MAŠINSKI FAKULTET UNIVERZITET U BEOGRADU
NUMERIČKE METODE
SEMINARSKI RAD
PRIMENA TRAPEZNE I SIMPSONOVE FORMULE
Profesor: dr. Miodrag Spalević
Student: Milan Travica D22
Beograd
2017/18
NUMERIČKE METODE
2017/1
8
2
Abstrakt:
U ovo radu je predstavljena Numerička integracija u teorijskom smislu prema Njutn-Cotesovim
formulama. U okviru njih obradjena su dva pod tipa, Trapezna i Simpsonova formula.
Izvrešena je I praktična primena pomenutih numeričkih alata korišćenjem softverskog paketa MathCad.
NUMERIČKE METODE
2017/1
8
4
1.Numerička integracija
1.1 Opšte o formulama za integraciju
Zadana funkcija f:I→R, gde je I obično interval (može I beskonačan).
Želimo izračunati integral funkcije f na intervalu od a do b.
I
(
f
)=
∫
a
b
f
(
x
)
dx
(1.1.1)
Svi znamo da je diferenciranje jednostavan postupak, dok integraljenje to nije, pa se integrali analitički u
“lepoj formi” mogu izračunati samo za mali skup funkcija f. Zbog toga, u većini slučajeva ne možemo
iskoristiti osnovni teorem integralnog računa, tj. Newton-Leibnitzovu formula za računanje I(f) preko
vrednosti primitivne funkcije F od f u krajevima intervala.
I
(
f
)=
∫
a
b
f
(
x
)
dx
=
F
(
b
)−
F
(
a
)
.
Drugim rečima, jedino što nam preostaje je približno numeričko računanje I(f).
Osnovna ideja numeričke integracije je izračunavanje I(f) korišćenjem vrednosti funkcije na
nekom konačnom skupu tačaka. Recimo odmah da postoje i integracijske formule koje se koriste I
diferenciranje funkcije f ali o tome se kako se one dobijaju biće reči kasnije.
Opšta formula za integraciju ima oblik:
I
(
f
)=ℑ(
f
)−
Em
(
f
)
.
Pri čemu je m+1 broj korišćenih tačaka,
ℑ(
f
)
aproksimacija integral, a
Em
(
f
)
pritom napravljena greška.
Ovakve formule za približnu integraciju funkcija jedne varijable f (tj. na jednodimenzionom domenu)
često se zovu kvadrane formule, zbog intepretacije integrala kao površine ispod krive.
Ako koristimo samo funkcijske vrednosti za aproksimaciju integral, onda aproksimacija
ℑ(
f
)
ima oblik
ℑ(
f
)=
∑
k
=
0
m
(
w
k
m
f
(
x
k
m
)
(1.1.2)
Pri čemu je m neki unapred zadani prirodni broj. Koeficijenti
x
k
m
zovu se čvorovi integracije, a
w
k
m
težinski koeficijenti.
NUMERIČKE METODE
2017/1
8
5
U opštem slučaju, za fiksni m, moramo nekako odrediti 2m+2 nepoznatih koeficijenata.
Uobičajen način njihovog određivanja je zahtev das u integracijske formule egzaktne na vektorskom
prostoru polinoma što većeg stupnja. Zašto baš tako? Ako postoji Taylorov red za funkciju f I ako on
konvergira onda bi to značilo da integracijska formula egzaktno integrira početni deo Taylorovog reda,
tj. Taylorov polinom. Drugim rečima, greška bi bila mala tj. jednaka integral greške koji nastaje kad iz
Taylorovor reda napravimo Taylorov polinom.
Zbog linearnosti integral kao funkionala
∫
(
αf
(
x
)+
βg
(
x
)
)
dx
=
α
∫
f
(
x
)
dx
+
β
∫
g
(
x
)
dx ,
(1.1.3)
dovoljno je gledati egzaktnost tih formula na nekoj bazi vektorskog prostora, recimo na
(1,x,x
2
,…,x
m
,…),
Jer svojstvo (1.1.3) onda osigurava egzaktnost za sve polinome do najvišeg stupnja baze. Ako su čvorovi
fiksirani, recimo ekvidistantni, onda dobijamo tzv. Newton– Cotesove formule, za koje moramo odrediti
m + 1 nepoznati koeficijent (težine). Zahtevi egzaktnosti na vektorskom prostoru polinoma tada vode na
sastav linearnih jednačina. Kasnije ćemo pokazati da se te formule mogu dobiti i kao integrali
interpolacijskih polinoma stepena m za funkciju f na zadanoj (ekvidistantnoj) mrežii čvorova.
S druge strane, možemo fiksirati samo neke čvorove, ili dozvoliti da su svi čvorovi “slobodni”. Ove
posljednje formule zovu se formule Gaussovog tipa. U slučaju Gaussovih formula (ali može se i kod
težinskih Newton–Cotesovih formula) uobičajeno je (1.1.1) zapisati u obliku
I
(
f
)=
∫
a
b
w
(
x
)
f
(
x
)
dx
(1.1.4)
Pri čemu funkcija w≥0 tzv. Težinska funkcija. Ona ima istu ulogu ‘’ gustine’’ mere kao i kod metode
najamnjih kvadrata. Ideja je ‘’ razdvojiti’’ podintegralnu funkciju na dva dela , takod da singulariteti budu
uključeni u w. Gaussove se formule nikad ne računaju direktno iz zakona egzaktnosti, jer to vodi na
sistem nelinearnih jednačina.
Na kraju ovog uvoda spomenimo još da postokej primene u kojima je korisno tražiti egzaktnost
integracijskih formula na drugačijim sistemima funkcija, koji nisu prostori polinoma do određenog
stupnja.
