Univerzitet u Beogradu
Ekonomski fakultet
Seminarski rad iz Matematike
Tema: Primena Lagrange-ovog metoda u
optimizaciji proizvodnje
Mentor: Student
Dr Branislav Boričić Marina Radojičić, /11
Beograd, Septembar 2015
2
Sadržaj
1. Uvod.....................................................................................................................................3
2. Lagrange-ova metoda................................................................................................4
3. Optimizacija proizvodnje............................................................................................6
3.1. Maksimizacja proizvodnje........................................................................................6
4. Primer optimizacije proizvodnej Lagrange-ovom metodom..........................................7
4.1. Optimizacija funkcije proizvodnje sa dve promenljive...............................................7
4.2. Optimizacija funkcije proizvodnje sa tri promenljive.................................................9
4.3. Rešavanje problema optimizacije softverskim paketom Wolfram Mathematica........10
5. Zaključak...............................................................................................................................12
Literatura...................................................................................................................................13
4
2. Lagrange-ova metoda
Kada se iz ograničenja ne može jedna varijabla predstaviti kao funkcija druge varijable
ili kada imamo ekstrem za funkcije više od dve varijable, vrlo efikasan način za određivanje
ovih ekstrama je Lagrange-ova metoda. Lagrangeova metoda se primenjuje za određivanje
ekstremnih vrednosti funkcije.
Ukoliko imamo datu funkciju f(x,y) i funkciju veze φ(x,y)=0, prvo formiramo
Lagrange-ovu funkciju oblika
(1) L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)
u kojoj je λ Lagrange-ov množitelj, pri čemu je uslovni ekstrem funkcije f(x,y) ekstrem
Lagrange-ove funkcije (1).
Neophodni uslovi kako bi funkcija (1) imala uslovni ekstremum u okolini tačke
M
o
(x
o
,y
o
) su ti da su parcijalni izvodi funkcije L(x,z,λ) po promenljivim x, y i λ u tački M
o
jednaki nuli,
∂ L
∂ x
=
∂ f
∂ x
+
λ
∂ φ
∂ x
=
0
(2)
∂ L
∂ y
=
∂ f
∂ y
+
λ
∂ φ
∂ y
=
0
∂ L
∂ λ
=
φ
(
x , y
)=
0
Tačke u kojima su parcijalni izvodi jednaki 0 su stacionarne tačke a njihove
koordinate se dobijaju kao rešenje sistema jednacina (2).
U tako određenoj stacionarnoj tački M
o
totalni diferencijal drugog reda
d
2
L
(
M
o
)=
∂
2
L
(
M
o
)
∂ x
2
d x
2
+
2
∂
2
L
(
M
o
)
∂ x ∂ y
dxdy
+
∂
2
L
(
M
o
)
∂ y
2
d y
2
i neka je u toj tački
∂ φ
(
M
o
)
∂ x
dx
+
∂ φ
(
M
o
)
∂ y
dy
=
0
, pri tome funkcija z=f(x,y) u tački M
ima:
uslovni maksimum ukoliko je
d
2
L
(
M
o
)<
0
,
uslovni minimum ukoliko je
d
2
L
(
M
o
)>
0
ukoliko je
d
2
L
(
M
o
)=
0
postojanje ekstrema ostaje otvoreno i dodatno se ispituje.
1
Ukoliko je data funkcija
1
Boričić B., Ivović M., Ilić M., Matematika, Ekonomski fakultet, Beograd, 2011.
