za samostalno pripremanje ispita
1
Trigonometrija
Za
pravougli
trougao sa slike, u odnosu na
ugao
(
a
je
suprotna
kateta
b
je
nalegla
kateta
Razmere
izme†u stranica
a; b
i
c
pravouglog
trougla sa slike imaju nazive:
α
β
a
b
c
suprotna
kateta
hipotenuza
=
a
c
= sin
sinus
nalegla
kateta
hipotenuza
=
b
c
= cos
kosinus
suprotna
kateta
nalegla
kateta
=
a
b
= tg
tangens
nalegla
kateta
suprotna
kateta
=
b
a
= ctg
kotangens
hipotenuza
nalegla
kateta
=
c
b
= sec
sekans
hipotenuza
suprotna
kateta
=
c
a
= co sec
kosekans
U odnosu na
ugao
(
b
je
suprotna
kateta
a
je
nalegla
kateta, odnosno
sin
=
suprotna
kateta
hipotenuza
=
b
c
cos
=
nalegla
kateta
hipotenuza
=
a
c
tg
=
suprotna
kateta
nalegla
kateta
=
b
a
ctg
=
nalegla
kateta
suprotna
kateta
=
a
b
Najvaµzniji odnosi za funkcije istog ugla:
a)
sin
2
+ cos
2
=
a
c
2
+
b
c
2
=
a
2
c
2
+
b
2
c
2
=
a
2
+
b
2
c
2
=
c
2
c
2
= 1
sin
2
+ cos
2
= 1
)
(
sin
2
= 1
cos
2
)
sin
=
p
1
cos
2
cos
2
= 1
sin
2
)
cos
=
p
1
sin
2
b)
Kako je
sin
=
a
c
)
a
=
c
sin
cos
=
b
c
)
b
=
c
cos
onda imamo
tg
=
a
b
=
c
sin
c
cos
=
sin
cos
ctg
=
b
a
=
c
cos
c
sin
=
cos
sin
odnosno
tg
ctg
=
a
b
b
a
= 1
)
tg
=
1
ctg
ctg
=
1
tg
Odredimo sinus
,
cosinus
,
tangens
i
cotangens
za
30
45
60
Vukomir M Milinkovi´c Dalibor M ´Cosi´c Knjiga za samostalno pripremanje ispita
2
Primenom
Pitagorine teoreme
odredimo
visinu
h
jednakostraniµcnog
trougla, jer je ona kateta
pravouglog
trougla sa stranicama
a
a
2
i
h
°
30
°
30
°
60
°
60
°
30
h
h
a
a
a
a
2
a
2
a
2
°
60
h
=
r
a
2
a
2
2
=
r
a
2
a
2
2
2
=
r
4
a
2
4
a
2
4
=
r
3
a
2
4
=
p
3
a
2
p
4
=
p
3
p
a
2
2
=
a
p
3
2
U odnosu na ugao
30
suprotna
kateta je
a
2
a
nalegla
h
=
a
p
3
2
pa imamo
sin 30 =
a
2
a
=
a
2
a
=
1
2
cos 30 =
h
a
=
a
p
3
2
a
=
a
p
3
2
a
=
p
3
2
tg 30 =
a
2
h
=
a
2
a
p
3
2
=
2
a
2
a
p
3
=
1
p
3
p
3
p
3
=
p
3
3
ctg 30 =
h
a
2
=
p
3
U odnosu na ugao
60
suprotna
kateta je
h
a
nalegla
kateta je
a
2
pa imamo
sin 60 =
h
a
=
p
3
2
cos 60 =
a
2
a
=
1
2
tg 60 =
h
a
2
=
p
3
ctg 60 =
a
2
h
=
p
3
3
Duµzina hipotenuze
jednakokrakog pravouglog
trougla sa katetama
a
iznosi
c
=
p
a
2
+
a
2
=
p
2
a
2
=
a
p
2
pa imamo
°
45
°
45
a
c
a
sin 45 =
a
c
=
a
a
p
2
=
1
p
2
p
2
p
2
=
p
2
2
cos 45 =
a
c
=
p
2
2
tg 45 =
a
a
= 1
ctg 45 =
a
a
= 1
Za
30
45
i
60
imamo:
sin 30 =
1
2
cos 30 =
p
3
2
tg 30 =
p
3
3
ctg 30 =
p
3
sin 45 =
p
2
2
cos 45 =
p
2
2
tg 45 = 1
ctg 45 = 1
sin 60 =
p
3
2
cos 60 =
1
2
tg 60 =
p
3
ctg 60 =
p
3
3
Za dva
komplementarna
ugla, funkcija jednog jednaka je kofunkciji drugog!
sin 30 = cos 60
sin 45 = cos 45
sin 60 = cos 30
tg 30 = ctg 60
tg 45 = ctg 45
tg 60 = ctg 30
Kako je
sin
2
+ cos
2
= 1
)
sin
=
p
1
cos
2
cos
=
p
1
sin
2
tg
=
sin
cos
ctg
=
cos
sin
tg
ctg
= 1
)
tg
=
1
ctg
ctg
=
1
tg
onda lako prikazujemo
Vukomir M Milinkovi´c Dalibor M ´Cosi´c Knjiga za samostalno pripremanje ispita
4
Dogovorom
se uzima da je
sinus pozitivan
ako se duµzina kojom je prikazan
(u ovom sluµcaju
a
) nalazi
iznad
x
- ose, odnosno da je
sinus negativan
ako
se duµzina
a
nalazi
ispod
x
- ose. Bi´ce jasnije u nastavku.
Dogovorom
se uzima da je
cosinus pozitivan
ako se duµzina kojom je prikazan
(u ovom sluµcaju
b
) nalazi
desno
od
y
- ose, odnosno da je
kosinus negativan
ako se duµzina
b
nalazi
levo
od
y
- ose.
Napomena!
U
matematici
se dogovorom uzima da je ugao
pozitivan
ako je
nastao pomeranjem pomiµcnog kraka
suprotno
od kretanja
kazaljke na satu
,
odnosno da je ugao
negativan
ako je nastao pomeranjem pomiµcnog kraka u pr-
avcu kazaljke na satu. U geodeziji i nekim drugim oblastima vaµzi suprotno.
α
α
−
1
=
r
1
=
r
1
=
r
y
x
c
0
0
0
α
si
n
(
)
α
−
si
n
α
cos
α
y
x
α
−
y
x
Primetimo da je
sinus pozitivnog
ugla
pozitivan,
jer se nalazi
iznad
x
-
ose.
Sinus negativnog ugla
je
negativan,
jer se nalazi
ispod
x
- ose.
Kosinus
je
pozitivan
u
oba
sluµcaja jer se nalazi sa
desne
strane
y
- ose.
Nikada ne posumnjaj da pojedinci mogu menjati svet !
Oni su to uvek i µcinili. Pa šta su radili
Hrist
, Rudolf Arµci-
bald Rajs, Volter, Galileo, Ðordano Bruno, Arhimed, Gaus,
Hipatija, Sokrat, Platon, Šopenhauer, Spinoza, Niµce, Otto
Vajninger, Leonardo, Paskal, Darvin, Ojler, Bernuli, Anšt-
ajn, Lajbnic, Njutn, Faradej, Mendeljev, Ciolkovski, Ru†er
Boškovi´c, Dositej, Riman, Anri Poenkare, Hajzenberg, Bor,
Tesla, Maksvel,...
Šta rade nedovršeni mutanti, ministri, ´cate i ostala parazi-
tska gamad ? Neka se tim problemom pozabave bakterije!
VAµ
ZNA NAPOMENA!!!!!!! Ako ti se dosadašnji postupak
izlaganja nije dopao, onda kupi ili napiši bolju knjigu.
Kako
nije mogu´ce
ni jedno ni drugo, onda ne preskaµci ni
jedan red u nastavku !!! Ako to uradiš, sebe obmanjuješ!!!
Vukomir M Milinkovi´c Dalibor M ´Cosi´c Knjiga za samostalno pripremanje ispita
5
Od
0
do
90
sinus raste
(od
0
do
1
) a od
90
do
180
sinus opada
(od
1
do
0
) i
ima
pozitivne
vrednosti. U
prvom
i
drugom
kvadrantu
sinus
ima
pozitivne
vrednosti a u
tre´cem
i
µcetvrtom
kvadrantu
sinus
ima
negativne
vrednosti.
°
180
°
150
°
135
°
120
°
90
°
60
°
45
°
30
°
0
°
360
°
210
°
225
°
240
°
270
°
300
°
315
°
330
1
+
1
−
y
x
sin 0 = sin 180 = 0
sin 30 = sin 150 =
1
2
sin 45 = sin 135 =
p
2
2
sin 60 = sin 120 =
p
3
2
sin 90 = 1
sin 210 = sin 330 =
1
2
sin 225 = sin 315 =
p
2
2
sin 240 = sin 300 =
p
3
2
sin 270 =
1
sin 360 = sin 0 = 0
Na slede´coj slici moµzemo videti da
cosinus
ima najve´cu vrednost za
= 0
ili
= 360
odnosno od
0
do
90
kosinus opada
(od
1
do
0
). U
I
i
IV
kvadra-
ntu
cosinus
ima
pozitivne
a u
II
i
III
kvadrantu
negativne
vrednosti.
°
180
°
150
°
135
°
120
°
90
°
60
°
45
°
30
°
0
°
360
°
210
°
225
°
240
°
270
°
300
°
315
°
330
1
+
1
−
y
x
cos 0 = cos 360 = 1
cos 30 = cos 330 =
p
3
2
cos 45 = cos 315 =
p
2
2
cos 60 = cos 300 =
1
2
cos 90 = cos 270 = 0
cos 120 = cos 240 =
1
2
cos 135 = cos 225 =
p
2
2
cos 150 = cos 210 =
p
3
2
cos 180 =
1
Vukomir M Milinkovi´c Dalibor M ´Cosi´c Knjiga za samostalno pripremanje ispita
7
x
y
0
3
3
3
3
−
3
3
−
°
180
°
150
°
120
°
90
°
60
°
30
°
360
°
210
°
225
°
240
°
270
°
300
°
315
°
330
°
135
°
45
°
0
1
−
1
+
1
−
1
+
∞
−
∞
+
tg 0 = tg 180 = tg 360 = 0
tg 30 = tg 210 =
p
3
3
tg 45 = tg 225 = 1
tg 60 = tg 240 =
p
3
tg 90 = tg 270 =
1
tg 120 = tg 300 =
p
3
tg 135 = tg 315 =
1
tg 150 = tg 330 =
p
3
3
tg 180 = tg 0 = 0
U
I
i
III
kvadrantu
tangens
je
pozitivan
.
U
II
i
IV
kvadrantu
tangens
je
negativan
.
Primetimo i ne zaboravimo
tg (
) =
tg
Dogovorom se uzima daje kotangens
pozitivan
ako se duµzina kojom je oznaµcen na-
lazi
desno
od
y
ose i
negativan
ako se duµzina kojom je oznaµcen nalazi
levo
od
y
ose
3
3
3
3
−
3
3
−
1
−
1
+
0
x
y
∞
+
∞
−
°
180
°
150
°
120
°
90
°
60
°
30
°
360
°
210
°
225
°
240
°
270
°
300
°
315
°
330
°
135
°
45
°
0
1
−
1
+
ctg
=
°
30
ctg
°
210
=
3
ctg
°
45
=
ctg
°
225
=
1
ctg
=
ctg
=
°
60
°
240
3
3
ctg
=
ctg
=
°
90
°
270
0
ctg
°
120
=
ctg
°
300
=
3
3
−
ctg
°
0
= ∞
+
ctg
=
ctg
=
°
135
°
315
1
−
ctg
=
ctg
= −
°
150
°
330
3
ctg
=
°
180
+− ∞
ctg
= − ∞
°
360
U
I
i
III
kvadrantu
cotangens
je
pozitivan
.
U
II
i
IV
kvadrantu
cotangens
je
negativan
.
Vidimo da se
tg
i
ctg
ponavljaju
posle
k ; k
= 1
;
2
;
3
; : : :
odnosno da je
tg
= tg (
+
k
)
ctg
= ctg (
+
k
)
