Prekrivanje figura manjim figurama
Damjan Milivojevi´
c
Zrenjaninska gimnazija
e-mail:
[email protected]
Saˇsa Mili´
c
JU Tehniˇ
cka ˇskola Brˇ
cko distrikt
e-mail:
[email protected]
29. maj, 2016
1
1
UVOD
U ovom radu su predstavljeni interesantni problemi koji se tiˇ
cu prekrivanja skupova
(tela) u ravni(prostoru) manjim figurama(telima) kao i reˇ
seni i otvoreni problemi iz ove
oblasti kombinatorne geometrije. Na samom poˇ
cetku ´
ce biti obrad¯ene neke osnovne
definicije, dok se neki termini podrazumevaju pa ne´
ce biti definisani, a glavnu temu
ˇ
cine dokazivanje i formulacija nekih poznatih problema iz ove oblasti i reˇ
savanje nekih
problema.
2
Osnovni pojmovi
Definicija 2.1
Neka je
F
podskup nekog metriˇ
ckog prostora sa metrikom
d
. Dijametar
skupa
F
je , u oznaci
diamF
je
sup
{
x, y
|
x, y
∈
F
}
ukoliko ovaj supremum postoji.
U radu ´
cemo se iskljuˇ
civo baviti Euklidskim prostorima
R
n
, a najviˇ
se ´
cemo se kon-
centrisati na
n
= 2 i
n
= 3.
Ukoliko je skup
F
zatvoren, moˇ
ze se pokazati da tada:
Definicija 2.2
Dijametar skupa
F
predstavlja najve´
cu udaljenost izmed¯u bilo koje dve
taˇ
cke na granici zatvorene figure.
Slika 1: Dve figure dijametra
AB
Definicija 2.3
Za skup
F
kaˇ
zemo da je konveksan skup ukoliko za svaki par taˇ
caka tog
skupa sadrˇ
zi i kompletnu duˇ
z koja ih povezuje.
Definicija 2.4
Za skup kaˇ
zemo da je ograniˇ
cen skup ako se sadrˇ
zi u nekoj kruˇ
znici(lopti).
Definicija 2.5
Homotetija sa centrom
O
i koeficijentom(faktorom)
k
je preslikavanje
ravni koje slika svaku taˇ
cku
X
u taˇ
cku
X
0
takvu da je
−−→
OX
0
=
k
·
−−→
OX
.
2
Definicija 3.1
Za ograniˇ
cen skup u ravni(prostoru)
a
(
F
)
predstavlja najmanji broj
figura(tela) ˇ
ciji je dijametar strogo manji od dijametra skupa
F
i kojima se moˇ
ze prekriti
figura(telo).
Disk je mogu´
ce podeliti na najmanje tri dela, kao ˇ
sto se vidi na slici ispod.
Slika 4: Prekrivanje diska figurama
Isto tako je i
a
(
F
) jednakostraniˇ
cnog trougla tri(dijametar trougla je njegova stran-
ica). Pored ovakvih figura, postoje i figure u ravni kod kojih je
F
(
a
) = 2, kao ˇ
sto su,
na primer, elipsa i paralelogram.
3.1
Konstantan dijametar
Definicija 3.2
Ograniˇ
cen skup ima konstantan dijametar ako svake dve razliˇ
cite par-
alelne pomo´
cne prave imaju istu udaljenost
d
.
Medju dvodimenzionalnim figurama je poznat krug kao figura konstantnog dijametra,
a za trodimenzionalna tela lopta, ali pored njih postoje i drugi oblici konstantnog di-
jametra. Najˇ
ceˇ
s ´
ci primer posle kruga za dvodimenzionalne figure je Reloov trougao.
Za tri dimenzije je poznat Mejsnerov tetraedar koji nastaje modifikovanjem Reloovog
tetraedra.
Slika 5: Konstrukcija Reloovog trougla
4
3.2
Problem konveksnih mnogouglova
Potrebno je dokazati da u svakom konveksnom mnogouglu za dijametar tog mnogougla,
XY
,
vaˇ
zi da su obe taˇ
cke
X
i
Y
u neka dva temena mnogougla(tj. da su dva temena na
dijametru)
Dokaz.
Predpostavi´
cemo suprotno, i tada razlikujemo dva sluˇ
caja. U prvom sluˇ
caju je
samo jedna taˇ
cka od
X
i
Y
teme, a druga se nalazi na nekoj stranici mnogougla izmedju
dva temena. Re´
ci ´
cemo, bez gubljenja opˇ
stosti, da je
X
u nekon temenu mnogougla.
Povu´
ci´
cemo iz
X
duˇ
zi ka krajevima duˇ
zi na kojoj se nalazi
Y
. Sada smo dobili trougao
unutar kog se nalazi duˇ
z
XY
. Povlaˇ
cenjem visine iz
X
i koriˇ
s´
cenjem Pitagorine teoreme
zakljuˇ
cujemo da je bar jedna stranica trougla ve´
ca od
XY
. Drugi sluˇ
caj je kada su obe
taˇ
cke
X
i
Y
unutrasnje taˇ
cke neke dve duˇ
zi mnogougla. Onda analogno dokazujemo da
je duˇ
z koja ima jednu taˇ
cku kao teme mnogougla duˇ
za od
XY
. I sada se sve vra´
ca na
prvi sluˇ
caj.
Problem je u analiziranju i pronalaˇ
zenju mogu´
cih vrednosti za
a
(
F
) za ograniˇ
cene
skupove u ravni i za ndimenzionalna tela u prostoru.
Najpre ´
cemo dokazati da to vaˇ
zi u ravni, a potom i u trodimenzionalnom pros-
toru. Nakon toga ´
cemo se pozabaviti Borsukovom hipotezom i opisati trenutno stanje
u oblasti.
3.3
Figure u ravni
Teorema 3.3
Ako je
F
skup u ravni dijametra
d
, tada vaˇ
zi
a
(
F
)
⩽
3
; tj.,
F
moˇ
ze da
se podeli na tri dela dijametara manjih od d.
Dokaz.
Glavni deo dokaza ˇ
cini slede´
ca lema:
Oko svakog skupa u ravni dijametra
d
moˇ
ze da se opiˇ
se pravilni ˇ
sestougao ˇ
za koji vaˇ
zi
da je udaljenost izmedju dve naspramne stranice
d
.
Uze´
cemo pravu
l
koja ne seˇ
ce skup
F
, i postepeno ´
cemo je pribliˇ
zavati figuri(ostavljaju´
ci
Slika 6: Pravilni ˇ
sestougao visine
d
je paralelnom sa poˇ
cetnim poloˇ
zajem), sve dok ne dodirne
F
. Rezultuju´
ca prava
l
1
ima
najmanje jednu zajedniˇ
cku taˇ
cku sa
F
i ceo skup se nalazi sa jedne strane
l
1
. Sada ´
cemo
5
