Parcijalni izvodi i totalni diferencijal
funkcija vixe promenljivih
1.
Parcijalni izvodi prvog reda FVP
2.
Diferencijabilnost FVP
3.
Diferencijal FVP
4.
Parcijalni izvodi vixeg reda FVP
5.
Diferencijali vixeg reda FVP
2
f
0
y
(
x, y
) =
z
0
y
(
x, y
) = lim
∆
y
→
0
∆
y
f
(
x, y
)
∆
y
= lim
∆
y
→
0
f
(
x, y
+ ∆
y
)
−
f
(
x, y
)
∆
y
.
Iz definicije sledi da je parcijalni izvod FVP po promen ivoj
x
i
ust-
vari izvod funkcije jedne promen ive (
x
i
), pri qemu su ostale nezavisne
promen ive fiksirane. To znaqi da za praktiqno nalaee parcijalnih
izvoda mogu da se koriste sva pravila obiqnog izvoda (funkcije jedne pro-
men ive).
Postojae parcijalnih izvoda u nekoj taqki ne obezbeuje neprekidnost
funkcije u toj taqki (xto je i i oqekivano jer se za parcijalne izvode ne
razmatraju sve taqke iz okoline). Na primer, funkcija
f
(
x, y
) =
(
xy
x
2
+
y
2
,
(
x, y
)
6
= (0
,
0)
0
,
(
x, y
) = (0
,
0)
ima parcijalne izvode u
(0
,
0)
,
f
0
x
(0
,
0) = lim
∆
x
→
0
f
(∆
x,
0)
−
f
(0
,
0)
∆
x
= lim
∆
x
→
0
0
∆
x
= 0
,
f
0
y
(0
,
0) = lim
∆
y
→
0
f
(0
,
∆
y
)
−
f
(0
,
0)
∆
y
= lim
∆
y
→
0
0
∆
y
= 0
,
a nije neprekidna u
(0
,
0)
.
Geometrijska interpretacija
Za
n
= 2
i
f
: (
x, y
)
7→
z
postoji jasna geometrijska interpretacija
parcijalnih izvoda
f
0
x
i
f
0
y
u taqki
(
a, b
)
. Ako je
ϕ
(
x
) =
f
(
x, b
)
, tada se
grafik funkcije
ϕ
(kriva
C
) dobija u preseku grafika funkcije
f
(neka
povrx) i ravni
y
=
b
.
Kako je
f
0
x
(
a, b
) =
ϕ
0
(
a
)
, to znaqi da
f
0
x
(
a, b
)
odreuje poloaj tangente
krive
C
u taqki
x
=
a
, odnosno u taqki
(
a, b, f
(
a, b
))
povrxi (grafika fun-
kcije
f
).
Sliqno vai i za
f
0
y
(
a, b
)
.
4
2 Diferencijabilnost FVP
Definicija
Neka je
X
⊂
R
n
otvoren skup,
f
:
X
→
R
,
x
∈
X
i neka je
∆
x
= (∆
x
1
. . .
∆
x
n
)
T
vektor priraxtaja nezavisnih promen ivih takav da
x
+ ∆
x
∈
X
.
Definicija 3
Totalni priraxtaj
∆
f
(
x
)
fukcije
f
u taqki
x
, generisan pri-
raxtajem
∆
x
, je razlika funkcije
f
u taqkama
x
+ ∆
x
i
x
.
Dakle,
∆
f
(
x
) =
f
(
x
+ ∆
x
)
−
f
(
x
)
.
Definicija 4
Funkcija
f
je
1.
diferencijabilna u taqki
x
ako je
∆
f
(
x
) =
A
1
∆
x
1
+
A
2
∆
x
2
+
· · ·
+
A
n
∆
x
n
+
o
(
|
∆
x
|
)
,
∆
x
→
0
,
gde su
A
1
, . . . , A
n
realne kontante.
2.
diferencijabilna na
X
ako je diferencijabilna u svakoj taqki skupa
X
.
Za
n
= 2
funkcija
f
: (
x, y
)
7→
z
je diferencijabilna u taqki
(
x, y
)
ako je
∆
f
(
x, y
) =
A
∆
x
+
B
∆
y
+
o
p
∆
x
2
+ ∆
y
2
,
(∆
x,
∆
y
)
→
(0
,
0)
za
A, B
∈
R
. Ako je
p
∆
x
2
+ ∆
y
2
=
ρ
, uslov diferencijabilnosti je
∆
f
(
x, y
) =
A
∆
x
+
B
∆
y
+
o
(
ρ
)
,
ρ
→
0
.
Neophodni uslovi deferencijabilnosti
Neka je data funkcija
f
:
X
→
R
, gde je
X
⊂
R
n
otvoren skup.
5
