Predgovor
U ovom radu prouˇ
cavan je Poasonov proces kao jedan od vaˇ
znijih sto-
hastiˇ
ckih procesa. Motivacija za izuˇ
cavanje ove teme leˇ
zi u znaˇ
cajnoj ulozi
ovih procesa u modeliranju raznih pojava sluˇ
cajnog karaktera. U radu je
najpre detaljno prouˇ
cavan homogeni Poasonov proces ˇ
cija primena je ilus-
trovana na primeru telegrafskog signala. Pored homogenog Poasonovog pro-
cesa izuˇ
cavani su i nehomogeni Poasonov proces, sloˇ
zeni Poasonov proces,
dvostruko - stohastiˇ
cki Poasonov proces i filtrirani Poasonov proces. Posebno
su prouˇ
cavani i takozvani procesi obnavljanja.
Zahvalila bih se svom mentoru, dr Danijeli Rajter - ´
Ciri´
c, na nesebiˇ
cnoj
pomo´
ci i podrˇsci pruˇ
zenoj onda kada mi je bila najpotrebnija. Takod¯e joj
se zahvaljujem na korisnim savetima upu´
cenim u toku izrade ovog rada. Za-
hvalila bih i svima onima koji su mi, na bilo koji naˇ
cin, pruˇ
zili pomo´
c i
podrˇsku, prvenstveno svojoj porodici i prijateljima Sandri, Tamari, Senadi i
Feliksu. Posebnu zahvalnost dugujem i Smuk Aleksandru.
Glava 1
Uvodni pojmovi
1.1
Stohastiˇ
cki procesi
Definicija stohastiˇ
ckog procesa
Zamislimo da se u svakom vremenskom trenutku
t
∈
T
, gde je
T
⊂
R
, pos-
matra neka karakteristika
X
sistema koja je sluˇ
cajnog karaktera. Tada je
X
(
t
) neka sluˇ
cajna promenljiva, za svako
t
. Zato na skup svih sluˇ
cajnih
promenljivih
{
X
(
t
)
}
t
∈
T
moˇ
zemo gledati kao na sluˇ
cajnu veliˇ
cinu koja se
menja u vremenu, odnosno dobijamo jednu sluˇ
cajnu funkciju vremena. U
tom sluˇ
caju familiju
{
X
(
t
)
}
t
∈
I
zovemo
stohastiˇ
cki (sluˇ
cajni) proces
.
Definicija 1.1.1
Stohastiˇ
cki (sluˇ
cajni) proces
{
X
(
t
)
, t
∈
T
}
=
{
X
(
t
)
}
t
∈
T
je familija sluˇ
cajnih promenljivih definisanih na istom prostoru verovatno´
ca
(Ω
,
F
, P
)
. Skup
T
zovemo parametarski skup, a realni prostor
R
d
skup stanja
procesa
(
X
: Ω
→
R
d
)
.
Ako je parametarski skup
T
prebrojiv govorimo o nizu, lancu sluˇ
cajnih
promenljivih. Specijalno, ako je
T
konaˇ
can, tada imamo konaˇ
cno mnogo
sluˇ
cajnih promenljivih.
Sluˇ
cajni proces
{
X
(
t
)
}
t
∈
T
=
{
X
(
t, ω
)
}
t
∈
T
je, zapravo, funkcija dva parame-
tra,
t
i
ω
. Koristi´
cemo kra´
ci zapis
{
X
(
t
)
}
t
∈
T
.
Ukoliko fiksiramo
ω
∈
Ω , dobijamo realnu funkciju definisanu na skupu
T
koja se zove trajektorija (realizacija) stohastiˇ
ckog procesa
X
(
t
).
Ukoliko fiksiramo
t
∈
T
dobijamo jednu sluˇ
cajnu promenljivu koja se zove
zasek ili seˇ
cenje u trenutku
t
. Ta sluˇ
cajna promenljiva ima svoju funkciju
raspodele
F
1
(
t, x
) =
P
{
X
(
t
)
< x
}
,
