Vežbe 1 MOMENTI INERCIJE RAVNIH POVRŠINA
| 1
Zadatak 1.
Za datu sliku, a=1cm, odrediti moment inercije i glavne
momente inercije kao
i poluprečnike elipse inercije:
1.
Korišćenjem težišnih momenata inercije za delove
slike
2.
Korišćenjem ivičnih momenata inercije za delove
slike
Rešenje:
Za datu sliku odabrati koordinatni sistem u kome treba
odrediti težište ravne površine
Za odabranu ose x i y
?
1
= 4? ∙ ? = 4?
2
= 4??
2
, ?
1
?,
?
2
= 0,0.5
?
2
= ? ∙ 2? = 2?
2
= 2??
2
, ?
1
?, −? = 0, −1
? = ? = ?
1
+ ?
2
= 4?
2
+ 2?
2
= 6?
2
= 6 ??
2
?
?
= ?
?
∙ ?
?
= ?
1
∙ ?
1
+ ?
2
∙ ?
2
= 4? ∙
?
2
+ 2? ∙ −? = 0
?
?
= ?
?
∙ ?
?
= ?
1
∙ ?
1
+ ?
2
∙ ?
2
= 4? ∙ 0 + 2? ∙ 0 = 0
?
?
=
?
?
?
= 0; ?
?
=
?
?
?
= 0;
Iz tablica izvaditi podatke
za odvojene poznate površine:
?
?1
=
?ℎ
3
12
=
4?∙?
3
12
=
4?
4
12
= 0.333??
4
?
?
=
?
3
ℎ
12
=
64?
3
∙?
12
=
64?
4
12
=
16?
4
3
= 5.333??
4
?
?1?
= 0
Za ivičnu osu ako postoji u tablicama
?
?01
=
?ℎ
3
3
=
4?∙?
3
3
=
4?
4
3
= 1.3333??
4
i
?
??01
= 0
?
?2
=
?ℎ
3
12
=
?∙8?
3
12
=
8?
4
12
=
2?
4
3
= 0.666??
4
?
?2
=
?
3
ℎ
12
=
?
3
∙2?
12
=
2?
4
12
=
?
4
6
= 0.1666??
4
?
?2?
= 0
Za ivičnu osu ako ima u tablicama
?
?02
=
?ℎ
3
3
=
?∙8?
3
3
=
8?
4
3
= 2.666??
4
i
?
?? 02
= 0
)
)
Vežbe 1 MOMENTI INERCIJE RAVNIH POVRŠINA
| 2
1.
Korišćenjem težišnih momenata inercije za delove slike
?
?
= ?
?1
+ ?
1
2
∙ ?
1
+ ?
?2
+ ?
2
2
?
2
=
?
4
3
+
?
2
2
∙ 4?
2
+
2?
4
3
+ ?
2
∙ 2?
2
= 4?
4
= 4??
4
?
?
= 0.3333 + 0.5
2
∙ 4 + 0.6666 + 1 ∙ 2 = 3.9999 ??
4
Y osa je ujedno i težišna osa za obe slike pa nema položajnih momenata i u oba slučaja je:
?
?
= ?
?1
+ ?
?2
=
16?
4
3
+
1?
4
6
=
33
6
?
4
=
11
2
?
4
= 5.3333 + 0.1666 = 5,5 ??
4
Za centrifugalni moment inercije pošto je y osa osa simetrije je jednak 0
?
??
= 0
2.
Korišćenjem težišnih ivičnih momenata inercije za delove slike
?
?
= ?
?01
+ ?
?02
= 1.333 + 2.666 = 3.999 ??
2
?
?
= ?
?01
+ ?
?02
=
4?
4
3
+
8?
4
3
= 4?
4
= 4 ??
2
Centrifugalni moment inercije
?
??
= ?
?? 01
+ ?
?? 02
= 0
Kako je osa y osa simetrijeposmatranih površina ose x i y su glavne težišne ose pa su i
momenti veći je I1 a manji I2, odnosno osa x osa (1) a osa y osa (2).
Poluprečnici elipse inercije su:
?
1
=
?
1
?
=
?
?
?
=
11
2
?
4
6?
2
= 0.9166?
2
= 0.9574? = 0.9574 ??
?
2
=
?
2
?
=
?
?
?
=
4?
4
6?
2
= 0.6666?
2
= 0.81649? = 0.81649 ??
Elipsa inercije zauzima oko jedne trećine površine
Elipsa inercije ne sme da izađe iz preseka
Vežbe 1 MOMENTI INERCIJE RAVNIH POVRŠINA
| 4
?
?
= ?
?1
+ 2 ?
?2
+ ?
2
2
∙ ?
2
− ?
?3
= 341.33 + 2 1.777 + 4.666
2
∙ 8 − 36 = 657.33??
2
?
?
=
4?
4
12
+ 2
4?∙?
3
36
+ 2? +
?
3
2 4?∙?
2
−
? 3?
3
12
?
?
=
64?
4
3
+ 22?
4
−
9?
4
4
=
493
12
?
4
= 657.333??
4
?
?
= ?
?1
+ 2?
?2
− ?
?3
= 341.333 + 2 ∙ 21.333 − 4 = 379.999 ??
4
?
?
=
4?
4
12
+ 2 2
?∙ 2?
3
12
−
3?∙?
3
12
=
64?
4
3
+
8?
4
3
−
1?
4
4
?
?
=
285?
4
12
=
95?
4
4
= 380??
4
?
??
= 0
?
?
= ?
1
; ?
?
= ?
2
?
1
=
?
1
?
=
?
?
?
=
492
12
?
4
17?
2
= 2.411?
2
= 1.553 ? = 3.11 ??
?
2
=
?
2
?
=
?
?
?
=
95?4
4
17?
2
= 1.397?
2
= 1.182? = 2.36 ??
)
]
]
Vežbe 1 MOMENTI INERCIJE RAVNIH POVRŠINA
| 5
Zadatak 3.
Za datu sliku, R=4cm, odrediti moment inercije i glavne momente inercije kao
i poluprečnike
elipse inercije.
?
1
= 4? ∙ 2? = 8?
2
= 128??
2
, ?
1
0,0
?
2
=
?
2
?
2
= 25.133??
2
, ?
2
2? −
4?
3?
; 0 = 1.575?; 0 = 6.302; 0
?
3
=
2?∙?
2
= ?
2
= 16 ??
2
, ?
3
0;
2?
3
= 0; 0.666? = 0; 2.666
? = ? = ?
1
− 2?
2
− ?
3
= 8?
2
− 2
?
2
?
2
− ?
2
= 7 − ? ?
2
= 61.735 ??
2
?
?
= ?
?
∙ ?
?
= ?
1
∙ ?
1
− 2?
2
∙ ?
2
− ?
3
∙ ?
3
= 8?
2
∙ 0 − 2
?
2
?
2
∙ 0 − ?
2 2?
3
= −
2?
3
3
= −42.666??
2
?
?
=
?
?
?
=
−
2?3
3
7−? ?
2
=
−2?
3
3 7−? ?
2
=
−2?
3 7−?
= −0.691??
?
?1
=
4? 2?
3
12
=
32?
4
12
=
32∙4
4
12
= 682.66??
4
?
?1
=
2? 4?
3
12
=
128 ?
4
12
=
32∙4
4
3
= 2730.66??
4
?
?? 1
= 0
)
Vežbe 1 MOMENTI INERCIJE RAVNIH POVRŠINA
|
7
Zadatak 5.
Za datu sliku, R=4cm, odrediti moment inercije i glavne momente inercije kao
i poluprečnike
elipse inercije.
?
1
=
2?
2
?
2
= 2?
2
? = 2 ∙ 4
2
? = 32? = 100.53 ??
2
?
1
0,
4∙2?
3?
= 0; 3.395
?
2
=
?
2
?
2
= 25.133??
2
, ?
2
−?;
4?
3?
= −4; 1.697
?
3
=
?
2
?
2
= 25.133??
2
, ?
2
?; −
4?
3?
= 4; −1.697
? = ? = ?
1
− ?
2
+ ?
3
= 2?
2
? −
?
2
?
2
+ −
?
2
?
2
= 2?
2
? = 100.53??
2
?
?
= ?
?
∙ ?
?
= ?
1
∙ ?
1
− ?
2
∙ ?
2
+ ?
3
∙ ?
3
= 2?
2
? ∙
4∙2?
3?
−
?
2
?
2
∙
4∙2?
3?
+
?
2
?
2
∙ −
4∙2?
3?
?
?
=
16?
3
3
−
4?
3
3
= 4?
3
= 256 ??
3
?
?
= ?
?
∙ ?
?
= ?
1
∙ ?
1
− ?
2
∙ ?
2
+ ?
3
∙ ?
3
= 2?
2
? ∙ 0 −
?
2
?
2
∙ −? +
?
2
?
2
∙ ? = ?
3
?
?
?
= ?
3
? = 256? = 804.247??
3
?
?
=
?
?
?
=
?
3
?
2?
2
?
=
?
2
=
4
2
= 2??
2
?
?
=
?
?
?
=
4?
3
2?
2
?
=
256
100.53
= 2.546??
2
?
1
=
4∙2?
3?
=
8?
3?
=
8∙4
3?
= 3.395
?
?1
=
2?
4
?
8
=
8
4
?
8
=
4096 ?
8
= 512? = 1608.49 ??
4
?
?1
= 2?
4 ?
8
−
8
9?
= 8
4 ?
8
−
8
9?
= 449.74 ??
4
?
?
=
2?
4
?
8
=
8
4
?
8
=
4096 ?
8
= 512? = 1608.49 ??
4
?
?1?1
= 0
)
(
( ) ( )
