Amar Bapi´c
Odre ¯
deni integral. Primjena odre ¯
denog integrala.
Tuzla, 2014.
Sadržaj
1
Odre ¯
deni integral
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
Površina ravnog lika
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3
Dužina luka krive
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4
Zapremina rotacionog tijela
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
5
Površina rotacijske plohe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
6
Tablica osnovnih integrala
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1
Amar Bapi´c
V
AŽNIJE OSOBINE ODREÐENOG INTEGRALA:
1.
a
R
a
f
(
x
)
dx
=
0
2.
b
R
a
f
(
x
)
dx
=
−
a
R
b
f
(
x
)
dx
3.
b
R
a
f
(
x
)
dx
=
c
R
a
f
(
x
)
dx
+
b
R
c
f
(
x
)
dx
(
a
<
c
<
b
)
4. Ako je
f
parna funkcija, tada je
a
R
−
a
f
(
x
)
dx
=
2
a
R
0
f
(
x
)
dx
5. Ako je
f
neparna funkcija, tada je
a
R
−
a
f
(
x
)
dx
=
0
Kao i kod neodre ¯denih, tako i kod odre ¯denih integrala postoji metod parcijalne integracije.
Teorem 1.2
: Neka su u
=
u
(
x
)
i v
=
v
(
x
)
neprekidne i derivabilne funkcije na segmentu
[
a
,
b
]
. Tada je
Z
b
a
udv
=
uv
b
a
−
Z
b
a
vdu
Prije nego što krenemo na rješavanje zadataka, treba napomenuti da prilikom raˇcunanja odre ¯denih integrala, ukoliko
uvedemo smjenu imamo dvije opcije: ili ´cemo uvesti nove granice po toj smjeni ili ´cemo voditi poˇcetne granice do kraja i
ponovo se vratiti na poˇcetnu varijablu (u ovom sluˇcaju granice stavljamo u male zagrade "()"). Pokažimo to na jednostavnom
primjeru.
3
Amar Bapi´c
Primjer 1.1
: Izraˇcunati vrijednost integrala
1
R
0
√
1
+
xdx.
I naˇcin:
1
Z
0
√
1
+
x dx
=
(
sm jena
:
t
=
1
+
x
|
d
x
=
1
⇒
t
=
1
+
1
=
2
dt
=
dx
x
=
0
⇒
t
=
1
+
0
=
1
)
=
2
Z
1
√
t dt
=
2
Z
1
t
1
2
dt
=
t
1
+
1
2
1
+
1
2
2
1
=
t
3
2
3
2
2
1
=
2
3
t
3
2
2
1
=
2
3
·
2
3
2
−
1
3
2
=
2
3
·
(
√
8
−
1)
II naˇcin:
1
Z
0
√
1
+
x dx
=
(
sm jena
:
t
=
1
+
x
|
d
dt
=
dx
)
=
(1)
Z
(0)
√
t dt
=
(1)
Z
(0)
t
1
2
dt
=
t
1
+
1
2
1
+
1
2
(1)
(0)
=
t
3
2
3
2
(1)
(0)
=
2
3
t
3
2
(1)
(0)
=
2
3
(1
+
x
)
3
2
1
0
=
2
3
·
(1
+
1)
3
2
−
(1
+
0)
3
2
=
2
3
·
(
√
8
−
1)
Zadatak 1.1
: Izraˇcunaj sljede´ce integrale!
1.
8
R
0
(1
+
√
2
x
+
3
√
x
)
dx
2.
0
R
−
π
/
4
3
x
4
+
3
x
2
+
1
x
2
+
1
dx
3.
π
/
4
R
−
π
/
4
dx
cos
2
x
4.
2
R
1
x
(
lnx
+
1)
dx
5.
π
R
−
π
x
(
sinx
−
1)
dx
6.
4
R
1
1
+
√
x
x
2
dx
7.
3
R
1
sin(
lnx
)
x
dx
8.
−
√
2
/
2
R
√
2
/
2
dx
√
1
−
x
2
9.
1
/
2
R
−
1
/
2
dx
1
−
x
2
10.
π
/
2
R
0
sin
x
(1
+
cos
2
x
)
dx
11.
1
R
0
dx
e
−
x
+
e
x
12.
R
R
0
√
R
2
−
x
2
dx
,
R
≥
x
13.
4
R
0
x
√
x
2
+
9
dx
14.
π
/
2
R
0
e
x
sin
x dx
15.
π
/
2
R
0
cos
x
sin
2
x dx
4
