Gimnazija Pirot,
Pirot
Maturski rad iz matematike na temu
IZVOD FUNKCIJE I PRIMENA
IZVODA
Pirot, maja 2011. godine
Istorijat
Pojam izvoda nastao je iz problema tangente krive linije I problema
brzine kretanja; prvi problem doveo je Lajbnica (1646-1716), a drugi problem
doveo je Njutna (1642-1727), istovremeno do istog pojma, ali nezavisno od
Lajbnica.
Mnogi matematičari pre Lajbnica su pokušavali da reše problem
tangente; karakteristično za njih je to da su sadržali takve analitičke i
geometrijske postupke koji pokazuju da u nastojanju rešavanja ovog problema
tangente, nužno se rađao pojam izvoda; u takvim pokušajima se često javlja
ideja da se tangenta krive linije shvati kao granična sečica kojoj teži sečica
krive, kada se jedna od presečnih tačaka beskrajno približava po krivoj,
drugoj presečnoj tački; osnovni problem na koji su prethodnici Lajbnica
nailazili, kada su pokušali da reše problem tangente ili kada su ga delimično
rešili (kao Dekart za algebarske krive) ležala je u prirodi računa sa beskrajno
malim veličinama.
Shvativši duboko značaj i smisao Dekartove promenljive, odnosno
metode koordinata, a pri tom ovladavši u osnovi prirodnog računa sa
beskonačno malim veličinama, Lajbnicu je definitivno pošlo za rukom da reši
problem tangente uvodeći pojam izvoda odnosno diferencijala (
Nova
Methodus pro maximus itenigue tangetibus et singulare pro illis calculi genus
1684). Shvatio je tangentu kao sečicu na način unapred opisan.
Istovremeno sa Lajbnicom i Njutn je došao do pojma izvoda studirajući
problem brzine kretanja. U svojoj raspravi
Metod fluxia
i beskrajnih redova,
Njutn se najpre bavi rešavanjem problema pronalaženja brzine kretanja u
datom trenutku vremena kada je pređeni put poznat kao funkcija vremena.
Veličina koja, za njega, neprekidnozavisi od vremena Njutn naziva
fluentom
(
fluere
=teći) a brzinu kojom se menja fluenta u toku vremena
fluxia
(
fluxio
=strujanje, tečenje) kao tipičan primer, Nutn uzima put pokretne tačke.
Dakle, Njutn je došao do pojma fluksije, odnosno izvoda, studirajući problem
kretanja, što je odgovaralo razvoju mehanike tokom XVII i XVIII veka.
3
Izvod funkcije
Predpostavimo da je funkcija
f
(x) definisana u nekom intervalu (a,b) i
da je tačka X
0
iz intervala (a,b) fiksirana. Uočimo neku proizvoljnu tačku X
1
iz tog intervala (a,b). Ova tačka X
1
može da se pomera levo desno, pa ćemo je
zvati promenljiva tačka intervala (a,b). Razlika X
1
– X
0
pokazuje promenu
ili priraštaj vrednosti nezavisno promenljive X i najčešće se obeležava sa ΔX
= X
1
– X
0
Razlika
f
(X1)-
f
(X
0
) predstavlja odgovarajuću promenu ili
priraštaj funkcije
f
(x) i obično se obeležava sa Δ
f
(x)=
f
(X
1
)-
f
(X
0
) ili ako je
funkcija označena sa y=
f
(x) može se zapisati: Δ y =
f
(X
1
)-
f
(X
0
).
Evo kako bi to izgledalo na slici:
4
Priraštaj funkcije, srednja i trenutna brzina.
Problem tangente
Posmatramo telo (tačku) koja se pravoliniski kreće. Neka je S=S(t)
funkcija koja daje zavisnost prećenog puta od vremena. Pod priraštajem puta
u vremenskom intervalu [t
0
t
1
u oznaci ∆S podrazumeva se razlika S(t
1
)-S(t
0
)
(u stvari pređeni put u tom vremenskom intervalu) . Dakle,imamo oznaku
∆S=S(t
1
) - S(t
0
) Ako stavimo da je t
1
– t
0
= Δ t, dobićemo t
1
=t
0
+Δ t, pa je
∆S=S(t
0
+∆t)-S(t
0
) Srednjom brzinom kretanja tela u vremenskom intervalu
[t
0
,t
1
] naziva se odnos pređenog puta ∆ S, koji odgovara tom vremenskom
intervalu, i proteklog vremena t
1
– t
0
= ∆t sledi:
A potpuno analogno možemo posmatrati i srednju brzinu promena
funkcije y =ƒ(x) itervalu [x
0
, x
0
+∆x] ( pri čemu ∆x može biti i negativna
veličina ) kao količnik priraštaja funkcije (u tački x
0
) ∆y=f(x
0
+∆x) –f(x
0
) i
odgovarajućeg priraštaja ∆x nezavisno promenljive:
Međutim vrednost srednje brzine kretanja tela u intervalu [t
0
, t
0
+∆t] ne
daje dovoljno informacija o karakteru kretanja u pomenutom intervalu . U
koliko je vremenski interval veći utoliko je predhodni zaključak jasniji . Zato
je bolje posmatrati vrednost srednje brzine za male promene vremena ∆t .
Ako dopuštamo da se interval [t
0
,t
0
+∆t] sužava (za fiksirano t
0
) to jest ako ∆t
0, tada možemo posmatrati graničnu vrednost.
6
