Graniˇcne vrednosti realnih nizova
Funkcija
f
:
N
→
R
, gde je
N
skup prirodnih brojeva a
R
skup realnih
brojeva, zove se
niz realnih brojeva
ili
realan niz
.
Opˇsti ˇclan niza
f
je
f
(
n
),
n
∈
N
, i obiˇcno se obeleˇzava sa
f
n
, dok se sam niz obeleˇzava sa (
f
n
), ili sa
f
= (
f
1
, f
2
, . . . , f
n
, . . .
). Niz se ˇcesto obeleˇzava sa (
x
n
), (
y
n
) ili (
a
n
). Na
primer
x
n
=
1
2
n
−
1
je opˇsti ˇclan niza
x
= (1
,
1
3
,
1
5
,
1
7
, . . .
).
1
Pojam graniˇ
cne vrednosti
Definicija 1.
Realan broj
x
je
graniˇcna vrednost ili granica niza
(
x
n
) ako za
svako
² >
0 postoji prirodan broj
n
0
tako da za svaki prirodan broj
n
≥
n
0
vaˇzi
|
x
n
−
x
|
< ²
i piˇsemo
lim
n
→∞
x
n
=
x.
Prema tome,
lim
n
→∞
x
n
=
x
⇐⇒
(
∀
² >
0)(
∃
n
0
∈
N
)(
∀
n
≥
n
0
)
|
x
n
−
x
|
< ².
Ako niz (
x
n
) ima graniˇcnu vrednost
x
, onda kaˇzemo da je niz (
x
n
)
kon-
vergentan
i da
konvergira ka
x
. Ako niz (
x
n
) nema graniˇcnu vrednost, onda
´cemo re´ci da taj niz
divergira
ili da je
divergentan
.
Definicija 2.
Za niz (
x
n
) kaˇzemo da teˇzi ka +
∞
, i piˇsemo lim
n
→∞
x
n
= +
∞
,
ako za svako
M >
0 postoji prirodan broj
n
0
tako da za svako
n
≥
n
0
vaˇzi
x
n
> M
. Prema tome,
lim
n
→∞
x
n
= +
∞ ⇐⇒
(
∀
M >
0)(
∃
n
0
∈
N
)(
∀
n
≥
n
0
)
x
n
> M.
Definicija 3.
Za niz (
x
n
) kaˇzemo da teˇzi ka
−∞
, i piˇsemo lim
n
→∞
x
n
=
−∞
,
ako za svako
M >
0 postoji prirodan broj
n
0
tako da za svako
n
≥
n
0
vaˇzi
x
n
<
−
M
. Prema tome,
lim
n
→∞
x
n
=
−∞ ⇐⇒
(
∀
M >
0)(
∃
n
0
∈
N
)(
∀
n
≥
n
0
)
x
n
<
−
M.
1
Za nizove koji teˇze +
∞
ili
−∞
kaˇzemo da
odred¯eno divergiraju
ili da su
odred¯eno divergentni
.
Primer 4.
Dokazati da niz ˇciji je opˇsti ˇclan
x
n
=
1
n
konvergira ka 0.
Reˇsenje:
Dokaˇzimo da za svako
² >
0 postoji prirodan broj
n
0
tako da
za svaki prirodan broj
n
≥
n
0
vaˇzi
¯
¯
¯
¯
1
n
−
0
¯
¯
¯
¯
< ²
, tj.
1
n
< ²
. Na osnovu
Arhimedovog principa postoji prirodan broj
n
0
takav da je
n
0
>
1
²
, pri
ˇcemu je dovoljno uzeti
n
0
=
·
1
²
¸
+ 1. Zaista,
n
0
>
1
²
i za svako
n
≥
n
0
takod¯e ´ce vaˇziti
n >
1
²
, odakle
1
n
< ²
, tj.
|
x
n
−
0
|
< ²
.
Primer 5.
Dokazati da je
lim
n
→∞
2
n
+ 3
n
+ 5
= 2
.
Reˇsenje:
Neka je
² >
0 proizvoljno. Treba naˇci
n
0
∈
N
tako da je za svako
n
≥
n
0
vaˇzi
¯
¯
¯
¯
2
n
+ 3
n
+ 5
−
2
¯
¯
¯
¯
< ²
. Iz
¯
¯
¯
¯
2
n
+ 3
n
+ 5
−
2
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
2
n
+ 3
−
2
n
−
10
n
+ 5
¯
¯
¯
¯
=
7
n
+ 5
< ²
⇐⇒
n
+ 5
7
>
1
²
⇐⇒
n
+ 5
>
7
²
⇐⇒
n >
7
²
−
5
,
zakljuˇcujemo da za
n
0
= max
½·
7
²
−
5
¸
+ 1
,
1
¾
vaˇzi
n
0
∈
N
i
n
0
>
7
²
−
5,
pa i za svako
n
≥
n
0
vaˇzi
n >
7
²
−
5, i stoga
¯
¯
¯
¯
2
n
+ 3
n
+ 5
−
2
¯
¯
¯
¯
< ²
.
Primer 6.
Dokazati da niz ˇciji je opˇsti ˇclan
x
n
= 1 + (
−
1)
n
1
2
n
konvergira
ka 1.
Reˇsenje:
Dokaˇzimo da za proizvoljno
² >
0 postoji prirodan broj
n
0
tako da
za svaki prirodan broj
n
≥
n
0
vaˇzi
¯
¯
¯
¯
1 + (
−
1)
n
1
2
n
−
1
¯
¯
¯
¯
< ²
, tj.
1
2
n
< ²
. Kako
je
1
2
n
< ²
⇐⇒
2
n
>
1
²
⇐⇒
n >
log
2
1
²
,
2
i
lim
n
→∞
x
n
= lim
n
→∞
z
n
=
a.
(2)
Tada je lim
n
→∞
y
n
=
a
.
Dokaz.
Neka je
² >
0 proizvoljno. Iz (2) sledi da postoje
n
1
, n
2
∈
N
tako
da je
a
−
² < x
n
< a
+
²
za svako
n
≥
n
1
(3)
i
a
−
² < z
n
< a
+
²
za svako
n
≥
n
2
.
(4)
Neka je
n
0
= max
{
n
1
, n
2
}
. Sada na osnovu (1), (3) i (4) sledi da za svako
n
≥
n
0
vaˇzi
a
−
² < x
n
≤
y
n
≤
z
n
< a
+
²,
tj.
y
n
∈
(
a
−
², a
+
²
). Prema tome, lim
n
→∞
y
n
=
a
.
¤
Teorema 12.
Neka su (
x
n
) i (
y
n
) nizovi realnih brojeva takvi da je
x
n
≤
y
n
,
za svako
n
∈
N
.
(5)
Ako je lim
n
→∞
x
n
= +
∞
, onda je lim
n
→∞
y
n
= +
∞
.
Ako je lim
n
→∞
y
n
=
−∞
, onda je lim
n
→∞
x
n
=
−∞
.
Dokaz.
Neka je lim
n
→∞
x
n
= +
∞
i
M >
0. Tada postoji
n
0
∈
N
tako da je
x
n
> M
za svako
n
≥
n
0
. Iz (5) sledi da je
y
n
> M
za svako
n
≥
n
0
. Prema
tome, lim
n
→∞
y
n
= +
∞
.
Drugi deo tvrd¯enja se dokazuje analogno.
¤
Teorema 13.
Neka je
lim
n
→∞
x
n
=
x.
(6)
Ako je
x < b
, tada postoji
n
1
∈
N
tako da za svako
n
≥
n
1
vaˇzi
x
n
< b
.
Ako je
x > c
, tada postoji
n
2
∈
N
tako da za svako
n
≥
n
2
vaˇzi
x
n
> c
.
Dokaz.
Neka je
x < b
i neka je
²
=
b
−
x
. Tada iz (6) sledi da postoji
n
1
∈
N
tako da je za svako
n
≥
n
1
,
x
n
∈
(
x
−
², x
+
²
) = (
x
−
², b
). Prema tome,
x
n
< b
za
n
≥
n
1
.
Ako je
x > c
, tada je
²
=
x
−
c >
0. Iz (6) sledi da postoji
n
2
∈
N
tako
da je za svako
n
≥
n
2
,
x
n
∈
(
x
−
², x
+
²
) = (
c, x
+
²
). Prema tome,
x
n
> c
za
n
≥
n
2
.
¤
4
Teorema 14.
Neka je
lim
n
→∞
x
n
=
x.
(7)
Ako je
x
n
≥
b
za svako
n
∈
N
, tada je
x
≥
b
.
Ako je
x
n
≤
c
za svako
n
∈
N
, tada je
x
≤
c
.
Dokaz.
Neka je
x
n
≥
b
za svako
n
∈
N
. Ako bi
x < b
, tada bi na osnovu
Teoreme 13 sledilo da postoji
n
1
∈
N
tako da je
x
n
< b
za svako
n
≥
n
1
, ˇsto
je suprotno pretpostavci.
Analogno, ako je
x
n
≤
c
za svako
n
∈
N
, na osnovu Teoreme 13, za-
kljuˇcujemo da je
x
≤
c
.
¤
Slede´ca teorema je uopˇstenje Teoreme 13.
Teorema 15.
Ako je lim
n
→∞
x
n
=
x
, lim
n
→∞
y
n
=
y
i
x < y
, tada postoji
n
0
∈
N
tako da je
x
n
< y
n
za svako
n
≥
n
0
.
Dokaz.
Za
²
=
y
−
x
2
>
0 vaˇzi (
x
−
², x
+
²
)
∩
(
y
−
², y
+
²
) =
∅
. Takod¯e za svako
t
∈
(
x
−
², x
+
²
) i svako
s
∈
(
y
−
², y
+
²
) vaˇzi nejednakost
t < s
. Iz lim
n
→∞
x
n
=
x
i lim
n
→∞
y
n
=
y
sledi da postoje
n
1
, n
2
∈
N
tako da je
x
n
∈
(
x
−
², x
+
²
) za
n
≥
n
1
i
y
n
∈
(
y
−
², y
+
²
) za
n
≥
n
2
. Neka je
n
0
= max
{
n
1
, n
2
}
. Za
n
≥
n
0
imamo da
x
n
∈
(
x
−
², x
+
²
) i
y
n
∈
(
y
−
², y
+
²
), te je
x
n
< y
n
.
¤
Naredna teorema je uopˇstenje Teoreme 14.
Teorema 16.
Neka je lim
n
→∞
x
n
=
x
, lim
n
→∞
y
n
=
y
i
x
n
≥
y
n
za svako
n
∈
N
.
Tada je
x
≥
y
.
Dokaz.
Pretpostavimo da je
x < y
. Na osnovu Teoreme 15 sledi da postoji
n
0
∈
N
tako da je
x
n
< y
n
za svako
n
≥
n
0
. Ovo protivureˇci pretpostavci da
je
x
n
≥
y
n
za svako
n
∈
N
. Dobijena protivureˇcnost dokazuje da je
x
≥
y
.
¤
Teorema 17.
Ako nizovi (
x
n
) i (
y
n
) konvergiraju, tada konvergiraju i nizovi
(
x
n
+
y
n
) i (
x
n
−
y
n
) i vaˇzi
lim
n
→∞
(
x
n
+
y
n
) =
lim
n
→∞
x
n
+ lim
n
→∞
y
n
,
lim
n
→∞
(
x
n
−
y
n
) =
lim
n
→∞
x
n
−
lim
n
→∞
y
n
.
5
