Parcijalne diferencijalne jednaˇ
cine
Izrada i ˇ
stampanje ovog priruˇ
cnika je deo aktivnosti na
TEMPUS CD JEP 17017-2002
“Mathematics Curricula for Technological Development”
koji funansira EU
Univerzitet u Novom Sadu
Prirodno-matematiˇ
cki fakultet
Departman za matematiku i informatiku
Novi Sad 2004
Marko Nedeljkov
Ova skripta pokriva deo gradiva iz predmeta parcijalne diferencijalne
jednaˇcine za studente matematike.
Predznanje koje se oˇcekuje od ˇcitalaca je linearna algebra, matema-
tiˇcka analiza u
R
n
, obiˇcne diferencijalne jednaˇcine i preskoˇceni delovi
standardnog kursa iz PDJ:
- Klasifikacija sistema i jednaˇcina
- Karakteristiˇcne mnogostrukosti
- Klasiˇcni metodi za reˇsavanje talasne jednaˇcine
- Integral energije
- Princip maksimuma za paraboliˇcne i eliptiˇcne jednaˇcine
- Elementarne metode reˇsavanja paraboliˇcnih i eliptiˇcnih PDJ
- Furijeova metoda razdvajanja promenljivih
U prvom delu skripte su ˇsto je viˇse mogu´ce na elementarniji naˇcin
opisani pojmovi slabog reˇsenja, distribucija, kao i razni primeri njihove
primene.
U drugom delu su dati razliˇciti delovi jednostavnije teorije nelinearni
PDJ, sa naglaskom na hiperboliˇcne sisteme PDJ prvog reda i sisteme
zakone odrˇzanja.
Na kraju ovog dela su date dve sistemske mogu´cnosti za rad sa
nelinearnim PDJ.
GLAVA 1
Linearne parcijalne diferencijalne jednaˇ
cine
1. Uvodni pojmovi i definicije
1.1. Klasiˇ
cni prostori funkcija.
1.1.1.
Prostori diferencijabilnih funkcija.
Oznaˇcimo sa Ω
⊂
R
n
ot-
voren skup, sa Ω njegovo zatvorenje, a sa
∂
Ω njegovu granicu.
C
k
(Ω) je skup svih funkcija
u
: Ω
→
R
(ili
C
, ˇsto kasnije ne´cemo
oznaˇcavati) koja ima sve neprekidne izvode zakljuˇcno sa redom 0
≤
k
≤ ∞
.
C
k
(Ω) je skup svih funkcija
u
∈ C
k
(Ω) za koje postoji funkcija
φ
∈ C
k
(Ω
′
),
u
≡
φ
na Ω
⊂
Ω
′
, Ω
′
je otvoren skup.
C
k
b
(Ω) je skup svih ograniˇcenih funkcija, zajedno sa svim svojim
izvodima, iz
C
k
(Ω).
Vaˇzi:
C
k
(
R
n
)
|
Ω
⊂ C
k
(Ω)
⊂ C
k
(Ω)
.
Ako je Ω ograniˇcen skup, tada je
C
k
(Ω)
⊂ C
k
b
(Ω).
Oznaˇcimo sa supp
u
,
u
: Ω
→
R
, kao komplement najve´ceg otvorenog
skupa Ω
′
na kom je
u
identiˇcki jednako nuli. Skup supp
u
zovemo
nosaˇcem funkcije
u
. Kako je Ω
⊂
R
n
,
supp
u
=
{
x
∈
Ω :
u
(
x
)
6
= 0
}
.
Oznaka
A
⊂⊂
B
znaˇci da postoji kompaktan skup
K
, takav da vaˇzi
A
⊂
K
⊂
B
.
C
k
0
(Ω) =
{
u
∈ C
k
(Ω) : supp
u
⊂⊂
Ω
}
.
Skup
C
∞
0
(Ω) ´cemo zvati prostor test funkcija.
1.1.2.
L
p
-prostori.
Kaˇzemo da je
A
⊂
Ω
⊂
R
n
Lebegove mere nula,
u oznaci
L
(
A
) = 0, ako za svako
ε >
0 postoji prebrojiva unija
C
i
paralelopipeda u
R
n
takva da je
mes
∞
[
i
=1
C
i
< ε
(mera paralelopipeda je proizvod njegovih stranica)
.
Na primer, prebrojiv skup taˇcaka je Lebegove mere nula u jedno-
dimenzionalnom sluˇcaju, regularne krive su mere nula u dvodimen-
zionalnom sluˇcaju,...
1
1. UVODNI POJMOVI I DEFINICIJE
3
ˇ
Cesto ´cemo koristiti Helderovu nejednakost:
Z
Ω
|
u
(
x
)
v
(
x
)
|
d
x
≤ k
u
k
L
p
k
v
k
L
q
, u
∈
L
p
(Ω)
, v
∈
L
q
(Ω)
,
1
p
+
1
q
= 1
.
(2)
Specijalan sluˇcaj ove nejednakosti,
p
=
q
= 2 se zove ˇ
Svarcova nejednakost.
Posledice Helderove nejednakosti:
1.
mes(Ω)
−
1
/p
k
u
k
L
p
≤
mes(Ω)
−
1
/q
k
u
k
L
q
, u
∈
L
q
(Ω)
, p
≤
q.
2.
k
u
k
L
q
≤ k
u
k
λ
L
p
k
u
k
1
−
λ
L
r
, u
∈
L
r
(Ω)
, p
≤
q
≤
r,
1
q
=
λ
p
+
1
−
λ
r
.
3.
Z
Ω
u
1
...u
m
d
x
≤ k
u
k
L
p
1
...
k
u
k
L
pm
,
u
i
∈
L
p
i
(Ω)
, i
= 1
, ..., m,
1
p
1
+
...
+
1
p
m
= 1
.
1.2. Slabi izvodi i slaba reˇ
senja.
1.2.1.
Slabi izvodi.
Uvedimo oznaku
|
α
|
=
α
1
+
...
+
α
n
za multi-
indeks
α
= (
α
1
, ..., α
n
)
∈
N
n
0
. Koristi´cemo oznaku
∂
α
f
(
x
) =
∂
|
α
|
∂
α
1
x
1
...∂
α
n
x
n
.
Ako je
α
i
= 0 za neko
i
, to znaˇci da nemamo izvoda po promenljivoj
x
i
.
Definicija
1
.
Funkcija
f
∈
L
1
loc
(Ω) ima slabi izvod reda
α
,
|
α
| ≤
m
, koji ´cemo opet oznaˇcavati sa
∂
α
f
, ako postoji funkcija
g
∈
L
1
loc
(Ω)
takva da za svako
φ
∈ C
∞
0
(Ω) vaˇzi
Z
Ω
f
(
x
)
∂
α
φ
(
x
)d
x
= (
−
1)
|
α
|
Z
Ω
g
(
x
)
φ
(
x
)d
x.
Funkciju
g
´cemo zvati slabim izvodom reda
α
od
f
.
Sada ´cemo probati pomo´cu jednostavnih primera pokazati ˇsta su to
u stvari slabi izvodi.
Primer
1
.
Uzmimo Ω =
R
i
f
(
x
) =
|
x
|
. Ova funkcija nije diferen-
cijabilna u nuli, ali ´cemo pokazati da postoji njen prvi izvod.
