Diplomski rad: Računske operacije u početnoj nastavi matematike
1. UVOD
Čovjek je uvijek imao potrebu na računa. Činjenica da je potreba za računanjem stara
koliko i samo ljudsko društvo nameće zaključak da je snalaženje čovjeka u njegovoj okolini
uslovljavalo pojavu računanja. Ni danas čovjek ne može da izađe na ulicu a da nema potrebu
da primjeni neku od računskih operacija. Računanje je sastavni dio svakodnevnog čovjekovog
života bez obzira na kojem kraju planete se nalazio i čime se bavio.
Živimo u modernom svijetu medija i dostupnosti mnogih informacija. Čak i „mala
djeca“ uspješno barataju savremenim sredstvima komunikacije, pa samim tim brže saznaju
mnoge informacije za razliku od njihovih vršnjaka prije dvadesetak i manje godina. Vrlo lako
dolazi se do mnogih sadržaja, pa tako i do sadržaja koji se izučavaju u školi. To bi trebalo da
znači i brže i samostalnije učenje. Ipak, smatram da se mnoga znanja u nastavnom procesu još
uvijek najuspješnije uče neposredno od nastavnika i da je njegova živa riječ još uvijek
neprevaziđeno ili bar neizostavno sredstvo obrazovanja i vaspitanja. Kvalitet i kvantitet tih
znanja u velikoj mjeri zavisi od profesora razredne nastave. Od toga koliko poznaje materiju
koju predaje kao i koliko je sposoban da prenese znanje učenicima zavise i njihova
postignuća. Svaki poziv, da bi se uspješno obavljao, mora da se voli i poznaje, a naročito
učiteljski poziv.
Od svog profesora matematike u srednjoj školi čula sam da “nije znanje znanje znati,
već je znanje znanje dati“. Ta zamršena rečenica često mi je padala na pamet u mom
školovanju i jedan je od razloga što sam napisala ovaj rad.
Još jedan od razloga zašto sam napisala ovaj rad je što sam u svom školovanju uvijek
izbjegavala matematiku. Smatrala sam da „nemam dara“, da nisam za svijet brojki i da je
znanje matematike privilegija samo rijetkih „štrebera“ . Bila sam u višestrukoj zabludi. Kao
prvo, ne postoji dar za matematiku, već dispozicije koje treba razvijati. Kao drugo, od nas se
ne očekuje da pravimo otkrića u matematici, već da se osposobimo da primjenjujemo njene
sadržaje u svakodnevnom životu i radu. Kao treće, matematika postoji zato što nam je
potrebna i od nje ne možemo „pobjeći“.
Moja namjera pri izradi ovog rada nije otkriti nešto epohalno, već da pomognem sebi i
svojim kolegama u budućem radu. Rad sadrži pregled računskih operacija i njihovih veza i
odnosa koji se izučavaju u početnoj nastavi matematike. Nastavni sadržaji iz matematike
raspoređeni su koncentrično. Sadržaji koji se izučavaju u jednom razredu u sledećem se
proširuju po obimu i dubini.Takođe su prikazani načini, odnosno primjeri na osnovu kojih će
učenici najlakše shvatiti programom predviđene sadržaje.
2
Diplomski rad: Računske operacije u početnoj nastavi matematike
2. CILJ I ZADACI NASTAVE MATEMATIKE
Cilj matematike kao nastavnog predmeta je sticanje znanja, vještina i navika, razvijanje
mišljenja, kao i doprinos izgrađivanju pozitivnih osobina ličnosti. Znanja iz matematike koja
učenici stiču u nastavi matematike su naučna znanja koja su prerađena (didktičko – metodički
oblikovana) kako bi ih učenici različitih uzrasta što uspješnije usvojili.
U razrednoj nastavi iz nastavnog predmeta matematike učenici treba da:
- usvoje sistem određenih matematičkih znanja i umijeća neophodnih za shvatanje
pojava i zakonitosti u prirodi i društvu , za aktivnu spoznajnu djelatnost u procesu učenja, za
uspješno nastavljanje matematičkog obrazovanja i samoobrazovanja;
- steknu osnovnu matematičku kulturu potrebnu za otkrivanje uloge i primjene
matematike u različitim područjima čovjekove djelatnosti;
- steknu sposobnost usmenog i pismenog matematičkog izražavanja sa svim njegovim
kvalitetima (jasnost, preciznost, jednostavnost, konciznost, potpunost, idt.);
- osposobe se za primjenu usvojenih znanja u rješavanju raznovrsnih zadataka iz životne
prakse;
- steknu znanja neophodna za razumijevanje kvantitativnih i prostornih odnosa i
zakonitosti u raznim pojavama u prirodi, društvu i svakdnevnom životu;
- usvoje osnovne činjenice o skupovima, relacijama i preslikavanjima;
- savladaju osnovne operacije sa prirodnim brojevima kao i osnovne zakone tih
operacija;
- upoznaju najvažnije ravne i prostorne geometrijske oblike i njihove uzajamne odnose;
- razviju sposobnost posmatranja, opažanja i logičkog, kritičkog, stvaralačkog i
apstraktnog mišljenja;
- formiraju naučni pogled na svijet.
Zadatke nastave matematike možemo grupisati:
- u obrazovne (materijalne) zadatke (odnose se na sticanje znanja: nabrojiti, nacrtati,
razlikovati, skicirati, konstruirati, imenovati, izreći, izabrati, izračunati, riješiti, primjeniti
(pravilo, algoritam)
- funkcionalni zadaci (odnose se na razvijanje raznovrsnih sposobnosti, vještina i navika -
psihomotoričkih ili operativnih i mentalnih: komunikativnost, pismeno i usmeno izražavanje,
matematičko mišljenje, logičko mišljenje, intuicija, kreativnost...)
- vaspitni zadaci (odnose se na razvijanje pozitivnih osobina: istrajnost, marljivost, radna
disciplina, urednost, osjećaj za lijepo, samostalnost, rad u grupama, kritički odnos prema radu
i rezultatima vlastitog rada.
Ovi ciljevi i zadaci se ostvaruju izborom adekvatnih nastavnih sadržaja iz matematike u
svim razredima razredne nastave. Taj izbor vrše određene pedagoške institucije uzimajući u
obzir uzrast učenika, ciljeve i zadatke nastavnog pedmeta, aktuelne tendencije u obrazovanju.
Zatim ulogu preuzima učitelj, nastavnik ili profesor razredne nastave realizujući nastavu
matematike na najoptimalniji način. To čini izborom najprikladnijih oblika rada, metoda i
nastavnih sredstava.
3
Diplomski rad: Računske operacije u početnoj nastavi matematike
Aktivnosti mogu biti individualne i kolektivne. Razvijanje psihofizičkih sposobnosti
moguće je samo njihovim aktiviranjem. U početnoj nastavi matematike koriste se različite
vrste učenickih aktivnosti: intelektualne, verbalne, motoričke, grafičke.
Uloga učitelja je da omogući učenicima da sami onoliko koliko mogu otkrivaju:
zakonitosti, pravila, svojstva, da apstrahiraju i generaliziraju. Primjer: zadaci tipa izracunaj:
6 + 8 =, 16 – 9 =, 12 ∙ 2 = i sl. ne zahtijevaju veću aktivnost i brzo zamore. Dok zadaci tipa:
dopuni tako da jednakost bude tačna:
6 +
= 14,
- 9 = 7, 12 ∙
= 36, 83 =
∙ 4 i sl. su produktivniji.
Pridržavati se
načela individualizacije
znači uvažavati individualne sposobnosti i
interesovanja svakog pojedinog učenika. Uslovi učenja prilagođavaju se subjektima koji uče.
Medju subjektivnim svojstvima najvažnija su: psihofizičke sposobnosti i predznanje učenika.
Značajna pretpostavka individualizacije je poznavanje individualnih razlika medju učenicima.
Individualizacija se najčešće provodi nastavnim listićima, diferenciranom nastavom,
diferenciranim izlaganjem nastavnog gradiva.
Nastavni listići su skup zadataka namijenjenih samostalnom radu učenika ili grupe
učenika sličnog polaznog statusa, odnosno nivoa i struktura znanja (tri kategorije:
ispodprosječni, prosječni, nadprosječni).
Individualizacija diferenciranom nastavom postiže se različitom količinom i
složenošću zahtjeva postavljenog trima grupama učenika. Time se ublažavaju slabosti
prilagodjene samo jednoj skupini učenika (programirana nastava).
Individualizacija se postiže i diferenciranim izlaganjem nastavnog gradiva, ali i
različitim razgovornim pristupom učenicima tokom izlaganja.
Načelo postupnosti (i sistematičnosti)
uslovljeno je činjenicom da se određeno gradivo
ne može shvatiti ako nije usvojeno gradivo koje mu prethodi.
Didaktički principi koji karakterišu postupnost su:
- od lakšeg ka težem
- od jednostavnog ka složenom
- od poznatog ka nepoznatom
- od konkretnog ka apstraktnom.
Načelo od poznatog ka nepoznatom vrijedi bez izuzetka. Nova znanja stiču se jedino
pomoću poznatih, već usvojenih znanja. Na primjer, ne možemo računati u skupu brojeva do
100, a da se ne oslanjamo na znanja stečena u računanju u skupu brojeva do 20.
Sabiranje u skupu brojeva do 100 provodimo u 3 koraka:
1. sabiranje desetica (10+10+10, 20+30...)
2. sabiranje dvocifrenih brojeva kada broj jedinica ne prelazi 10
3. sabiranje dvocifrenih brojeva sa prelazom desetice.
Osnovni matematički pojmovi izvode se iz
objektivne stvarnosti
. Na primjer, pojam
prirodnog broja je zajedničko svojstvo raznovrsnih, jednakobrojnih skupova. Zasnivajući
formiranje matematičkih pojmova na objektivnoj stvarnosti osiguravaju se uslovi za primjenu
matematičkog znanja u realnom svijetu.
U nastavnim programima matematike uz svaku temu navodi se korelacija s drugim
nastavnim predmetima. Na primjer, povezujuci zapise računskih operacija uz odgovarajuću
realnost, postupno se shvata smisao i značenje zapisa (apstraktno).
5
Diplomski rad: Računske operacije u početnoj nastavi matematike
Načelo naučnosti
nastave matematike sastoji se u nužnom skladu nastavnih sadržaja i
nastavnih metoda s jedne strane i zahtjeva i zakonitosti matematike kao nauke s druge strane.
To znači da nastavnik matematike treba učenike upoznavati s onim činjenicama i u njihovom
mišljenju formirati one matematičke pojmove koji su danas naučno potvrđeni. Nastava
matematike mora biti takva da omogućuje daljnja produbljivanja i proširivanja gradiva i
prirodan nastavak matematičkog obrazovanja na višem nivou.
Nacelo naučnosti se narušava kada se rade pogreške tipa:
1. 2 + 3 = 5m (zbir neimenovanih brojeva ne može biti imenovani broj)
2. 4 + 9 – 5 = 13 = 8 (zloupotreba znaka jednakosti da bi se ubrzao proces rješavanja zadatka)
3. 4 + 2 ∙ 5 = 30 (greška u redoslijedu računskih operacija).
Neki matematički sadržaji su složeni (teški) i za njihovo razumijevanje potreban je veći
umni napor.Učenici se često prema tome odnose površno, ne uočavaju problem, pa ne ulažu
napor potreban za razumijevanje, jer im se sve čini jasnim. Ta jasnoća potiče od nedostatka
razumijevanja.
Šta učiniti kada učenici ne primjećuju problem?
Treba primjeniti
načelo problemnosti
: Najprije učiniti nejasnim, a zatim jasnim.
Tim se problemom bavio i Sokrat. Postavio je dječaku zadatak da odredi dužinu stranice
kvadrata koji ima dvostruko veću površinu od nacrtanog kvadrata.
Dječak je mislio da zna rješenje. Kad je spoznao da ne zna želio je to promijeniti (izazov,
motivacija, interes).
Navedena načela čine jednu cjelinu, nema najvažnijeg niti nebitnog načela. Smisao
njihovog postojanja je zajednička primjena u nastavi matematike.
6
Diplomski rad: Računske operacije u početnoj nastavi matematike
5. SPECIFIČNOSTI MATEMATIČKOG OBRAZOVANJA U RAZREDNOJ
NASTAVI
Obrazovanje je proces koji se sastoji u sticanju znanja, vještina i navika. Znanje
podrazumijeva sistem naučnih činjenica, pravila i zakona o prirodi, društvu i čovjeku.
Cjelovito znanje je usvojenao sa razumijevanjem uzročno-posljedičnih veza i sistematsko-
logičkom povezanošću činjenica. Nova znanja se na njega oslanjaju i iz njega izviru. Ona se
usvajaju svjesnim i namjernim misaonim angažovanjem.
Matematika, kao svaki nastavni predmet ima određene specifičnosti u obrazovanju, koje
treba metodički prihvatiti i razvijati. Obrazovanje u matematici sastoji se u posrednom
saznanju objektivnog svijeta pomoću brojeva, njihovog odnosa i prostorne veličine.
Značaj matematičkog obrazovanja sastoji se u formi znanja, misaonosti i aktivnosti.
Znanja iz matematike treba najprije shvatiti, zatim uopštiti i mehanizovati kako bi se dalje
svrsishodno koristila. Da bi se u tome uspjelo potrebno je poštovati didaktičke principe i
pravila (postupnost i sistematičnost, očiglednost i apstraktnost i dr.).
Osnovne metode matematičkog mišljenja su:
analiza
sinteza
indukcija
dedukcija
analogija (Kovačević, 2009).
Misaono angažovanje u nastavi matematike podrazumijeva sređivanje činjenica u
sistem matematičkih znanja, umijeća i navika. Dječija misaonost je intenzivnija ukoliko je
vezana posmatranje matematičkih veličina i njihovog odnosa izraženog brojevima, linijama,
površinama. „Radi intenziviranja misaonosti, matematičko obrazovanje treba da se izvodi
sledećim putevima saznanja u procesu nastave matematike: indukcija – dedukcija,
diferencijacija, identifikacija i zaključivnje – definisanje“(Lekić,1993 str.334).
Analiza
je put sticanja znanja raščlanjivanjem neke cjeline na njene dijelove.
Sinteza
je objedinjavnje različitih elemenata u jednu cijelinu. Analizom i sintezom rješavaju
se mnogi problemi u matematičkom obrazovanju.
Primjer:
246 = 2 ∙ 100 + 4 ∙ 10 + 6 ∙ 1
+153 = 1 ∙ 100 + 5 ∙ 10 + 3 ∙ 1
3 ∙ 100 + 9 ∙ 10 + 9 ∙ 1 = 300 + 90 + 9 = 399
Indukcija i dedukcija
su dva suprotna logička postupka u procesu saznanja. Indukcija je
put saznanja od pojedinačnog ka opštem, od primjera ka pravilu.
Primjer induktivnog zaključivanja:
4 + 3 + 1 = 8; 1 + 4 + 3 = 8; 3 + 1 + 4 = 8; Zaključak: Ako sabirci zamijene mjesta zbir se
neće promijeniti.
8
