Nizovi i skupovi realnih brojeva

Glava 2

Nizovi i skupovi realnih

brojeva

Centralno mesto u matematiˇ

ckoj analizi pripada pojmu graniˇ

cne vrednosti,

odnosno limesa. Upozna´

cemo se sa definicijom limesa niza i sa tehnikama

nalaˇ

zenja graniˇ

cnih vrednosti. Razmatra´

cemo i nekoliko vaˇ

znih osobina skupova

realnih brojeva, koje su u vezi sa pojmom limesa. U ovoj glavi izloˇ

zi´

cemo i jednu

jednostavnu metodu za numeriˇ

cko reˇ

savanje jednaˇ

cina, zajedno sa njenom

teorijskom osnovom.

•

Prebrojivi i neprebrojivi skupovi

•

Realni nizovi

•

Tri (na prvi pogled) teorijske teme

•

Osobine skupova realnih brojeva

•

Zadaci

43

2

44

2. NIZOVI I SKUPOVI REALNIH BROJEVA

2.1.

Prebrojivi i neprebrojivi skupovi

Nekad davno, u praistoriji, nekom pastiru je palo na pamet da ureˇ

ze po jedan

zarez u odlomljenu granu drveta, za svaku ovcu koja je njegova; na taj naˇ

cin je

mogao da, krajem dana, ustanovi da li su mu sve ovce na broju. To je bilo rod¯enje
pojma prirodnog broja, fascinantna zamisao, koja je dovela do matematike koju
danas poznajemo. Nije nam teˇ

sko da shvatimo prirodne brojeve, jer smo nauˇ

ceni

na njih od detinjstva. Jedan prst, dva prsta, tri prsta. Dva oka. Dve ruke. Tri
sestre. Ali, trebali su milenijumi da se dod¯e do te jednostavne apstrakcije. Izreˇ

ceno

danaˇ

snjim jezikom, za svaki konaˇ

can skup postoji bijekcija

1

koja ga preslikava

na jedan skup

{

1

,

2

, . . . , n

}

; na taj naˇ

cin utvrd¯ujemo da skup ima

n

elemenata.

Skupove poredimo po broju elemenata: skup koji ima 7 elemenata je ve´

ci od skupa

koji ima 3 elementa.

Matematiˇ

cka analiza se, uglavnom, bavi beskonaˇ

cnim skupovima. Skup prirod-

nih brojeva,

N

, ili skup realnih brojeva,

R

, su primeri takvih skupova, koji nam se

ˇ

cine dobro poznatim. Prirodni brojevi su nam bliˇ

zi od realnih, ali matematiˇ

cari

znaju da u skupu prirodnih brojeva postoji moˇ

zda i viˇ

se enigme nego u skupu re-

alnih. Jedan takav poznati primer jeste

Fermat

ova poslednja teorema

2

, koja je

dokazana tek 1993. godine, posle 350 godina bezuspeˇ

snih pokuˇ

saja najˇ

cuvenijih

svetskih matematiˇ

cara. Osim toga, veliki prirodni brojevi su van naˇ

se intuicije.

Teˇsko je shvatiti kolika koliˇ

cina se nalazi u 2

64

zrna pˇ

senice sve dok se ne uporedi

sa neˇ

cim ˇ

sto nam je poznato (videti stranu 42).

Beskonaˇ

cni skupovi mogu se porediti po broju elemenata, na sliˇ

can naˇ

cin kao i

konaˇ

cni. Za beskonaˇ

can skup

S

realnih brojeva kaˇ

zemo da je

prebrojiv skup

ako

postoji bijekcija izmed¯u skupa

S

i skupa prirodnih brojeva

N

. To praktiˇ

cno znaˇ

ci da

elemente skupa

S

moˇ

zemo oznaˇ

citi sa

x

1

, x

2

, x

3

, . . .

, u obliku jednog beskonaˇ

cnog

niza.

Skup prirodnih brojeva je prebrojiv, a pored njega, prebrojivi su i skupovi

parnih, neparnih ili celih brojeva. Na primer, izmed¯u skupa prirodnih i skupa celih
brojeva moˇ

ze se uspostaviti slede´

ca bijekcija:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

. . .

0

−

1

1

−

2

2

−

3

3

−

4

4

−

5

5

. . .

Po istom pravilu, moˇ

zemo porediti bilo kakve beskonaˇ

cne skupove. Isto kao

ˇ

sto svakom konaˇ

cnom skupu moˇ

zemo pridruˇ

ziti jedan prirodan broj, broj njegovih

elemenata, tako i beskonaˇ

cnim skupovima pridruˇ

zujemo jednu oznaku koju zovemo

kardinalni broj.

1Videti definiciju bijekcije na strani 9.

2

Ova teorema tvrdi da ne postoje prirodni brojevi

x

,

y

,

z

, za koje bi vaˇ

zilo da je

x

k

+

y

k

=

z

k

,

ako je

k

≥

3.

46

2. NIZOVI I SKUPOVI REALNIH BROJEVA

pozitivnih racionalnih brojeva moˇ

ze se predstaviti u obliku niza

r

1

, r

2

, . . .

, pa je

prebrojiv. Skup svih racionalnih brojeva moˇ

ze se, prema tome, predstaviti u obliku

0

, r

1

,

−

r

1

, r

2

,

−

r

2

, r

3

,

−

r

3

, . . . ,

pa je i ovaj skup prebrojiv. Dakle, dokazali smo:

√

Skup racionalnih brojeva je prebrojiv

Kako stoje stvari sa skupom realnih brojeva? Ispostavlja se da

√

Skup realnih brojeva

R

nije prebrojiv; njegov kardinalni broj je ve´

ci od

ℵ

0

;

√

Bilo kakav interval (konaˇ

can ili beskonaˇ

can, otvoren ili zatvoren) ima isti

kardinalni broj kao skup

R

.

Dokazi ovih tvrd¯enja dati su u zadacima 105 i 106.
Kardinalni broj skupa

R

oznaˇ

cava se sa

c

(kao poˇ

cetno slovo latinskog prideva

continuo

, neprekidan). Osim kardinalnih brojeva

ℵ

0

i

c

, postoje i ve´

ci kardinalni

brojevi.

strana 73, zadaci 102-107

2.2.

Realni nizovi

2.2.1. Definicija niza i osnovni pojmovi

Govore´

ci o prebrojivim skupovima, pomenuli smo da se njihovi elementi mogu

urediti u niz. Tako dobijamo

•

skup prirodnih brojeva

→

niz (svih) prirodnih brojeva

•

skup racionalnih brojeva

→

niz (svih) racionalnih brojeva

•

skup celih brojeva

→

niz (svih) celih brojeva

•

skup parnih brojeva

→

niz (svih) parnih brojeva

•

. . .

Razlika izmed¯u skupa

S

i niza njegovih elemenata je u tome da je u nizu

definisan poredak, tj. zna se koji je prvi, drugi, tre´

ci . . . ˇ

clan niza, dok u skupu

poredak nije definisan.

Na taj naˇ

cin, nizom se uspostavlja jedno preslikavanje

izmed¯u skupa prirodnih brojeva i elemenata skupa

S

. Prema tome, niz je funkcija

ˇ

ciji je domen skup prirodnih brojeva.

Definicija 2.2.

Svako preslikavanje skupa prirodnih brojeva u skup

R

nazivamo

realnim nizom

. Broj koji se ovim preslikavanjem dodeljuje prirodnom broju

n

oznaˇ

cava se sa

x

n

,

a

n

, itd i zove se

n

-ti ˇ

clan niza

ili

n

-ti element niza

;

prirodan broj

n

je

indeks

ˇ

clana

x

n

. Realan broj

x

n

naziva se

opˇ

stim ˇ

clanom

niza

. Za niz

{

x

n

}

ˇ

ciji su ˇ

clanovi

x

1

, . . . , x

n

, . . .

koristi se oznaka

{

x

n

}

n

∈

N

ili samo

{

x

n

}

. U domen ovog preslikavanja ponekad se ukljuˇ

cuje i nula, pa se posmatra

niz

x

0

, x

1

, . . .

2.2. REALNI NIZOVI

47

Na sliˇ

can naˇ

cin mogu se definisati i nizovi kompleksnih brojeva, nizovi funkcija

ili, uopˇ

ste, nizovi elemenata proizvoljnog skupa. U ovom odeljku posmatramo samo

realne nizove.

Primer 8.

Niz moˇ

ze biti zadat pomo´

cu formule, u eksplicitnom obliku. Na

primer:

•

Formulom

x

n

= 2

n

−

1 definisan je niz neparnih brojeva ˇ

ciji su ˇ

clanovi

1

,

3

,

5

, . . .

. Oni se dobijaju kada se u formulu za

x

n

stavi da je, redom,

n

= 1,

n

= 2,

n

= 3,. . .

•

Formulom

x

n

= 5

n

+ 3 definisan je niz ˇ

ciji su ˇ

clanovi 8

,

13

,

18

,

23

, . . .

To

su prirodni brojevi koji daju ostatak 3 pri deljenju sa 5.

•

Formulom

x

n

= (

−

1)

n

definisan je jedan vaˇ

zan niz koga ´

cemo ˇ

cesto ko-

ristiti. To je niz

−

1

,

1

,

−

1

,

1

,

−

1

, . . .

. Sliˇ

cnom formulom,

x

n

= (

−

1)

n

−

1

,

definisan je niz koji poˇ

cinje sa 1: 1

,

−

1

,

1

,

−

1

, . . .

!

•

Formulom

x

n

= cos

α

+

n

π

2

,

n

= 0

,

1

,

2

, . . .

definisan je niz ˇ

ciji su

ˇ

clanovi, redom,

cos

α,

−

sin

α,

−

cos

α,

sin

α,

cos

α, . . .

Primetimo da u ovom sluˇ

caju niz poˇ

cinje od ˇ

clana sa indeksom 0.

Niz moˇ

ze biti zadat i pomo´

cu

rekurentne formule

. Na taj naˇ

cin se svaki

slede´

ci ˇ

clan niza izraˇ

cunava pomo´

cu jednog ili viˇ

se prethodnih ˇ

clanova. Na primer:

•

Ako zadamo da je

x

1

= 0

,

x

n

+1

=

x

2

n

+ 1

,

n

= 1

,

2

,

3

, . . .

dobijamo niz 0

,

1

,

2

,

5

,

26

, . . .

•

Rekurentnom formulom

x

0

= 0

,

x

1

= 1

,

x

n

+2

=

x

n

+

x

n

+1

,

n

= 0

,

1

, . . . ,

odred¯en je niz ˇ

ciji su ˇ

clanovi

0

,

1

,

2

,

3

,

5

,

8

,

13

, . . .

Ovaj niz se zove

Fibonacci

jev niz.

Rekurentne formule se jednostavno programiraju. Na primer, slede´

ci algoritam

generiˇ

se prvih 100 ˇ

clanova niza ˇ

ciji su ˇ

clanovi zadati rekurentnom formulom

x

1

=

0

, x

n

+1

=

x

2

n

+ 1 i smeˇsta ih u vektor

x

(1)

n

= 1

, y

:= 0

, x

(

n

) := 0

(2)

n

:=

n

+ 1

, y

:=

y

2

+ 1

, x

(

n

) :=

y

(3)

Ako je

n <

100 povratak na (2);

(4)

kraj

Niz moˇ

ze biti zadat i opisno, bez formule. Na primer,

2