GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
ZAVRŠNI RAD
PRIMJENA CASTIGLIANOVA TEOREMA PRI RJEŠAVANJU
STATIČKI NEODREĐENIH SISTEMA
Lana Orešković
Mentor: prof.dr.sc. Joško Krolo, dipl.ing.građ.
Zagreb, rujan 2014.
SADRŽAJ:
Sažetak.......................................................................................... 1
1.
Rad vanjskih sila i potencijalna energija deformacije.................... 2
2.
Potencijalna energija deformacije izražena kao rad unutarnjih
sila................................................................................................. 8
3.
Teorem o uzajmanosti radova....................................................... 13
4.
Teorem o uzajmanosti pomaka..................................................... 15
5.
Castiglianovi teoremi.....................................................................
5.1.
Prvi Castiglianov teorem................................................
5.2.
Drugi Castiglianov teorem.............................................
16
16
17
6.
Metoda jediničnog opteredenja.................................................... 23
7.
Primjena Castiglianova teorema na rješavanje statički
neodređenih zadataka (princip o minimumu potencijalne
energije)........................................................................................ 29
8.
Zaključak ....................................................................................... 41
9.
Literatura ...................................................................................... 42
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
ZAVRŠNI RAD 2
1.
RAD VANJSKIH SILA I POTENCIJALNA ENERGIJA DEFORMACIJE
Prilikom djelovanja opteredenja, odnosno vanjskih sila, na neko tijelo, ono se deformira.
Deformacija
se definira kao promjena relativnog položaja čestica tijela te se stoga, prilikom
definiranja deformacije, koristi pojam pomaka.
Pomacima
točaka tijela odgovara put na kojem, tijekom deformiranja tijela, vanjske sile
obavljaju rad. Znači,
rad
je djelovanje sile na određenom putu
.
Prema zakonu o održanju energije, radu vanjskih sila odgovara promjena potencijalne,
kinetičke i toplinske energije tijela.
Međutim, pri statičkom opteredenju, kojeg karakterizira konstantno opteredenje tijekom
vremena, promjena kinetičke energije mase tijela može se zanemariti zbog pojave neznatinih
brzina i ubrzanja materijalnih čestica tijela. Također se zanemaruje promjena toplinske
energije te ostale promjene vezane uz strukturu tijela.
Preostala energija koja ostaje akumulirana u elastičnom tijelu tijekom deformacije je
potencijalna energija.
Prema tome, tijekom statičkog opteredenja tijela, promjena potencijalne energije vanjskih
sila jednaka je prirastu potencijalne energije deformacije tijela što možemo zapisati kao
? = ?
?
(1.1)
gdje je
?
količina potencijalne energije deformacije akumulirane u tijelu, a
?
?
smanjenje
potencijalne energije vanjskih sila.
Promjena potencijalne energije vanjskih sila jednaka je ved spomenutom radu
?
koji one
obavljaju na pomacima u smjeru njihova djelovanja.
Iz toga proizlazi da je
promjena potencijalne energije deformacije jednaka radu vanjskih sila
koji one obavljaju pri toj deformaciji
, odnosno:
? = ?
(1.2)
Osim deformacije tijela koja se javlja pri statičkom opteredenju, također se javljaju i
unutarnje sile tijela
. One se odupiru tj. suprostavljaju deformaciji tijela, te pritom obavljaju
negativan rad jer su smjerovi unutarnjih sila i odgovarajudih deformacija uzajamno suprotni.
Ako rad unutranjih sila označimo kao
?
?
onda
vrijedi jednakost potencijalne energije
deformacije i negativnog rada unutarnjih sila:
? = −?
?
(1.3)
Uspoređujudi izraze (
1.2) i (1.3
) dobije se:
? = −?
?
,
(1.4)
odnosno:
? + ?
?
= 0,
(1.5)
što prikazuje novi oblik zakona o održanju energije i ujedno
princip virtualnih radova
.
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
ZAVRŠNI RAD 3
Radi boljeg razumijevanja, potrebno je definirati pojam „virtualno“.
Stoga,
virtualni rad
jest rad stvarnih sila na virtualnim pomacima, dok virtualni pomaci za
elastično tijelo označavaju bilo kakve inifinitezimalno male pomake koji su kompatibilni s
uvjetima neprekinutosti tijela i s uvjetima veza na površini tijela.
Prema tome,
princip virtualnih radova
glasi:
Ako
je elastično tijelo u ravnoteži,
zbroj radova vanjskih sila na virtualnim pomacima i
unutarnjih sila na virtualnim deformacijama jednak je nuli.
Ukoliko na tijelo djeluje više sila, potencijalna energija deformacije zbog njihovog
zajedničkog djelovanja nije jednaka zbroju potencijalnih energija deformacija zbog njihovih
pojedinačnih djelovanja,odnosno, ne vrijedi zakon superpozicije.
Razlog tome je što svaka od tih sila obavlja rad i na onom pomaku koji je nastao zbog
djelovanja drugih sila.
U slučaju da je pomak u smjeru jedne sile, koji je uzrokovan djelovanjem drugih sila, jednak
nuli, tada bi vrijedio zakon superpozicije.
Kako bi došli do izraza rada sile, pretpostavit demo da na elastično tijelo djeluje vanjska sila
?
koja postupno raste od nule do svoje konačne vrijednosti.
Slika 1.1.
Pritom sili
? ?
odgovara pomak
?(?)
u smjeru njezina djelovanja te se beskonačno mali
prirast pomaka
??
odvija uz beskonačno mali prirast sile za
??
.
Prirast rada odnosno elementarni rad vanjske sile
?
na pomaku
??
, ako zanemarimo
beskonačno male veličine drugog reda te lineariziramo izraz, iznosi:
?? = ? + ?? ?? ≈ ? ∙ ??
(1.6)
Nakon integriranja izraza
(1.6)
, sila
?
na pomaku
?
obavi rad:
? = ? ∙ ??
?
0
(1.7)
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
ZAVRŠNI RAD 5
Uzmemo li u obzir izraz
(1.8)
, odnosno, ako umjesto sile
?
uvrstimo izraz
? =
?
?
,
rad
vanjskih
sila
poprima konačan oblik:
? = ?
?
?
?
=
?
?
??
=
??
?
(1.11)
Dobiveni izraz
(1.11)
je jednak površini iscrtanog trokuta na
Slici 1.3.
Slika 1.4.
prikazuje slučaj kada na tijelo istodobno djeluje viša sila, gdje veličina rada ne ovisi
o redoslijedu njihova nanošenja:
Slika 1.4.
Tada je pomak
?
?
u smjeru djelovanja sile
?
?
odreden relacijom:
?
?
= ?
??
?
?
+ ?
?1
?
1
+ ?
?2
?
2
+ … + ?
??
?
?
= ?
??
?
?
?
?=1
(1.12)
Kao što formula
(1.12)
pokazuje, ovo je slučaj kada ne vrijedi zakon superpozicije, jer je
pomak ne mjestu i u smjeru sile
?
?
uzrokovan djelovanjem svih ostalih sila.
To pokazuje
koeficijent
?
??
jer
izražava utjecaj sile
?
?
na pomak
?
?
, pa se takvi koeficijenti
nazivaju
utjecajnim koeficijentima
.
Označeni su dvama indeksima gdje prvi označava mjesto i smjer pomaka, a drugi uzrok
pomaka.
Rad svih sila koje djeluju na tijelo, prema izrazu
(1.11)
glasi:
? =
1
2
?
1
∙ ?
1
+
1
2
?
2
∙ ?
2
+ ⋯ +
1
2
?
3
∙ ?
3
=
1
2
?
?
∙ ?
?
?
?=1
(1.13)
