PRIMENA MONTE-KARLO SIMULACIJE U ANALIZI
POUZDANOSTI SISTEMA
APPLICATION OF MONTE-CARLO SIMULATIONS TO SYSTEM
RELIABILITY ANALYSIS
Dr Dragan Milčić
*
i Miroslav Mijajlović
*,**
*
Mašinski fakultet Niš, Aleksandra Medvedeva 14, 18000 Niš
**
Stipendista Ministarstva nauke i zaštite životne sredine Republike Srbije, Nemanjina 22,
11000 Beograd
Abstract
: Monte-Carlo simulation uses statistics to create mathematical model of real process
and determine probability of possible problem’s solutions. Before execution of Monte-Carlo
simulation, statistical distribution of times before failures and times of maintenances for all
elements of considered system must be determined. This paper presents appliance of Monte-
Carlo simulation on several thermo-energetic systems.
Key words:
Monte-Carlo Simulation, Reliability, Thermo-energetic systems
1. UVOD
Ideja
Monte-Karlo
simulacije je da se, umesto opisa slučajne pojave pomoću analitičkih veza,
izvede simulacija iste pojave u cilju realizovanja iste (dobijanje realizacije). Dobijanje
realizacije se izvodi imitacionim modeliranjem ili simuliranjem, pomoću slučajnih brojeva.
Nakon svakog ponavljanja postupka, u rezultatu se dobija po jedna realizacija proučavane
slučajne pojave. Simulacija se izvodi određeni broja puta, a skup dobijenih realizacija
predstavlja statistički materijal, koji se određenim statističkim metodama obrađuje i
interpretira. Stoga se metoda
Monte-Karlo
naziva i metoda statističkih ispitivanja, a kao
nedovoljno precizna definicija može se uzeti da je to numerička metoda kojom se
modeliranjem pogodnih, slučajnih promenljivih rešavaju zadaci različitog (i stohastičkog i
determinističkog) karaktera.
Svaki postavljeni problem, prethodno treba pokušati rešavati analitički jer se na taj
način (ako je moguće) može doći do tačnog rešenja, dok će
Monte-Karlo
dati približno
rešenje. Ako nije moguće doći do analitičkog rešenja,
Monte-Karlo
predstavlja koristan i
veoma praktičan alat za dobijanje traženog rezultata.
Današnjica, kao prednost metodi
Monte-Karlo
, donosi računare velikih brzina obrade
podataka, koji mukotrpan posao sračunavanja pojednostavljuju do minimalnih granica. Iako je
ova metoda, u velikom broju slučajeva, znatno jednostavnija od primene analitičkih metoda,
primena ove metode je ispravna samo u slučaju nemogućnosti modeliranja analitičke
zavisnosti između parametara, ili radi provere analitičke metode.
Inače,
Monte-Karlo
simulacija je razvijena 1940. godine, kao deo programa atomske
bombe. Naučnici u Los Alamos National Laboratory, u Americi, su je koristili da bi odredili
slučajnu difuziju neutrona. Naučnici, koji su razvili ovu simulaciju, nazvali su je
Monte-
Karlo
, prema gradu u Monaku i njegovim mnogobrojnim kazinima. Danas,
Monte-Karlo
simulacija se koristi u širokoj oblasti, uključujući: fiziku, ekonomiju (finansije) i pouzdanost
sistema.
2. OSNOVE MONTE-KARLO SIMULACIJE
Monte-Karlo
analiza koristi statistiku da matematički modelira realni proces i zatim utvrđuje
verovatnoću mogućih rešenja. Pre izvršenja
Monte-Karlo
simulacije, mora se utvrditi
statistička raspodela vremena otkaza i vremena održavanja. U većini slučajeva, raspodela
vremena do otkaza se najbolje prikazuje Veibulovom raspodelom, dok se lognormalna
raspodela uglavnom koristi za prikazivanje raspodele vremena održavanja. Neki izuzeci,
vredni pažnje, su elektronska kola, koja teže da imaju eksponencijalnu raspodelu vremena do
otkaza (Times To Tailure -
TTF
) i modularni tip održavanja, koji češće ima eksponencijalnu
raspodelu (Times To Repair -
TTR
). Jednom, kada se odrede raspodela vremena otkaza i
raspodela vremena održavanja,
Monte-Karlo
simulacijom se može izmodelirati proces,
zavisno od vremena. Da bi se izvela simulacija, generiše se slučajni broj, između 0 i 1, da
predstavi verovatnoću pojave stanja u određenom trenutku. Iz verovatnoće, odgovarajuće
vreme događaja se može izračunati, koristeći statističku raspodelu, odabranu za modelirani
proces. Na primer, ako slučajno generisani broj 0.7785 povežemo sa stanjem u otkazu,
Monte-Karlo
simulacija će utvrditi verovatnoću stanja u otkazu 77.85%. Ako su stanja u
otkazu, u ovoj situaciji, predstavljena Veibulovom raspodelom, sa parametrima
=2 i
=10000 sati, onda postoji šansa od 77.85% da će nastupiti stanje u otkazu posle 12275 sati
vremena u radu (uz predpostavku da smo vreme počeli da merimo od 0). Kao cilj,
Monte-
Karlo
simulacija radi unazad od određene verovatnoće do određivanja vremena događaja.
Uključujući sličan model za stanje u radu, ciklus “stanje u radu”-“stanje u otkazu” se
može simulirati za svaki vremenski period. Sledeća verovatnoća generisana slučajnim
brojevima odrediće vreme održavanja (popravke) za opremu u otkazu. Kalendar se zatim
ažurira, i simulacija se nastavlja proračunavanjem sledećeg stanja u radu od trećeg slučajnog
broja, napred objašnjenom metodom. Stoga, ako je simulriano vreme popravke bilo 12 sati i
vreme narednog otkaza je 8900 sati, kalendar simulacije bi bio na
t
=12275+12+8900=21187
sati. Simulacija će se nastaviti ako je specificirano radno vreme veće nego trenutno
kalendarsko vreme od 21187 sati. U drugom slučaju simulacija će biti zaustavljena.
Kombinujući, individualne jedinice za formiranje većih sistema, mogu se simulirati
čitave fabrike. Kada su i ekonomska razmatranja uzeta u obzir, kao što je gubitak i cena
popravke,
Monte-Karlo
simulacija može biti moćno oruđe za optimizaciju održavanja.
Simulacije manjih sistema se mogu izvršiti korišćenjem bilo kog softvera, kao što je
Microsoft Excel, sa obavezno ugrađenim statističkim funkcijama raspodele. Veći sistemi, vrlo
brzo mogu postati suviše komplikovani za manipulisanje, bez pomoći softvera za simulaciju.
Sledeći primeri ilustruju kako su simulacije
Monte-Karlo
primenjene na analizu pouzdanosti
sistema.
3. PRIMERI PRIMENE MONTE-KARLO SIMULACIJE KOD
TERMOENERGETSKIH SISTEMA
Primer 1
:
Koristeći
Monte-Karlo
metodu, odrediti predviđenu raspoloživost parne turbine u
periodu narednih 10 godina. Koliko otkaza treba očekivati u tom vremenskom periodu?
Raspodele stanja u radu i stanja u otkazu data su izrazima
