1
4
Penos toplote u neustaljenim uslovima – jednodimenzionalni
problemi
Neustaljeni prenos toplote u vezi je s neustaljenim temperaturnim poljima. Diferencijalna jednačina
neustaljenog polja za opšti treodimenzionalni problem već je ranije formulisana i, podseća se, ima oblik
2
2
2
2
2
2
a
x
y
z
∂θ
∂ θ ∂ θ ∂ θ
=
+
+
∂τ
∂
∂
∂
, (u Dekart-ovom sistemu koordinata).
(1)
Analiza neustaljenih temperaturnih polja je svakako daleko teža u odnosu na analizu ustaljenih, te će se ovde
problem ograničiti na jednodimenzionalna polja, tako da će važiti parcijalna diferencijalna jednačina
2
2
a
x
∂θ
∂ θ
=
∂τ
∂
.
(2)
Svrha razmatranja svih problema biće da se objasni fizičko značenje veličina koje se moraju, prema
Pravilniku, proveriti za izvesne građevinske elementa. To su, pre svega (prema Pravilniku):
...
фактор пригушења амплитуде осцилације температуре,
ν
[
-
]
;
кашњење осцилације температуре,
η
[
h
]
.
...
Obe veličine zavise, kako će se videti, od "poremećaja" temperature u odnosu na neki ustaljeni režim, kao i od
veličine (debljine) i svojstava građevinskog elementa. Uobičajeno je da se "poremećaj" temperaturnog polja u
odnosu na ustaljeni režim pripisuju ili temperaturi okruženja, ili temperaturi na nekoj od površina građ.
elementa, i to u obliku:
( )
( )
cos
e
e
t
A
t
∞
∞
θ = θ
= θ +
ω
,
(3
1
)
( )
0
0
( )
cos
s
s
t
A
t
θ = θ
= θ +
ω
.
(3
2
)
Pri tome su ovde
A
e
- tzv. amplituda oscilacija temperature ambijenta oko stalne vrednosti,
ο
C,
2
f
ω = π
- ugaona (kružna) frekvencija oscilacija, radijana/sekundi,
f
- frekvencija, 1/s (=Hz).
Frekvencija
f
je, zapravo, obrnuto proporcionalna vremenu (u sekundama) potrebnom da se obavi jedna
potpuno oscilacija (od vrednosti na početku pa do vrednosti jednake vrednosti na početku), kaže se "puni krug,
ciklus" od 2
π
radijana.
4.1
Polu-beskonačni čvrst sloj sa periodičnom temperaturom ambijenta
Razmatra se polubeskonačni čvrst sloj sa jednodimenzionim temperaturnim poljem (slika 1), čija je leva
strana izložena konvekciji prema ambijentu, a temperatura ambijenta se periodično menja po zakonu (3
1
)
θ
oo
(
t
)
θ
s
(
t
)
θ
(
x,t
)
x
λ, ρ
, c
θ
e
A
e
A
e
Slika 1. levo) bez prugušivanja amplitude, desno) sa prigušivanjem amplitude
Diferencijalna jednačina neustaljenog jednodimenzionalnog temperaturnog polja je
2
2
,
0
,
0
a
x
t
t
x
∂θ
∂ θ
=
≤ ≤ ∞
≥
∂
∂
.
(4)
Početni uslov je
2
( , )
,
0
,
0
e
x t
x
t
θ
= θ
≤ ≤ ∞
=
.
(5)
Jedan granični uslov je
( , )
,
,
0
e
x t
x
t
θ
= θ
→ ∞
>
(6)
Drugi granicni uslov moze da se zada na razlicite nacine. U konkretnom slučaju, pak, zbog postojanja
konvektivne razmene između ambijenta i površine koristi se tzv. granični uslov 3. vrste:
(
)
( , )
0,
0
h
x t
x
t
x
∞
∂θ
θ − θ
= −λ
=
>
∂
,
(7)
pri čemu je
( )
cos
,
0
e
e
A
t
t
∞
θ = θ +
ω
>
.
(8)
Jednačina (7) prosto znači jednakost specifičnog fluksa ostvarenog konvekcijom (
h
je koeficijent prelaza
toplote konvekcijom, W/m
2
K) sa specifičnim fluksom provođenjem u materijalu na mestu
x
=0.
Rešenje problema (4)-(8) je
(
)
( )
1
/
2
1 / 2
2
Bi
1
( , )
cos
/
,
2
Bi
2Bi+2
x l
e
e
x t
A
e
t
x l
f x t
−
θ
− θ =
ω −
− β +
+
,
(9)
gde je skraćeno zapisano
/
l
a
≡
ω
,
(10)
2
/
/
/
Bi
2
/
2
2
1 /
1 /
h
a
h
a
l
a
h
h
ω λ
λ
=
=
ω =
=
λ ω
λ
,
(11)
1
arctan
1 Bi
β ≡
+
.
(12)
Funkcija
( , )
0
t
f x t
→∞
→
u jednačini (9) ima složenu strukturu, ali ima svojstvo da postaje nula kada je veme
tarajanja veliko (teorijski
t
→ ∞
), dakle:
( , )
0
t
f x t
→∞
→
, za svako
0
x
≥
.
(13)
kvaziustaljeni periodični režim
Razmatraće se samo kvaziustaljeno periodično temperaturno polje, koje odgovara situaciji da
t
→ ∞
. Prelazni
režimi su isključeni.
(
)
0
1
/
2
1 / 2
2
( )
Bi
1
( , )
cos
/
2
Bi
2Bi+2
x l
e
e
A
A x
x t
A
e
t
x l
−
θ
− θ =
ω −
− β
+
,
(14)
ili skraćeno, saglasno naznačenim identifikacijama u jednačini (14),
1
( , )
( ) cos
/
2
e
x t
A x
t
x l
θ
− θ =
ω −
− β
.
(15)
Parcijalni izvod po koordinati
x
je sada
( , )
( )
1
1 1
1
cos
/
( )
sin
/
2
2
2
1 1
1
1 1
1
( )
cos
/
( )
sin
/
2
2
2
2
1 1
1
1
( ) cos
/
sin
/
2
2
2
1
x t
A x
t
x l
A x
t
x l
x
x
l
A x
t
x l
A x
t
x l
l
l
A x
t
x l
t
x l
l
l
∂θ
∂
=
ω −
− β −
−
ω −
− β
∂
∂
=
−
ω −
− β −
−
ω −
− β
= −
ω −
− β −
ω −
− β
= −
1
( ) cos
/
/ 4
2
A x
t
x l
ω −
− β + π
.
()
tako da toplotni fluks u pravcu
x
-ose može, za svako
x
i svako
t
, da se odredi prema Fourije-ovom zakonu
4
kvaziustaljeni periodični režim – faktor prigušivanja amlitude talasa po dubini u materijalu
Prema rešenju (15) odnosno (14) za kvaziustaljeni periodični režim
(
)
0
1
/
2
1 / 2
2
( )
Bi
1
( , )
cos
/
2
Bi
2Bi+2
x l
e
e
A
A x
x t
A
e
t
x l
−
θ
− θ =
ω −
− β
+
,
(14)
jasno je da je amplituda oscilacija temperature materijala na površini,
A
0
, manja od amplitude oscilacije
temperature ambijenta,
A
e
, zavisno od Bi broja:
(
)
0
1 / 2
2
Bi
/
Bi
2Bi+2
e
A
A
=
+
,
(20)
i takva zavisnost je prikazana na slici 4 (levo).
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2
4
6
8
10
12
14
16
18
x
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
A
0
/
A
e
ν
Bi
x
,
m
Slika 4. Odnos ammplituda
0
/
e
A
A
u funkciji Bi (levo), i Faktor prigušenja amplitude u materijalu ( )
x
ν
(desno)
Isto tako, amplituda oscilacija u dubini materijala manja je od amlitude na površini:
1
/
2
0
( ) /
x l
A x
A
e
−
=
.
()
Faktor prigušenja amplituda oscilacija
je definisan kao recipročna vrednost prethodnog odnosa amplituda:
1
/
0
2
( )
( )
x l
A
x
e
A x
ν
=
=
.
(21)
Očigledno je da faktor ( )
x
ν
raste sa dubinom
x
, i zavisnost je prikazana na slici 4 (desno).
Perodična dubina prodiranja
,
e
x
, definisana je kao dubina kojoj odgovara faktor prigušenja oscilacija tačno
e
=2.718 (osnova prirodnog logaritma). Iz uslova da je
1
/
1
0
2
(
)
(
)
e
x
l
e
e
A
x
e
e
A x
ν
=
=
=
,
()
dobija se da je
2
2
/
e
x
l
a
=
=
ω
.
(22)
kvaziustaljeni periodični režim – kašnjenje temperaturnih oscilacija u materijalu
Temperature na svim lokacijama materijala osciluju istom frekvencijom kao i temperatura ambijenta, ali su
fazno pomerene: kasne u odnosu na oscilacije temperature ambijenta. Kašnjenje oscilacija je najmanje za
oscilacije temperature površine, i raste sa porastom dubine materijala. Ilustracija ovog kašnjenja prikazana je
na Slici 5 (prema jednoj interpretaciji prikaza na slici 2).
