Otpornost materijala – Osnovna naprezanja

27 

Трећа

, 

четврта

и

пета

недеља

наставе

U

ОСНОВНА

НАПРЕЗАЊА

1.  

НАПРЕЗАЊЕ

У

ПОДУЖНОМ

ПРАВЦУ

(

АКСИЈАЛНО

НАПРЕЗАЊЕ

) 

Ово

је

случај

напрезања

при

којем

се

у

попречном

пресеку

конструктивног

елемента

појављују

само

подужне

силе

. 

Линијски

носач

може

бити

оптерећен

подужном

силом

N

која

може

бити

константног

, N = const, 

или

променљивог

интензитета

дуж

штапа

 (

греде

), N 

≠

 const.  

................................................................................................................................... 

ПРЕСЕЧНЕ

СИЛЕ

У

општем

случају

,  

N = N (z), A = A (z). 
 

Подужна

сила

је

различита

од

нуле

, 

што

се

не

може

рећи

и

за

остале

пресечне

величине

, 

односно

: 

N 

≠

≠

≠

≠

 0

, T

B

x

B

 = T

B

y

B

 = M

B

x

B

 = M

B

y

B

 = M

B

t

B

 = 0. 

(1) 

Увешћемо

још

три

допунске

претпоставке

: 

1. 

Претпоставка

о

напонима

: 

•

σ

B

z

B

≠

 0.  

•

τ

B

zx

B

 = 

τ

B

zy

B

 = 0. 

2. 

Претпоставка

о

деформацијама

  (

претпоставка

о

равним

попречним

пресецима

): 

Пре

деформације

попречни

пресеци

су

равни

и

управни

на

подужну

осу

штапа

. 

После

деформације

, 

попречни

пресеци

остају

равни

и

управни

на

подужну

осу

штапа

. 

Уопштено

се

може

написати

: 

•

ε

B

z

B

 (x, y, z) = 

ε

B

z

B

 (z)

•

ε

B

z

B

 (x, y)

 = const,  

•

γ

B

 zx

B

 = 

γ

B

 zy 

B

= 0

28 

•

Веза

напона

и

деформације

Важи

Хуков

закон

: 

•

σ

B

z

B

 = 

Е

⋅

ε

B

z

B

, 

•

σ

B

z

B

 (x, y, z) = 

Е

⋅

ε

B

z 

B

(z) = 

σ

B

z

B

 (z)

•

σ

B

z

B

 (x, y)

 = const . 

Услови

равнотеже

У

случају

U

да

је

U

површина

А

  =  const

U

, 

анализирајмо

трећу

, 

четврту

и

пету

једначину

.  

3. 

( )

z

N

dA

A

z

∫

=

σ

, 

4. 

0

=

=

⋅

∫

A

x

z

M

dA

y

σ

, 

5. 

0

=

=

⋅

−

∫

A

y

z

M

dA

x

σ

, 

Размотримо

прво

трећу

једначину

равнотеже

. 

Ако

је

: 

( )

z

z

z

σ

σ

=

,  

онда

је

: 

( )

( )

z

N

dA

z

A

z

=

∫

σ

,                                                                                               (3)  

одакле

следи

израз

за

нормални

напон

у

произвољном

попречном

пресеку

: 

( )

( )

A

z

N

z

z

=

σ

. 

   (4) 

Четврта

и

пета

једначина

нам

дају

услове

под

којима

важи

да

су

моменти

једнаки

нули

. 

0

0

=

⇒

=

=

⋅

=

⋅

∫

∫

x

A

A

x

z

z

z

S

S

dA

y

dA

y

σ

σ

σ

и

0

0

=

⇒

=

=

⋅

=

⋅

∫

∫

y

A

A

y

z

z

z

S

S

dA

x

dA

x

σ

σ

σ

.                                     (5) 

Ове

две

једначине

нам

показују

да

x

и

  y 

осе

морају

бити

тежишне

осе

попречног

пресека

, 

што

наводи

на

закључак

да

подужна

сила

  N 

мора

да

делује

у

тежишту

попречног

пресека

штапа

. 

Посматрајмо

сада

штап

U

променљивог

попречног

пресека

А

 = 

А

 (z)

 : 

30 

ПРОВЕРА

И

ДИМЕНЗИОНИСАЊЕ

ПОДУЖНО

НАПРЕГНУТИХ

ШТАПОВА

•

провера

чврстоће

( )

( )

d

z

z

A

z

N

σ

σ

≤













=

max

max

,                                                                          (11) 

•

провера

крутости

( )

( )

d

z

z

A

E

z

N

ε

ε

≤













⋅

=

max

max

,                                                                        (12) 

•

провера

носивости

( )

( )

d

z

A

z

N

σ

⋅

≤

,                                                                                          

  (13)

•

димензионисање

( )

( )

d

z

N

z

A

σ

≥

, 

што

се

за

константан

попречни

пресек

(

А

 = const)

своди

на

d

N

A

σ

max

≥

.                                                                                                  

 (14)

SAINT–VENANT– 

ов

ПРИНЦИП

И

КОНЦЕНТРАЦИЈА

НАПОНА

Изведени

образац

за

σ

B

z

B

важи

само

за

попречне

пресеке

довољно

удаљене

од

места

деловања

концентрисане

силе

.  

Уочимо

зону

штапа

блиску

околини

тачке

уноса

оптерећења

. 

Сен

–

Венанов

принцип

Оваква

разматрања

су

уобличена

дефиницијом

која

се

назива

Сен

  -  

Венанов

принцип

: 

При

удаљавању

од

тачке

деловања

силе

, 

неравномерна

расподела

напона

постепено

тежи

равномерној

расподели

.

При

наглим

променама

димензија

попречних

пресека

, 

мора

се

водити

рачуна

о

концентрацији

напона

. 

Теоријска

и

експериментална

истраживања

показују

долази

до

локалног

повећања

напона

. 

31 

УТИЦАЈ

ТЕМПЕРАТУРСКИХ

РАЗЛИКА

( )

T

z

z

∆

⋅

=

α

ε

.                                                                                            (15) 

Размотримо

два

случаја

:  

1. 

∆

Т

≠

 0, 

а

 N = 0, 

2. 

∆

T

≠

 0 

и

 N

≠

 0.  

•

∆

∆

∆

∆

Т

≠

≠

≠

≠

 0,

а

 N = 0

Померања

попречних

пресека

су

:  

T

z

dz

T

dz

z

z

z

z

∆

⋅

⋅

=

⋅

∆

⋅

=

⋅

=

∆

∫

∫

α

α

ε

0

0

 (

на

произвољном

месту

), 

T

l

dz

T

l

l

∆

⋅

⋅

=

⋅

∆

⋅

=

∆

∫

α

α

0

( 

на

слободном

крају

).                               (16)                                                   

Коефицијент

линеарног

температурског

издужења

α

α

α

α

[[[[

К

P

-1

P

]]]]

за

челик

износи

α

  =  12 

⋅

  10

P

-6

P

  K

P

-1

P

, 

а

модул

еластичности

Е

  =  21000  kN/cm

P

2

P

. 

Физичка

карактеристика

материјала

којом

се

приказује

осетљивост

материјала

на

промене

температуре

назива

се

температурски

коефицијент

  (

коефицијент

линеарног

термичког

ширења

), 

који

се

обележава

са

α

α

α

α

(

α

t

). 

При

овом

случају

оптерећења

не

важи

Хуков

закон

.

.  

•

∆

∆

∆

∆

T

≠

≠

≠

≠

 0 

и

 N

≠

≠

≠

≠

 0 

Ако

је

познато

:  

U

A (z), N (z), 

∆

Т

≠

 const 

U

или

U

N = const, A = const, 

∆

Т

 =const 

( )

( )

z

A

z

N

z

=

σ

,   

A

N

=

σ

, 

( )

( )

( )

( )

T

z

EA

z

N

T

E

z

z

z

z

∆

⋅

+

=

∆

⋅

+

=

α

α

σ

ε

,  

T

EA

N

∆

⋅

+

=

α

ε

, 

( )

( )

dz

0

0

∫

∫













∆

⋅

+

=

⋅

=

∆

z

z

z

T

z

EA

z

N

dz

z

α

ε

, 

T

z

z

EA

N

z

∆

⋅

⋅

+

⋅

=

∆

α

, 

( )

( )

dz

0

0

∫

∫













∆

⋅

+

=

⋅

=

∆

l

l

z

T

z

EA

z

N

dz

l

α

ε

.(17)  

T

l

l

EA

N

l

∆

⋅

⋅

+

⋅

=

∆

α

.        (18) 

Осим

температурских

разлика

, 

подужно

напрезање

штапа

могу

да

изазову

и

запреминске

силе

као

што

су

: 

- 

СОПСТВЕНА

ТЕЖИНА

 (

вертикални

штап

) 

и

- 

ЦЕНТРИФУГАЛНА

СИЛА

. 

Утицај

сопствене

тежине

и

центрифугалне

силе

је

детаљно

разматран

у

уџбенику

.