UNIVЕRZIТЕТ SINGIDUNUМ
PОSLОVNI FАKULТЕТ U BEOGRADU
SЕМINАRSKI RАD
ТЕМА:
PRIМЕNА МАТЕМАТIKЕ U ЕKОNОМIЈI
PRЕDМЕТ: KVАNТIТАТIVNЕ МЕТОDЕ
Mentor:
Student:
Prof. dr Ana Blagojević
Ivana Štrbac
Broj indeksa:
100387/2019
Beograd, novembar 2019. godine
3 |
S e m i n a r s k i r a d : P r i m e n a m a t e m a t i k e u e k o n o m i j i
1.
PRIMENA MATEMATIKE U EKONOMIJI
1.1.
Matematičko modeliranje
Modeliranje, kao jedan od mogućih načina da se formuliše i objasni problem koji
nastaje u svakodnevnom životu, se primenjuje u onim situacijama kada, iz nekog razloga,
takav problem ne može da se reši u stvarnosti.
Model, iako ne može da obuhvati sve karakteristike stvarnog stanja u prirodi,
predstavlja onu apstrakciju koja je dovoljna za dalju procenu rešenja, tj. omogućava da se na
pojednostavljen način sagleda realan problem.
Matematičko modeliranje je metod kojim se opisuje realan sistem, uz pomoć različitih
matematičkih alata, pri čemu se takav model dalje koristi za analizu, projektovanje i
optimizaciju pomenutog sistema. Najjednostavnije rečeno, matematičko modeliranje
omogućava spajanje matematike sa drugim prirodnim naukama, odnosno upotrebu
matematike u istim.
Matematički modeli mogu se posmatrati kao:
1
•
linearni i nelinearni;
•
deterministički i stohastički (ovakva podela se posmatra u odnosu na vrstu
promenljivih koje se koriste u modelu) - deterministički modeli su oni kod kojih je
skup vrednosti promenljivih tačno određen prethodnim vrednostima, dok je za
stohastičke modele karakteristično da se ponašanje sistema ne može unapred
predvideti, već se samo mogu predvideti verovatnoće promena određenih vrednosti;
•
statistički i dinamički - razlika između ova dva modela ogleda u tome da su u
statističkim modelima vrednosti parametara konstantne, dok, kod dinamičkih,
promena parametara zavisi od promene vremena, tj. modeli se najčešće prikazuju kao
sistemi diferencijalnih jednačina;
•
diskretni i kontinuirani (ovakva podela se posmatra u odnosu na način na koji se stanje
modela menja u toku vremena) - diskretni modeli opisuju ono stanje sistema koje se
menja samo u pojedinim tačkama u vremenu, dok se kod kontinuiranih, kao što i naziv
modela kaže, stanje menja kontinuirano u vremenu, a sve ovo se posmatra u odnosu na
ponašanje promenljivih;
•
deduktivni, induktivni i „plivajući“ - rešenja deduktivnih modela zasnivaju se na
teorijskom zaključivanju, rešenja induktivnih na merenjima, odnosno zaključivanju na
osnovu eksperimentalnih vrednosti, dok se rešenja „plivajućih“ modela zasnivaju se na
proceni očekivanih odnosa između promenljivih.
Prilikom formiranja matematičkog modela treba voditi računa da on bude dovoljno
jednostavan kako bi se mogao rešiti, ali takođe se mora voditi računa da on dovoljno realno
opisuje problem koji se pokušava modelirati, kako bi rešenje bilo što precizniji prikaz stvarne
situacije.
1
Jovičić, M. (2002) Ekonometrijski metodi, Ekonomski fakultet, Beograd, str. 78.
4 |
S e m i n a r s k i r a d : P r i m e n a m a t e m a t i k e u e k o n o m i j i
Diferencijalne jednačine se često koriste u matematičkom modeliranju i to uglavnom iz
razloga što se na ovaj način opisuju različite (prirodne) pojave.
Za matematičke modele smatra se da su ispravno postavljeni (da istinski prikazuju
određenu pojavu u prirodi ili drugde) ukoliko zadovoljavaju sledeće uslove:
•
rešenje početnog problema postoji
•
rešenje početnog problema je jedinstveno,
•
rešenje početnog problema neprekidno zavisi od početnih uslova.
1.2.
Formulacija zadatka
Optimizacija je postupak nalaženja najboljeg rešenja nekog problema u određenom
smislu i pri određenim uslovima.
Neophodne pretpostavke za ostvarenje zadatka optimizacije su:
•
Objekat optimizacije
. Može biti proizvodni proces, aparat, ljudska delatnost itd.
•
Kriterijum optimalnosti
, koji se drugačije naziva efikasnost ili funkcija cilja. Funkcija
cilja može biti, na primer, tehnički rashod, dobit ili čistoća materijala. Najbolja
vrednost kriterijuma optimalnosti naziva se ekstremum ili optimum.
•
Upravljivost objektom optimizacije
. Za izvršenje procesa optimizacije potrebno je da
objekat optimizacije bude upravljiv, odnosno da ima izvestan stepen slobode. Da bi se
osiguralo upravljanje objektom optimizacije neophodno je da on ima upravljačke
parametre, koji mogu da se menjaju nezavisno jedan od drugih. Time se može
definisati skup različitih stanja objekta optimizacije, iz koga se odabira optimalno
stanje.
•
Metod optimizacije
. Za zadati upravljački objekat i formulisani cilj, izražen kroz
kriterijum optimalnosti, neophodno je da se izabere metod za izračunavanje
optimuma. Nije moguće da se preporuči jedan univerzalni metod za rešavanje svih
optimizacionih zadataka. Izbor konkretnog metoda se vrši na osnovu postavljenih
ciljeva kao i prirode objekta optimizacije. Jedna od najvažnijih pretpostavki za
rešavanje optimizacionog zadatka je formulacija cilja, što se bazira na subjektivnoj
pretpostavci. Pravilno formulisanje cilja neophodno je za pravilno rešavanje
optimizacionog zadatka.
U praksi se proces optimizacije izvršava na osnovu uprošćenog matematičkog modela
procesa. Na osnovu tog modela formira se ciljna funkcija.
1.2.1.
Linearno programiranje
Linearno programiranje je jedna od najjednostavnijih metoda za određivanje
optimalnog rešenja u raznim zadacima optimizacije. Takvi zadaci se javljaju u različitim
granama privrede, u ekonomiji, proizvodnji, obrazovanju, istraživanju itd.
Za zadatke linearnog programiranja karakteristična je linearna funkcija cilja Q(x) i skup
linearnih ograničenja L. Funkcija Q(x) predstavlja linearnu kombinaciju nepoznatih a L je
sistem linearnih jednačina i (ili) nejednačina. Problem se svodi na nalaženje minimuma ili
