SVEU ˇ
CILI ˇ
STE U ZAGREBU
PRIRODOSLOVNO–MATEMATI ˇ
CKI FAKULTET
MATEMATI ˇ
CKI ODSJEK
Maja ˇ
Stajduhar
HILBERTOV PROSTOR
Diplomski rad
Voditelj rada:
doc. dr. sc. Zvonko Iljazovi´c
Zagreb
,
srpanj, 2016.
Ovaj diplomski rad obranjen je dana
pred ispitnim povjerenstvom
u sastavu:
1.
, predsjednik
2.
, ˇclan
3.
, ˇclan
Povjerenstvo je rad ocijenilo ocjenom
.
Potpisi ˇclanova povjerenstva:
1.
2.
3.
Sadrˇzaj
Sadrˇzaj
iv
Uvod
2
1
Definicije i osnovna svojstva
3
1.1
Vektorski i metriˇcki prostori
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Euklidska metrika na
R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Omedeni i konvergentni nizovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4
Konvergencija reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2
Hilbertov prostor i njegova svojstva
21
2.1
Definicija Hilbertovog prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2
Hilbertov prostor kao potprostor vektorskog prostora . . . . . . . . . . .
23
2.3
Zatvoreni skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.4
Separabilnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.5
Potpunost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.6
Konveksnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
iv
Uvod
Ovim radom ˇzelimo pokazati svojstva Hilbertovog prostora koji je jedan od zanimljivijih
prostora u topologiji. Hilbertov prostor sluˇzi kao bitna poveznica koja spaja analizu i topo-
logiju. Topologija je jedno podruˇcje matematike koje se razvilo iz geometrije. Dok su za
geometriju karakteristiˇcni pojmovi kutovi i udaljenost u topologiji su od interesa pojmovi
kao ˇsto su povezanost, potpunost i sl.
Osoba koja je zasluˇzna za ovaj prostor je njemaˇcki matematiˇcar David Hilbert, roden
23
.
sijeˇcnja 1862
.
godine u K¨onigsbergu. Rastao je uz oca Otto Hilbera, koji je bio cije-
njeni gradski sudac i majke Marie, koja je prouˇcavala filozofiju i astronomiju. Smatra se
da je Hilbertova majka bila oˇcarana prirodnim brojevima i pravilnim tijelima. Mogu´ce je
da upravo zbog toga Hilbert pokazao odliˇcno znanje matematike u ranim godinama. Ba-
vio se teorijom brojeva, matematiˇckom logikom, osnovama matematike, diferencijalnim
i integralnim jednadˇzbama, dokazao je konzistentnost aksioma euklidske geometrije te je
dao 1899
.
godine novu aksiomatizaciju euklidske geometrije. David Hilbert je teorijski
oblikovao Hilbertov prostor i utemeljio je funkcionalnu analizu. U knjizi
Grundlagen der
Geometrie
, 1899
.
rijeˇsio je problem zasnivanja elementarne geometrije na aksiomatskoj os-
novi. 1900
.
godine Hilbert i matematiˇcarska zajednica na Drugom kongresu matematiˇcara
postavili su 23 matematiˇcka problema. Neki od njegovih problema nisu joˇs rijeˇseni. Do
1912
.
godine Hilbert postaje jedan od najcjenjenijih matematiˇcara i planira posjetiti Bonn
gdje je upoznao tada svog budu´ceg prijatelja Hermana Minkowskog koji je zasluˇzan za
ve´cinu Hilbertovih istraˇzivanja u fizici. David Hilbert radio je kao editor jednog vode´ceg
matematiˇckog ˇcasopisa izmedu 1902
.
−
1939
.
godine. U svojoj 68
.
godini prisilno je mo-
rao oti´ci u mirovinu sa sveuˇciliˇsta zbog zakona koji zabranjuje ˇzidovima rad u obrazovnim
ustanovama. 14
.
veljaˇce 1943
.
godine Hilbert umire od stresa i zdravstvenih problema.
Hilbertov prostor danas se primjenjuje u teoriji diferencijalnih i integralnih jednadˇzbi.
On tvori okvir za Fourierove redove i redove drugih funkcija te je osnovni objekt u aksi-
omatskom zasnivanju kvantne mehanike.
U ovom diplomskom radu, u prvom poglavlju objasnit ´cemo neke osnovne ˇcinjenice
vezane uz vektorski i metriˇcki prostor. Prouˇcit ´cemo konvergentne nizove i redove. U
1
Poglavlje 1
Definicije i osnovna svojstva
1.1
Vektorski i metriˇcki prostori
Neka je
X
neprazan skup te
d
:
X
×
X
→
R
funkcija koja ima sljede´ca svojstva:
1.
d
(
x
,
y
)
≥
0,
∀
x
,
y
∈
X
,
2.
d
(
x
,
y
)
=
0
⇔
x
=
y
,
3.
d
(
x
,
y
)
=
d
(
y
,
x
),
∀
x
,
y
∈
X
,
4.
d
(
x
,
y
)
+
d
(
y
,
z
)
≥
d
(
x
,
z
),
∀
x
,
y
,
z
∈
X
.
Tada za
d
kaˇzemo da je
metrika
na
X
, a za uredeni par (
X
,
d
) kaˇzemo da je
metriˇcki
prostor
.
Neka je
V
skup te
+
binarna operacija na
V
, tj.
+
:
V
×
V
→
V
funkcija sa svojstvima:
1. (
x
+
y
)
+
z
=
x
+
(
y
+
z
),
∀
x
,
y
,
z
∈
V
(asocijativnost),
2. postoji 0
∈
V
tako da
x
+
0
=
0
+
x
=
x
,
∀
x
∈
V
(postojanje neutralnog elementa),
3. za svaki
x
∈
V
postoji
y
∈
V
takav da je
x
+
y
=
y
+
x
=
0 (postojanje suprotnog
elementa),
4.
x
+
y
=
y
+
x
,
∀
x
,
y
∈
V
(komutativnost).
3
