PREDAVANJA IZ PRIMENJENE ANALIZE
Nenad Teofanov
Novi Sad, 2010. godine
Predgovor
Udˇzbenik je nastao na osnovu predavanja koja je autor drˇzao studen-
tima informatiˇckih smerova Prirodno-matematiˇckog fakulteta u Novom Sadu.
Obim je prilagoden jednosemestralnom kursu, a sadrˇzaj pokriva opˇsti uvodni
kurs primenjene analize i teorije Furijeovih redova i integrala. Stoga ´ce
udˇzbenik biti koristan svima koji ˇzele da se upoznaju sa ovom znaˇcajnom
oblaˇs´cu. Poglavlja oznaˇcena sa
?
mogu se izostaviti pri prvom ˇcitanju.
Zahvaljujem se recenzentima, dr Stevanu Pilipovi´cu, dr Arpadu Takaˇciju
i dr Sanji Konjik na korisnim sugestijama i dr Ljiljani Teofanov na paˇzljivom
ˇcitanju prvobitne verzije rukopisa. Posebnu zahvalnost dugujem dr Dra-
ganu Maˇsulovi´cu na pomo´ci pri tehniˇckoj obradi teksta. Na kraju, ali ne
i najmanje vaˇzno, zahvaljujem se studentima informatiˇckih smerova koji su
svojom aktivnoˇs´cu tokom nastave i spremnoˇs´cu da diskutuju o temama pri-
menjene analize pomogli da se uobliˇci sadrˇzaj udˇzbenika. Unapred se zah-
valjujem ˇcitaocima na komentarima koje mogu da dostave na e-mail adresu
[email protected].
Knjigu posve´cujem Ljiljani, Mariji, Katarini i Svetislavu.
U Novom Sadu,
2010. godine.
Nenad Teofanov
II
Trigonometrijski redovi Furijea
61
3 Razvoj u Furijeov red
63
3.1 Funkcije sa periodom 2
π
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Funkcije sa proizvoljnim periodom . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3 Kosinusni i sinusni redovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Primeri Furijeovih redova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4 Konvergencija Furijeovih redova
79
4.1 Dirihleova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2 Uniformna konvergencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3
?
Gibsova pojava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4 Parsevalova jednakost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.5
?
Diferenciranje i integraljenje Furijeovih redova . . . . . . . . . 105
III
Furijeova transformacija
111
5 Definicija i osnovna svojstva
113
5.1 Furijeova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2 Tablica Furijeovih transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.3 Inverzna Furijeova transfomacija . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.4 Planˇserelov identitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6
?
Dodatak
131
6.1 Poasonova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2 ˇSenonova teorema o uzorcima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.3 Princip neodredenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.4 Konvolucija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
