Prostoperiodične struje

59 

3.

Prostoperiodi

č

ne struje 

Prostoperiodi

č

ne struje su 

č

este u praksi i koriste se mnogo više od vremenski 

konstantnih struja. U elektroenergetskim sistemima, prenos elektri

č

ne energije od 

mesta gde se proizvodi do potroša

č

a vrši se prostoperiodi

č

nom strujom. Struja koja 

je u svakodnevnoj upotrebi je tako

đ

e prostoperiodi

č

na. 

U okviru ovog poglavlja bavi

ć

emo se prostoperiodi

č

nim veli

č

inama i kolima 

sa prostoperiodi

č

nim strujama i naponima. 

3.1.

Prostoperiodi

č

ne veli

č

ine 

Prostoperiodi

č

ne funkcije su sinusoidalne funkcije vremena (slika 3.1). 

Prostoperiodi

č

ne funkcije su sinusna (

sin

x

) i kosinusna funkcija ( cos

x

). Sinusna 

funkcija može se predstaviti preko kosinusne funkcije na slede

ć

i na

č

in 

sin

cos(

π

2),

sin

cos(

π

2).

x

x

x

x











 (3.1) 

Prostoperiodi

č

ne funkcije su periodi

č

ne funkcije vremena, što zna

č

i da im se 

trenutne vrednosti posle nekog vremena ponavljaju. Za svaku periodi

č

nu funkciju 

( )

f t

 postoji pozitivna veli

č

ina 

T

 takva da za svako 

t

 važi 

(

)

( ).

f t T

f t





Najmanja vrednost 

,

T

 koja ispunjava prethodnu relaciju, naziva se osnovnom 

periodom funkcije 

( ).

f t

 Periodu je najlakše odrediti kao vremenski interval izme

đ

u 

dva uzastopna maksimuma ili dva uzastopna minimuma (slika 3.1). 

Slika 3.1. Primer prostoperiodi

č

ne funkcije vremena.

Prostoperiodi

č

an napon se predstavlja u slede

ć

em standardnom obliku 

m

( )

cos(

),

u t

U

t

 





 (3.2) 

gde je 

t

 vreme, a 

m

,

U



 i 



 su konstantne veli

č

ine. 

U izrazu (3.2)  ( )

u t

 je trenutna vrednost napona. Konstanta 

m

U

 je nenegativna 

veli

č

ina i naziva se amplituda. Amplituda ima istu jedinicu kao i trenutna vrednost. 

Maksimalna vrednost napona jednaka je 

m

,

U

 a minimalna 

m

.

U



60

IZŽS i IZnR – Predavanja iz Elektrotehnike

Konstanta 



(

0)

 

 naziva se kružna u

č

estanost. Jedinica za kružnu 

u

č

estanost je radijan u sekundi ( rad s ). 

Argument kosinusa,  (

),

t

 



 naziva se faza. Za 

0

t



 faza je jednaka  .



 Zato 

se 



 naziva po

č

etna faza. S obzirom da je 

t



 izraženo u radijanima, sledi da i 



tako

đ

e treba da bude izraženo u radijanima. 

Informacije relevantne za prostoperiodi

č

ne veli

č

ine su trenutna vrednost, 

amplituda, kružna frekvencija i po

č

etna faza (slika 3.2). Sve relevantne informacije 

o prostoperiodi

č

nom naponu su sadržane u izrazu (3.2).  

Slika 3.2. Primer prostoperiodi

č

nog napona.

U SI sistemu jedinica, uglovi se mere u radijanima, a ne u stepenima. Ugao od 

jednog radijana je ugao sa temenom u centru kruga, 

č

ija je dužina luka jednaka 

polupre

č

niku kruga. S obzirom da je obim kružnice polupre

č

nika 

r

 jednak 

2

π

,

r

sledi da je u obimu sadržano  2

π

 polupre

č

nika. Prema tome, ugao od  2

π

 radijana 

odgovara punom uglu, odnosno 

2

π

360 .





 Relacije koje povezuje frekvenciju i 

kružnu frekvencije su 
 

2

π

[rad s],

f

 

 (3.3) 

i  

[Hz].

2

π

f





 (3.4) 

Jedinica za frekvenciju je herc (Hz). Osnovna perioda prostoperiodi

č

ne veli

č

ine 

jednaka je 

1

[s].

T

f



 (3.5) 

Svi uvedeni termini i definicije su u potpunosti primenljivi na bilo koju drugu 

prostoperiodi

č

nu veli

č

inu: ja

č

inu struje, elektromotornu silu, naelektrisanje, itd.  

Prostoperiodi

č

na ja

č

ina struje se predstavlja u slede

ć

em standardnom obliku 

m

( )

cos(

),

i t

I

t

 





 (3.6) 

gde je 

m

I

 amplituda, 



 kružna u

č

estanost i 



 po

č

etna faza.  

62

IZŽS i IZnR – Predavanja iz Elektrotehnike

Slika 3.4. Napon 

2

u

 kasni u odnosu na 

1

u

 za 

.

π

2

Prostoperiodi

č

ne veli

č

ine iste u

č

estanosti mogu da se porede po fazi. 

Posmatrajmo dva prostoperiodi

č

na napona iste u

č

estanosti, 

1

m1

1

( )

cos(

)

u t

U

t

 





i 

2

m2

2

( )

cos(

).

u t

U

t

 





 Za pore

đ

enje po fazi dve prostoperiodi

č

ne veli

č

ine uvodi 

se pojam fazne razlike 
 

12

1

2

1

2

(

) (

)

.

t

t



 

 

 









 

Fazna razlika o

č

igledno ne zavisi od vremena. Fazna razlika dve prostoperiodi

č

ne 

veli

č

ine jednaka je razlici njihovih po

č

etnih faza. Ako je 

12

0





 kaže se da napon 

1

( )

u t

 prednja

č

i naponu 

2

( )

u t

 za 

12

.



 To je potpuno isto kao i da se kaže da napon 

2

( )

u t

 kasni za naponom 

1

( ).

u t

 Ako je 

12

0





 tada napon 

2

( )

u t

 prednja

č

i naponu 

1

( ),

u t

 odnosno napon 

1

( )

u t

 kasni za naponom 

2

( ).

u t

Kada su prostoperiodi

č

ne veli

č

ine potpuno sinhronizovane, kao one prikazane 

na slici 3.3, njihova fazna razlika jednaka je nuli i za njih se kaže da su u fazi. 

Dve prostoperiodi

č

ne veli

č

ine razli

č

ite prirode i iste u

č

estanosti, tako

đ

e mogu 

da se porede po fazi. Posmatrajmo prostoperiodi

č

an napon 

m

( )

cos(

)

u t

U

t

 





 i 

prostoperiodi

č

nu struju 

m

( )

cos(

).

i t

I

t

 





 Fazna razlika izme

đ

u napona i struje 

ozna

č

ava se sa 

,



 i jednaka je razlici njihovih po

č

etnih faza, 

.

  

 

 (3.7) 

3.3.

Srednja i efektivna vrednost 

Srednja vrednost prostoperiodi

č

ne veli

č

ine jednaka je nuli. Ova 

č

injenica može 

da se ilustruje grafi

č

ki. Na slici 3.5 je prikazan primer prostoperiodi

č

ne veli

č

ine i 

ozna

č

ene su pozitivna i negativna poluperioda. O

č

igledno je da prostoperiodi

č

na 

veli

č

ina u pozitivnoj i negativnoj poluperiodi uzima iste vrednosti ali sa suprotnim 

znakom. Kako je pozitivna poluperioda jednaka negativnoj, srednja vrednost 
prostoperiodi

č

ne veli

č

ine jednaka je nuli. 

3. 

Prostoperiodi

č

ne struje

 63

Slika 3.5. Srednja vrednost prostoperiodi

č

ne veli

č

ine jednaka je nuli.

Za periodi

č

ne veli

č

ine uvodi se pojam efektivne vrednosti. Efektivna vrednost 

periodi

č

ne struje jednaka je vrednosti vremenski konstantne struje koja bi na istom 

otporniku disipirala istu snagu. Efektivna vrednost periodi

č

ne struje omogu

ć

ava 

pore

đ

enje izme

đ

u periodi

č

ne i vremenski konstantne struje. 

Za prostoperiodi

č

nu struju veza izme

đ

u efektivne vrednosti i amplitude je  

m

m

0,707

,

2

I

I

I





 (3.8) 

gde je 

I

 efektivna vrednost, a 

m

I

 amplituda (slika 3.6). Periodi

č

ni signali 

druga

č

ijeg oblika imaju druga

č

iji odnos izme

đ

u efektivne i maksimalne vrednosti. 

Iz izraza (3.8), amplituda prostoperiodi

č

ne struje je  2  puta ve

ć

a od efektivne 

vrednosti, 
 

m

2

1,41 .

I

I

I





 (3.9) 

Ove relacije izme

đ

u amplitude i efektivne vrednosti važe i za bilo koju drugu 

prostoperiodi

č

nu veli

č

inu (napon, elektromotornu silu, naelektrisanje, fluks itd.). 

Slika 3.6. Prostoperiodi

č

na struja i njena efektivna vrednost.

Kada se meri prostoperiodi

č

na struja ili napon, instrumenti (ampermetar ili 

voltmetar) pokazuju njihovu efektivnu vrednost. 

Kada se govori o prostoperiodi

č

noj veli

č

ini uvek se koristi njena efektivna 

vrednost. Na primer, kada se kaže da je napon u elektri

č

noj mreži 230V,  230V  je 

efektivna vrednost tog napona. Njegova maksimalna vrednost je  2  puta ve

ć

a i 

iznosi oko  325V.  

3. 

Prostoperiodi

č

ne struje

 65

3.4.

Elemeni kola u prostoperiodi

č

nom režimu 

3.4.1.

Idealan naponski generator 

Prema definiciji idealnog naponskog generatora, za referentne smerove 

elektromotorne sile i napona prikazane na slici 3.7, važi  

  ( )

( ).

u t

e t



Napon idealnog naponskog generatora jednak je elektromotornoj sili, bez obzira na 
ja

č

inu struje kroz njega.  

Trenutna snaga idealnog naponskog generatatora, za referentne smerove 

napona i struje prikazane na slici 3.7, je 

  ( )

( ) ( )

( ) ( ).

p t

u t i t

e t i t





Ako bi se referentni smer struje promenio, izraz za snagu bi dobio negativan 
predznak. 

Slika 3.7. Idealan naponski generator.

3.4.2.

Idealan strujni generator 

Prema definiciji idealnog strujnog generatora, za referentne smerove struje i 

napona prikazane na slici 3.8, važi  
 

S

( )

( ).

i t

i t



Ja

č

ina struje kroz priklju

č

ke idealnog strujnog generatora je 

S

( ),

i t

 bez obzira na 

napon na generatoru. 

Trenutna snaga idealnog strujnog generatatora, za referentne smerove napona i 

struje prikazane na slici 3.8, je 

S

( )

( ) ( )

( ) ( ).

p t

u t i t

u t i t



