Podudarnost trouglova

SADRŽAJ 

TEORIJSKI UVOD.........................................................................................................................................................3

PODUDARNOSTI DUŽI I UGLOVA.................................................................................................................................4

PODUDARNOST TROUGLOVA.....................................................................................................................................6

PRIMJENE PODUDARNOSTI TROUGLOVA....................................................................................................................8

PRIMJERI...................................................................................................................................................................10
LITERATURA..............................................................................................................................................................13

EVROPSKI UNIVERZITET BRČKO 

DISTRIKT

PEDAGOŠKI FAKULTET 

STUDIJSKI PROGRAM

MATEMATIKA I FIZIKA

PREDMET

GEOMETRIJA

„PODUDARNOST TROUGLOVA”

(SEMINARSKI RAD)

PROFESOR

Prof. dr Sead Rešić

STUDENT

Dajana Ostojić

BR. INDEXA:  

017/17- MIF

Brčko, januar 2018. godine

Podudarnost  trouglova

 Seminarski rad

                      Dajana Ostojić 017/17-MIF

2

TEORIJSKI UVOD

U   ovom   radu  

E

3  

označava  model   Euklidske   geometrije,   tj.   prostor   koji   zadovo

lj

ava   aksiome 

pripadnosti, rasporeda, podudarnosti, neprekidnosti i Plejferovu aksiomu paralelnosti. Takođe,  

E

2 

obilježava Euklidsku ravan i 

E

1 

Euklidsku pravu. Osnovne relacije u Euklidskom prostoru su, pored 

pripadnosti, tročlana relacija rasporeda 

β 

i četvoročlana relacija podudarnosti koju interpretiramo 

kao podudarnost parova tačaka (

A,B

)   (

C,D

).

Geometrijska figura je bilo koji neprazan podskup prostora. Zanim

lj

ive geometrijske figure su 

ravni, prave, poluprave, duži, uglovi, poligoni, trouglovi ... Intuitivno, dvije figure su podudarne 
ako   ih   nekim   kreta

nj

em   možemo   dovesti   do   poklapa

nj

a.   U   skladu   sa   tim,   navodimo   sledeću 

definiciju kreta

nj

a:

Definicija 1. 

Preslikava

nj

e 

σ 

: 

E

n  

→ 

E

n

, n 

€

 {1

,

2

,

3}, koje je bijekcija i koje svake dve tačke 

A 

i 

B 

prostora 

E

n 

preslikava u tačke 

A

′  

i 

B

′  

takve da je (

A,B

)   (

A

′

,B

′

) naziva se izometrijskom transformacijom ili 

izometrijom prostora 

E

n

.

Dakle, možemo govoriti o izometrijskim transformacijama prave, ravni i prostora. Na primjer, neke 
od   izometrijskih   transformacija   ravni   su   osna   simetrija,   rotacija   i   translacija.   Naime,   pojmovi 
podudarnosti duži, uglova i figura uopšte definišu se pomoću opšteg pojma izometrije.

Definicija 2. 

Dvije figure Φ

1 

i Φ

2 

su podudarne, u oznaci Φ

1 

 Φ

2

, ako postoji izometrija 

σ 

koja preslikava Φ

1 

u 

Φ

2

, tj. važi  

σ

(Φ

1

) = Φ

2

.

Primjer izometrije je identičko preslikava

nj

e 

ε 

: 

E

n 

→ 

E

n 

koje svaku tačku 

A 

preslikava u 

nj

u samu, 

tj. važi 

ε

(

A

) =  

A

. Ovo preslikava

nj

e naziva se koincidencijom. Narednim teoremama su data dva 

važna svojstva izometrija.

Teorema 1.3. 

a) Koincidencija prostora 

E

n 

je izometrijska transformacija tog prostora.

b)

Kompozicija dvije izometrije prostora 

E

n 

je takođe izometrija.

c)

Ako je 

σ 

izometrija prostora 

E

n 

tada je i 

nj

ena inverzna transformacija izometrija prostora 

E

n

.

Teorema 1.4. 

Ako izometrija prostora 

E

n 

preslikava neke tri tačke 

A

, 

B 

i 

C 

u tačke 

A

′

, 

B

′ 

i 

C

′ 

i ako je 

β

(

A,B,C

) onda 

je 

β

(

A

′

,B

′

,C

′

).

Na osnovu prethodne teoreme, važi sledeće :

Posljedica 1. 

a) Izometrija preslikava kolinearne tačke u kolinearne tačke.

Podudarnost  trouglova

 Seminarski rad

                      Dajana Ostojić 017/17-MIF

4

Dva konveksna ili konkavna ugla  

pOq  

i  

p

′

O

′

q

′  

su podudarna ako i samo ako na kracima  

p,q,p

′

,q

′ 

redom postoje taqke 

P,Q,P

′ 

i 

Q

′ 

takve da je : (

P,O,Q

) 

(

P

′

,O

′

,Q

′

).

Takođe važi da su unakrsni uglovi podudarni.

Teorema 2.5. 

Za svaki ugao  

‹

pOq  

i svaku polupravu  

p

′  

sa vrhom  

S  

neke ravni postoji u poluravni određenoj 

pravom koja sadrži 

p

′ 

jedinstvena poluprava 

q

′ 

takva da je 

‹

pOq 

‹

p

′

Sq

′

.

Analogno definicijama središta duži, relacije  

<  

i zbira duži, koristeći podudarnost, uvode se i 

odgovarajući pojmovi za uglove: simetrala ugla, relacija 

< 

i zbir uglova.

Definicija 2.6. 

Poluprava  

s  

sa početnom tačkom  

O

, koja pripada uglu  

pOq  

i takva da je  

‹

pOs

‹

sOq  

naziva se 

bisektrisom

 ugla 

pOq

. Prava koja sadrži tu polupravu naziva se simetralom tog ugla. Ugao 

AOB 

je 

ma

nj

i od ugla 

CSD 

u oznaci 

‹

AOB <

‹

CSD 

ako unutar ugla 

CSD 

postoji poluprava 

SE 

takva da je 

‹

AOB 

∼

= 

‹

CSE

. Ugao 

pOq 

je zbir uglova 

aSb 

i 

a

′

S

′

b

′  

u oznaci 

pOq 

= 

aSb 

+ 

a

′

S

′

b

′  

ako u uglu 

pOq 

postoji poluprava 

r 

sa početnom tačkom 

O 

tako da je 

‹

pOr 

‹

aSb 

i 

‹

rOq 

‹

a

′

S

′

b

′

.

Definicija 2.7. 

Za konveksni ugao kaže se da je prav, oštar ili tup u zavisnosti od toga da li je on podudaran, ma

nj

i 

od, ili veći od svog naporednog ugla. Dva ugla su suplementni ako je 

nj

ihov zbir opružen ugao, a 

komplementni ako je 

nj

ihov zbir prav ugao.

Teorema 2.8. 

Pravi uglovi su međusobno podudarni. Ugao podudaran nekom pravom uglu je takođe prav ugao.

Definicija 2.9. 

Ako prave 

p 

i 

q 

sadrže redom krake 

OP 

i 

OQ 

nekog pravog ugla 

POQ

, tada kažemo da je prava 

p 

okomita 

(ili normalna) na pravoj 

q 

u oznaci 

p 

┴ 

q

.

Teorema 2.10.

 Za svaku pravu 

p 

i svaku tačku 

A 

neke ravni postoji jedinstvena prava 

n 

u toj ravni 

koja sadrži tačku 

A 

i okomita je pravoj 

p

.