2
Ovaj deo praktikuma posvećen je rekapitulaciji gradiva iz nekih
oblasti planimetrije koje je
neophodno za rešavanje, pre svega,
prostornih i metričkih zadataka iz konstruktivne geometrije i
grafike. T
akođe je poznavanje planimetrije značajno za ispravno oblikovno i
dimenziono
definisanje (posebno za razumevanje uvrednjavanja – “kotiranja
”) različitih mašinskih delova
,
koje se predaje na kursevima inženjerske grafike
i tehničko
g crtanja. Osim toga, izložene
definicije, teoreme i geometrijske konstrukcije mogu da budu korisna pomoć i prilikom
savladavanja gradiva iz nekih drugih predmeta i kurseva koji se predaju na Mašinskom fakultetu
u Beogradu, svuda tamo gde se planimetrija koristi i gde se podrazumev
a da je već savladana i
usvojena.
Posebno naglašavamo da crtanje i skiciranje, koji se
tako često koriste
u svim oblastima
mašinstva, ne mogu biti sprovedeni korektno, ukoliko se ne poznaju i ne koriste bar elementarne
planimetrijske konstrukcije. Jer, ka
o što se ne može ništa napisati ispravno i smisleno čak ni na
maternjem jeziku bez poznavanja normativne gramatke tog maternjeg jezika, tako se ne može ni
grafički i vizuelno sporazumevati bez znanja planimetrije
– nezavisno da li se crta slobodnom
rukom i
li pomoću neke kompjuterske aplikacije.
Zato se savetuje svim student
ima da prouče i
zapamte
gradivo iz ovog dodatka postojećem praktikumu, a posebno onim
a koji su planimetriju
zaboravili ili je nikada
nisu ni učili
u osnovnoj ili srednjoj školi.
U ovom do
datku praktikuma izabrana su i obrađena sledeća poglavlja iz planimetrije:
0.
Upotreba trougaonih lenjira za crtanje
1.
Značajne tačke u trouglu
2.
Podudarnost i sličnost trouglova
3.
Simetrala duži i ugla; podela duži na jednake delove; konstrukcije nekih uglova
4.
Konstrukcije nekih pravilnih poligona
5.
Pitagorina teorema
6.
Neki stavovi o kružnici
7.
Približne rektifikacije kružnice i kružnog luka
8.
Konstrukcije elipse
4
1.
ČETIRI ZNAČAJNE TAČKE TROUGLA
Za svaki trougao definisane su sledeće četiri značajne tačke:
centar opisane kružnice, centar
upisane kružnice, ortocentar i težište.
Napomena: Težište trougla je invarijanta paralelnog projektovanja – proji
ciranja. To znači da se,
paralelnim projektovanjem, težište trougla projicira u težište projekcije tog trougla. Nasuprot
ovoj činjenici,
centar opisane i centar upisane kružnice, kao i ortocentar trougla nisu invarijante
projiciranja (projektovanja) trougl
a. Drugim rečima, ni centar opisane, niti centar upisane
kružnice, kao ni ortocentar trougla neće se projektovati
- projicirati (ni centralnim, ni paralelnim
projektovanjem) u, redom, centar opisane, centar upisane kružnice i ortocentar projekcije
trougla.
1.
Centar opisane kružnice
Centar
O
opisane kružnice oko trougla
∆
ABC
(Sl. D1-1) je centar one kružnice koja sadrži sva tri
temena datog trougla. Zato se centar
O
opisane kružnice oko trougla
∆
ABC
konstruiše kao
presek simetrala
s
1
, s
2
i
s
3
stranica
AB
,
BC
i
CA
datog trougla
ABC
.
(
??
1
∩ ??
2
=
??
;
??
1
∩ ??
3
=
??
;
??
2
∩ ??
3
=
??
,
????
=
????
=
????
=
??
),
r
–
poluprečnik opisane
kružnice
2.
Centar upisane kružnice
Centar
U
kružnice upisane u trougao
∆
ABC
(Sl. D1-2) je centar one kružnice koja dodiruje
(tangira) sve tri stranice datog trougla. Zato se centar
U
kružnice koja je upisana u trougao
∆
ABC
konstruiše kao presek simetrala
s
1
, s
2
i
s
3
uglova
2α
,
2β
i
2γ
u temenima datog trougla
∆
ABC
.
(
??
1
∩ ??
2
=
??
,
??
1
∩ ??
3
=
??
,
??
2
∩ ??
3
=
??
,
????
1
=
????
2
=
????
3
=
??
),
r
–
poluprečnik upisane
kružnice
Slika D1-1
Centar opisane kružnice trougla
Slika D1-2
Centar upisane kružnice trougla
A
B
C
O
s
1
s
2
s
3
r
r
r
α
α
γ γ
β
β
A
B
C
U
s
2
s
1
r
s
3
N
2
N
1
N
3
5
3.
Ortocentar
Ortocentar
R
trougla
∆
ABC
(Sl. D1-3) je presek visina
h
1
=CH
1
, h
2
=AH
2
i
h
3
=BH
3
datog trougla.
Visina trougla sadrži jedno njegovo teme i ortogonalna je na, datom temenu, suprotnu stranicu.
(
ℎ
1
∩ ℎ
2
=
??
,
ℎ
1
∩ ℎ
3
=
??
,
ℎ
2
∩ ℎ
3
=
??
)
4.
Težište
Težište
T
trougla
∆
ABC
(Sl. D1-4) je presek težišnih duži
t
1
, t
2
i
t
3
datog trougla. Težišna duž
trougla sadrži jedno njegovo teme i središte, datom temenu, suprotne stranice. Težište deli
težišnu duš u odnosu
2:1
. (
??
1
∩ ??
2
=
??
,
??
1
∩ ??
3
=
??
,
??
2
∩ ??
3
=
??
,
????
= 2
????
1
,
????
= 2
????
2
,
????
=
2
????
3
)
Slika D1-3
Ortocentar trougla
Slika D1-4
Težište trougla
Konstruktivna svojstva ortocentra mogu da se iskoriste za
definisanje prave kroz tzv. “nedostižnu tačku” (slika D1
-5).
Ovaj problem se, inače, često pojavljuje u praksi.
Ako je
prava
m
zadat
a tačkama
R
i
C
, od kojih je
C
veoma
udaljena prese
čna tačka datih pravih
a
i
b
, ili ove prave
obrazuju veoma mali presečni ugao
(u
oba slučaja tačka
C
je “nedostižna” –
fizički ili konstruktivno
), tražena prava
m
može se definisati i konstruisati na
sledeći način.
Kroz
za
datu tačku
R
uočavaju se prave
h
1
i
h
2
, tako da je
h
1
⊥
a
,
h
2
⊥
b
. Prave
h
1
i
h
2
seku prave
a
i
b
u sledećim
tačkama:
ℎ
1
∩ ??
=
??
1
,
ℎ
1
∩ ??
=
??
,
ℎ
2
∩ ??
=
??
,
ℎ
2
∩ ??
=
??
2
.Tako je formiran trougao
∆
ABC
u kome su
BH
1
i
BH
2
njegove visine
, a tačka
R
je ortocentar ovog trougla. Kao
što je prikazano na slici D1-5, tražena prava
m,
koja sadrži
tačku
R
, a ortogonalna je na stranicu
AB
(
m
⊥
AB
)
sadržaće
teme
C (m=MC),
kao pravac treće visine
trougla
∆
ABC.
Time je rešen konstruktivno -
grafički
problem “nedostižne
tačke”
.
Slika D1-5
Prava kroz tzv.
“nedostižnu tačku”
A
B
C
R
h
1
h
2
h
3
H
1
H
2
H
3
A
B
C
T
S
S
S
3
2
1
t
t
t
1
3
2
C
C
A
B
b
a
m
R
C
h
1
h
2
H
1
H
2
M
