3. M
A
T
E
M
A
T
I
ý
K
I M
O
D
E
L
I R
E
A
L
N
IH
R
E
A
K
T
O
R
A
P
ro
tic
an
je
flu
id
a
kr
oz
re
aln
e
he
m
ijs
ke
re
ak
to
re
m
ožž
e
se
m
ate
m
ati
þ
ki
opisati
korišš
ü
en
jem
složženijih
modela
koji
sadržže
dva
ili
vi
šše
p
ar
am
eta
ra
.
V
re
dn
os
ti
pa
ra
m
eta
ra
modela
predstavljaju,
na
odredjeni
na
þ
in,
karakteristiku
realnog
pro
cesa.
U
ovom
poglavlju
je
da
t p
rik
az
n
ek
ih
, d
os
ta
k
or
išš
ü
en
ih
, v
išše
pa
ra
m
eta
rs
kih
d
ete
rm
in
ist
i
þ
kih
m
od
ela
.
3.1
. K
as
k
ad
a o
d
n
-s
ek
cij
a s
a i
d
ea
ln
im
m
ešš
an
je
m
S
im
ula
cij
a r
ea
ln
ih
p
ro
ce
sa
se
þ
esto
zasniva
na
korišš
ü
enju
ovog
m
odela
i
odredjivanja
njegovih
param
etara:
N-broj
sekcija
i
-
srednje
vrem
e
zadržžavanja
.
Karakteristike
ralnog
reaktora
ili
drugog
ured
jaja
se
u
tom
slu
þ
aju
uporedjuju
sa
oni
m
ko
je
ima
k
as
ka
da
o
d
N
-
se
kc
ija
is
te
z
ap
re
m
in
e. U
ku
pn
a z
ap
re
m
in
a k
as
ka
de
i s
re
dn
je
v
re
m
e z
ad
ržž
av
an
ja
iz
no
se
:
W
vV
V
N
V
k
i
k
/
i
-
˜
W
(1)
P
or
ed
je
nje
m
k
riv
e
od
ziv
a
na
iz
az
va
ni
po
re
m
e
ü
aj
u
realnom
reaktoru
i
RVZ
m
odel
a,
odredjuju
se
param
etri
m
odela.
Gusti
nu
RVZ
m
odela
kaskade
od
N-sekcije
m
ogu
ü
e
je
teorijski
izvesti
reššavanjem
bilansa
m
ase
za
svaku
sekciju
u
nizu:
>
n
n
n
i
CC
V
dt
dC
V
1
@
(2)
Jed.
(2)
izražžena
u
redukovanim
vrednostim
a
vrem
ena
je:
N
N
N
CC
d
dC
N
1
1
T
(3)
gde
je
:
C
N
=C
N
/C
o
,
redukovana
koncenstracija
r
ed
uk
ov
an
o v
re
m
e a
C
o
p
o
þ
etn
a
koncentracija
obeležživa
þ
a
trenutno
dodatog
u
obliku
im
pul
snog
signala
u
prvu
sekciju.
tt
/
T
)0
(
˜
˜
t
v
VC
C
k
o
o
G
(4
)
i C
o
-
k
on
ce
ntr
ac
ija
d
od
ato
g o
be
le
žživ
a
þ
a kada bi se isti rasporedio po celoj zaprem
ini niza.
R
ešš
en
je
je
d.
(4
)
pr
im
en
om
L
ap
lace-ove
transform
acije
sa
odgovaraju
ü
im
po
þ
etnim
uslovim
a (
T
=0, C
N
=0)
je
:
N
N
N
sN
N
sC
)(
)(
(5
)
I
nv
er
zn
a v
re
dn
os
ti p
re
no
sn
e f
un
kc
ije
m
od
ela
, (Laplace-ova
transform
acija)
je
funkcija
GRVZ
)
exp(
)!1
(
1
T
T
N
N
N
C
C
EC
N
N
o
N
(6
)
O
dg
ov
ar
aju
ü
a
funkcija
RVZ
se
iz
vodi
analizom
o
dz
iv
a n
a i
za
zv
an
u s
te
pe
na
stu
prom
enu
ili,
jednostavno
, na
osnovu
veze
izm
edju
F
i
E
funkcije
(vid
i pr
vi
þ
lanak
ove
serije).
»
¼
º
«
¬
ª
)!1
(
)(
......
!2
)(
1
)
exp(
1
1
2
`
`
N
N
N
NN
C
C
F
N
o
N
T
T
TT
(7
)
G
ra
fi
þ
ki
prikaz
funkcije
E
i
F
dat
je
na
sl.
1
za
razli
þ
ite
vr
edn
osti
bro
ja
se
kcija
(N
).
Sl. 1-
E
i
F
fu
nk
cij
e z
a k
as
ka
du
o
d N
s
ek
cij
a
Pove
ü
anjem
N
sm
anjuje
se
rasipanje
vrem
ena
zad
ržžavanja
oko
srednje
vrednosti
koje
iznosi
³
f
0
v
V
t
dt
tE
t
k
t
E
(8
)
G
ra
ni
þ
ni
slu
þ
aj
ovog
modela
kada
N
of
o
dg
ov
ara
m
od
elu
r
eaktora
sa
idealnim
klipnim
strujanjem
.
3.2
. K
om
b
in
ov
an
i m
od
eli
3.2.1
Proto
þ
ni
reaktor
sa
idealnim
meššanje
m
sa
zastojnom
zono
m
i
neposrednim
p
ro
tic
an
je
m
f
lu
id
a
S
kic
a o
vo
g m
od
ela
je
p
rik
az
an
a n
a s
l. 2
.
Sl.
2-
Kombinovani
model
Da
bi
se
izvela
odgovaraju
ü
a
funkcija
RVZ
potrebno
je
analizir
ati
bilans
m
ase
kao
odziv
na
trajno
izazvanu
prom
enu
koncentracije
obeležživa
þ
a
u
ulaznom
toku.
Bilans
m
ase
koji
se
odnosi
na
zonu
reaktora
sa
idealnim
m
eššanje
m
je:
dt
dC
V
vC
vC
m
o
`
`
`
ED
D
(9
)
Trenutnom
prom
enom
koncentracije
obeležživa
þ
a
od
=0
na
vrednost
z
a t
=
0, šš
to
predstav
lja
po
þ
etne
uslove
za
reššavanje
diferencijalne
jedna
þ
ine
(9),
koncentracija
obeležživa
þ
a
u
fluidu
koji
napuššta
zonu
sa
idea
lnim
m
eššanjem
je
slede
ü
a f
unkcija vrem
ena:
`
o
C
`
o
C
» »
¼
º
« «
¬
ª
¸ ¸
¹
·
¨ ¨
©
§
,
`
exp
1
`
m
o
t
t
CC
E
D
(1
0)
pri
þ
em
u
je
kontaktno
vrem
e
t
m
=
V
m
/v
predstavljeno
odnosom
ukupne
zaprem
ine
reaktora
i
zaprem
inskog
protoka
reakcione
sm
ešš
e.
Da
bi
doššli
do
funkcije
RVZ
pot
rebno
je
analizirati
prom
enu
koncentracije
n
a i
zla
zu
, d
o k
oje
s
e d
ola
zi n
a o
sn
ov
u b
ila
ns
a m
ate
rij
aln
ih
t
ok
ov
a
za
ta
þ
ku A (sl. 2).
`
1
C
¸ ¸
¹
·
¨ ¨
©
§
m
o
t
t
t
C
C
F
E
D
D
exp
1
`
`
1
(11)
D
ife
re
nc
ira
nje
m
iz
ra
za
z
a F
t
po vremenu dolazi se
do funkcije gustine RVZ (E
t
)
¸ ¸
¹
·
¨ ¨
©
§
m
m
t
t
t
t
E
E
D
E
D
2
(1
2)
O
vo
je
o
pšš
ti
iz
ra
z n
a o
sn
ov
u
ko
je
g
je
m
og
u
ü
e
izvesti
odgovaraju
ü
e
F
t
i
E
f
un
kc
ije
z
a
druge
jednostavnije
m
odele,
kao
npr.
D
E
Model
F
t
E
t
D
= 1 O<
E
<1
Reaktor
sa
idealnim
me
šš.
i z
as
to
jn
om
zonom
m
t
t
e
E
1
m
t
t
m
e
t
E
E
1
O<
D
<1
E
= 1
Reaktor
sa
idealnim
me
šš.
i n
ep
os
re
dn
im
proticanjem
m
t
t
e
D
D
1
m
t
t
m
e
t
D
D
2
3.2
.2
. I
d
ea
ln
i c
ev
n
i r
ea
k
to
r p
ov
ez
an
s
a r
ea
k
to
ro
m
s
a i
d
ea
ln
im
m
ešš
an
je
m
Zaprem
inu
ovakvog
niza
prestavlja
zbir
zap
rem
ina
zom
e
sa
klipnim
strujanjem
(V
c
)
i
zone
u
kojoj
dolazi
do
idealnog
m
eššanja
(V
m
):
rr
mc
r
VV
VV
V
E
E
)1
(
K
ao
i
u
pr
eth
od
no
m
slu
þ
aju,
do
funkcije
RVZ
dol
azi
se
na
osnovu
pra
ü
enja
koncentracije
u
izlazno
m
toku
na
izazvanu
trajn
u prom
enu
koncentracije
obeležživ
a
þ
a
na
ulazu
u
trenutku
t=0.
Nova
koncentracija
ü
e
se
pjaviti
na
ulazu
u
zonu
sa
idealnim
m
eššanjem
posle
vrem
ena
koje
odgovara
kontaktnom
vr
em
en
u z
on
e s
a k
lip
nim
st
ru
ja
nje
m
.
`
o
C
v
V
t
r
c
)1
(
E
Sl. 3. - Cevni reaktor i
reaktor
sa
idealnim
meššanjem
u
nizu
Na osnovu bilansa m
ase za zonu sa idealnim
m
eššanjem
,
dt
dC
V
vC
t
t
vC
r
c
o
`
1
`
1
`
)(
E
N
(1
3)
gde
je
:
-
H
ea
vis
id
e-
ov
a j
ed
in
i
þ
na
funkcija,
koja
ukazuje
na
þ
injenicu
da
je,
zbog
postojanja
idealnog
klipnog
strujanja
u
zoni
zaprem
ine
V
e
, signal
koji
se
pojavljuje
na
ulazu
u
zonu
sa
idalnim
m
eššanjem
neprom
enjen
po svom obliku, ali pom
eren za vrem
e
.
)
(
c
tt
+
c
t
R
ešš
en
je
d
ife
re
nc
ija
ln
e j
ed
na
þ
ine
(13)
je:
»
¼
º
«
¬
ª
¸ ¸
¹
·
¨ ¨
©
§
)1
(
1
exp
1
`
`
1
E
E
m
o
t
t
t
C
C
F
(1
4)
M
od
elo
lo
m
se
, t
ak
od
je
, p
re
tp
os
ta
vlj
a k
on
sta
ntn
a b
rz
in
a p
ro
tic
an
ja
f
luida
kroz
cev
i,
u
slu
þ
aju
m
alog
radijalnog
m
eššanja,
konstantna
koncentracija
obeležživa
þ
a
po
popre
þ
nom
preseku
cevi.
Intenzitet
disperzije
unutar
cev
i je,
prem
a
usvojenom
stavu,
konstantna
veli
þ
ina,
ššto
predpostavlja
da
ne
dolazi
do
pojave
zona
b
ez
s
tru
ja
nja
(
za
sto
jn
e
zone),
niti
direktnog
proticanja
fluida
bez
zadržžavanja
.
Prom
enom
vrednosti
param
etara
D
L
,
mogu
ü
e
je
karakteristike
ispitivanog
sistem
a
(cev,
sud,
kolona
i
sl.)
uporediti
sa
idealnim
modelim
a
(klipno
strujanje
kada
je
D
L
=0
ili
ide
alno
m
eššanje
kada
je
D
L
=
f
).
K
oe
fic
ije
nt
ak
sij
aln
e
dis
pe
rz
ije
,
ko
ji
je
d
ale
ko
z
na
þ
ajniji
od
koeficijenta
radijalne
disperzije,
obuhvata
dva
m
ehaniz
m
a
m
eššanja:
meššanje
usled
m
olekulsk
e
difuzije
i
m
eššanje
koje
je
posledica
turbulentnog
strujanja.
Kako
se
oba
ova
fenom
ena
karakteriššu
jednim
param
etrom
,
i
kako
se
disperzionim
m
odelom
ukazuje
na
analogiju
m
eššanja
u
realn
im
reaktorim
a
sa
difuzijom
(Fic
k-ov
zakon
difuzije)
i
to
se
þ
esto
definišše
kao
efektivni
koe
fi
cij
ent
di
sp
er
zi
je
D
L
, sa
jedinicam
a m
2
/s,
kao
i koef
icije
nt
m
olekulske
dif
uzije.
Razlika
je
u
tom
e,
da
je
D
L
,
po
veli
þ
ini
zn
atno
ve
ü
e
od
D
k
oe
fic
ije
nta
m
ole
ku
lsk
e d
ifu
zij
e, šš
to
j
e, p
re
svega,
posledica
turbulentnog
strujanja.
R
az
vij
an
je
m
p
oje
din
ih
þ
lanova
jed.
(17)
dobija
se
pa
rcijalna
diferencijalna
jedna
þ
in
a
drugog reda:
OS
x
C
D
x
C
u
t
C
i
i
L
i
i
w
w
w
w
w
w
2
2
(1
8)
s
a
þ
lanom
S
i
koji
je
za
im
pulsno
dodatu
koli
þ
inu
obeležživa
þ
a,
ravnomerno
po
popre
þ
nom
preseku definisan jedna
þ
inom
,
)(
)
(
o
o
o
i
xx
t
t
L
C
S
˜
˜
GG
(1
9)
K
or
ist
e
ü
i
redukovane
vrednosti
koncentracije,
vrem
ena
i
rastojanja
iz
jed.
(18)
se
dobija
:
)
z-
(z
)
0
(
o
2
2
GT
G
T
w
w
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
w
w
z
C
uL
D
z
CC
L
(2
0)
u
kojoj
su:
z=x/L,
redukovano
ra
stojanje
dužž
cevi
dužžine
L;
,
redukovano
vrem
e
koje
predstavlja
odnos
vrem
ena
i
nom
in
alnog
vrem
ena
zadržžavanja
fluida
u
cevi
dužžine
L
; C
=C/C
o
o
dn
os
k
on
ce
ntr
ac
ije
obele
žživa
þ
a
u
cevi
u
preseku
x=L
i
kon
centracije
C
o
u
cevi u m
omentu njegovog dodavanja.
Lu
t
t
t
//
˜
T
P
ar
am
eta
r
D
L
/(uL)
se
u
lite
ratu
ri
naziva
disperzion
i
br
oj
posude
(reak
tora,
O.
Levenspie
l)
ili
njegova
recip
ro
þ
na
vrednost
Peclet-ov
broj
(uL/D
L
).
Neko
ovaj
kriterijum
definišše
i
kao
Bodensteinov-ov
bro
j
ali
se
pr
i
tom
e
naj
þ
ešš
ü
e
um
esto
koef
icijen
ta
ak
sija
lne
disperzije usvaja vrednost koefi
cijenta
m
olekulske
difuzije
D
(uL/
D
),
odakle
se
uo
þ
av
a razlika
izm
edju
jednog
i
drugog
naziva.
L
evensipiel
je
p
re
dlo
žžio
d
a s
e b
ez
dim
en
zio
na
g
ru
pa
k
oju
definišše
kao
disperzioni
broj
reaktora
m
o
ÿ
e
pom
nožžiti
odgovaraju
ü
im
geom
etr
ijsk
im
faktorom
da
bi
se
za
posebne
slu
þ
ajeve
disperzionog
m
eššanja
u
reaktorim
a
sa
nepokretni
m
punjenjem
(
þ
estice
katalizato
ra)
dob
io
m
odifikovan
disperzio
ni
broj:
(
D
L
/ud
p
)=
(D
L
/uL).(geom
etrijski
odnos)=
(D
L
/u
L)(L/d
p
)
gde
je
d
p
-
p
re
þ
nik
þ
estica punjenja kolone, a L dužžina napunjene cevi
R
ešš
en
je
je
d.
(2
0)
, k
oje
p
re
ds
ta
vlj
a f
un
kc
iju
G
R
V
Z
,
zavisi
od
postavljenih
po
þ
et
ni
h
i
grani
þ
nih uslova,
Levenspiel
i
Sm
ith
su
izveli
reššenje
za
dvostruko-beskona
þ
nu
c
ev
(-
f
, +
f
)
na
osnovu
po
þ
etnih
i grani
þ
nih uslova:
C
(
z, 0
) =
0
C
(
+
f
,
4
)
=
kona
þ
na vrednost
(21)
C
(
-
f
,
4
)
=
kona
þ
na vrednost
P
rv
i
us
lo
v
(p
o
þ
etn
i
uslov
jer
važži
za
T
=
0
, o
dn
os
no
t
=
0 s
e o
dn
os
i n
a k
oli
þ
inu
obeležživa
þ
a,
koja
se
na
la
zi
u
sudu
(is
pitiv
anom
delu
c
ev
i) p
re
n
je
go
vo
g d
od
av
an
ja
. D
ru
ga
d
va
grani
þ
na
uslova
se
odnose
na
koli
þ
inu
obeležživ
a
þ
a
koja
je
dodata
i
na
m
asu
obeležživa
þ
a
ko
ja
je kona
þ
na.
Opššte
reššen
je
jed.
(20
) je
:
»
¼
º
«
¬
ª
¸
¹
·
¨
©
§
T
T
ST
T
4
)(
exp
2
1
),
(
2
5,
0
z
Pe
Pe
ZC
(2
2a
)
a posebno za presek x=L u kom
e se
m
eri
konce
ntrac
ija
ob
eležživa
þ
a,
tj.
kada
je
z=1
glasi:
»
¼
º
«
¬
ª
¸
¹
·
¨
©
§
T
T
ST
T
4
)1
(
exp
2
1
),
1(
2
5,
0
Pe
Pe
CE
(2
2b
)
O
bli
k k
riv
e G
R
V
Z
z
a r
az
li
þ
ite
vrednosti
param
etra
Pe
=
(u
L/D),
tj.
disperzionog
broja
suda
prikazan
je
na
sl.6.
zajedno
sa
odgovaraju
ü
om
fu
nkcijom
RVZ
Sl.
6.
-
F
i
E
funkcije disperzionog m
odela
Do
analiti
þ
kog
izraza
funkcije
R
V
Z
se
m
ožž
e
do
ü
i
analizom
odziva
na
izazvanu
stepenas
tu
pr
om
enu
pri
þ
em
u se na osnovu po
þ
etnih i grani
þ
nih
uslova
¯ ®
t
f
tf
¯ ®
!
0
t
x
za
O
0
t
-
x
za
C
`
0
t
0,
x
za
C
0
t
0,
x
za
O
`
`
o
`
o
C
C
(2
3)
dobija
zavisnost
F
t
od vrem
ena
» »
¼
º
« «
¬
ª
¸ ¸
¹
·
¨ ¨
©
§
tD
ut
x
erf
C
C
F
L
o
t
4
1
2
1`
`
(2
4)
³
˜
x
o
y
dy
e
erfx
2
2
S
je
fu
nkcija
grešške
þ
ije
su
vrednosti
date
tab
li
þ
no
z
a r
az
li
þ
ite
vrednosti
argum
enta
x.
Takodje
je
e
rf
(-x
)=
-e
rf(
x)
.
3.3
.1
. D
isp
er
zio
n
i m
od
el -
m
alo
o
dstupanje od klipnog strujanja
U
ko
lik
o
je
o
ds
tu
pa
nje
o
d
id
ea
ln
og
k
lip
no
g
str
uja
nja
m
alo
, k
riva
o
dz
iva
n
a
im
pu
lsn
u
prom
enu
koncentracije
obeležživa
þ
a,
odnosno
funkcija
GRVZ
je
sim
etri
þ
na
i
po
obliku
odgovara
Gauss-ovoj
krivi
norm
alne
raspodele
slu
þ
ajne
veli
þ
ine.
U
tom
slu
þ
aju
rasipanje
krive
oko
sr
ednje
vr
edn
osti
zavis
i o
d inten
ziteta
aksijaln
e
disperzije
i za
(
D
/u
L
)<
0,0
1 f
un
kc
ija
gustine RVZ je:
»
¼
º
«
¬
ª
¸
¹
·
¨
©
§
4
)1
(
exp
2
1
2
5,
0
T
S
Pe
Pe
E
(2
5)
3.3
.2
. D
isp
er
zio
n
i m
od
el -
v
eli
k
o o
ds
tu
p
an
je
od
klipnog
proticanja
-
(D/uL)
>0,01
U
ko
lik
o j
e i
nte
nz
ite
t a
ks
ijalne
disperzije
veliki,
od
govor
na
trenutno
dodat
obeležživa
þ
u
preseku
x=x
o
k
oji
s
e m
er
i n
a r
as
to
ja
nju
x
=
L
, pre
svega
u
m
nogom
e
zavisi
od
grani
þ
ni
h
uslova
na
m
estu
dodavanja
odnosno
m
erenja
obeležživa
þ
a.
V
an
d
er
L
aa
n j
e p
os
ta
vio
o
va
j p
ro
ble
m
ta
þ
nog
definisanja
grani
þ
nih
uslova
tako
ššto
je
posm
atrao
strujanje
u
cevi
beskona
þ
ne
dužžine
uz
prom
enu
vrednosti
koeficijenta
aksijalne
disperzije (sl. 7).
Sl. 7 –– Grani
þ
ni
uslovi
za
mesta
dodavanja
i merenja koncentracije obeležživa
þ
a
Ispitivani
deo
cevi
dužžine
L
ograni
þ
en
je
sa
obe
strane
s
ek
cij
am
a a
i b
b
es
ko
na
þ
ne
dužžine,
pri
þ
em
u
je
aksija
lna
dispe
rzija
u
ovim
delovim
a
cevi
def
inisa
na
koef
icije
ntim
a
D
L,
a
,
odnosno
D
L,b
,
za
razliku
od
koeficijen
ta
aks
ijalne
disperzije
D
L
u
nu
ta
r i
sp
iti
va
no
g d
ela
c
ev
i. R
ešš
en
je
ovog
problem
a
dobijeno
je
u
obliku
prenosne
funkcije
m
odela,
dok
njen
inverzni
oblik
ili
fu
nk
cij
u G
R
V
Z
n
ije
m
og
u
ü
e
odred
iti.
N
a o
sn
ov
u o
vo
g o
pšš
te
g s
lu
þ
aja
m
ogu
se
analizirati
i
odgovaraju
ü
i
po
se
bni
slu
þ
ajev
i
u
literaturi
definisani
pomo
ü
u
"otvo
re
nih"
i "z
atvorenih"
grani
þ
nih
oblassti
za
koje
važže
slede
ü
e
definicije.
G
ra
ni
þ
ni
uslovi
se
odnose
na
m
esto
gde
se
dodaje
obeležživa
þ
(
ula
z)
, o
dn
os
no
m
es
to
gde
se
m
eri
koncentracija
obeležživa
þ
a
(izlaz).
Otvoreni
grani
þ
ni
uslovi
na
ulazu,
odnosno
izla
zu
pr
im
enjuju
se
u
slu
þ
ajevim
a
kada
se
ispituje
protican
je
fluida
kroz
cevovod
ili
kolonu,
a
popre
þ
ni
pr
esek
na
ovim
m
esti
m
a
nije
razli
þ
it
u
odnosu
na
popre
þ
ni
presek
cevi.
Kada
je
ulazna
obla
st
sužžena,
pr
etpos
tavlja
se
da
fluid,
ili
u
užžem
sm
islu
obeležživ
a
þ
,
koji
jednom
dospe
u
sud
ne
napuššta
isti
m
ehanizm
om
disp
erznog
m
eššanja.
Zatvo
rena
izlazna
oblast
se
odnosi
na
slu
þ
aj
kada
je
popre
þ
ni
presek
u
kom
e se
m
eri
izlazna
koncen
tracija
su
žžen,
tako
da
se
fluid
(obeležživa
þ
),
koji
jednom
napusti
sud,
ne
vra
ü
a
u
sistem
m
ehanizm
om
aksijaln
e
disperzije.
P
re
no
sn
e
fu
nk
cij
e
dis
pe
rz
io
no
g
mo
de
la
F
(s
),
za
n
av
ed
en
e
gr
an
i
þ
ne
uslove
koji
su
ššem
atski
prikazani
na
slici
8,
m
ogu
se
i
sk
or
ist
iti
u
c
ilj
u o
dr
ed
jiv
an
ja
D
L
,
odnosno
intenziteta
disperzionog
m
eššanja:
otvoreno-otvoren D.M
»¼ º
«¬ ª
)1
(
2
exp
1
)(
E
E
Pe
sF
(2
6)
zatvoreno-otvoren ili otvoreno-zatvoren D.M.
»¼ º
«¬ ª
)1
(
2
exp
1
2
)(
E
E
Pe
sF
(2
7)
zatvoreno-zatvoren D.M.
)
exp(
)
1(
)
1(
)1
(
2
exp
4
)(
2
2
E
EE
E
E
˜
»¼ º
«¬ ª
Pe
Pe
sF
(2
8)
gde
su:
E
=
(
1+
s
T
/P
e)
0,
5
Pe=u L/D
L
T
= L/u
F(s), Laplace-ova transf
orm
acija funkcije GRVZ:
(2
9)
³
f
0
)(
T
T
d
Ee
s
F
s
jed.
(18)
-
disperzioni
m
odel
gde
su
drugi
i
tre
ü
i
þ
lan
na
levoj
strani
razvijeni
u
Taylor-ov
red
koriste
ü
i
aproksim
aciju
prvog
reda,
odakle
sledi
identi
þ
nost
oba
m
odela
i
param
etara
kojim
a
se
definiššu,
izaražžena
u
ob
liku:
)(
)(
2
zu
D
odnosno
z
D
z
u
L
L
'
#
'
|
'
˜
D
D
(3
6)
U
su
ššti
ni
se
d
va
p
otp
un
o
ra
zli
þ
ita
m
ehanizm
a
strujanja,
povratno
m
eššanje
i
aksijalna
disperzija,
dovode
u
odnos
koji
ukazuje
na
njihovu
identi
þ
nost
odgovora
na
izlazu
iz
sistem
a
koji
se
ispituje.
Sli
þ
nom
analizom
, porede
ü
i
kaskadu
od
N-sekcija
sa
idealnim
m
ešša
njem
sa
disperzionim
m
odelom
, dobija
se
veza
izm
edju
param
etara
modela
2
1
Lu
D
2
L
¿ ¾ ½
#
˜
'˜
#
N
odnosno
zu
D
L
za veliku vrednost N
(37a)
1
1
Lu
D
2
L
¿ ¾ ½
#
˜
'˜
#
N
odnosno
zu
D
L
z
a m
alu
v
re
dn
os
t N
(3
7b
)
N
a o
sn
ov
u
iz
lo
žže
ne
a
na
lize
m
ožže
se
izvesti
slede
ü
i
zak
lju
þ
ak
: p
ri
ve
ü
im
vrednostima
povratnog
m
eššanja
(
D
>0,5)
m
odel
od
N-sekcija
sa
povra
tnim
tokom
daje
približžno
isti
odgovor
na
izazv
anu
pr
om
enu
kao
i
disper
zio
ni
m
odel.
Medjutim
ukoliko
je
D|
0,
uticaj
disperzionog
m
eššanja
možže
se
opisati
m
eha
nizm
om
idealnog
m
eššanja
unutar
svake
od
N-
sekcija u kaskadi.
3.6.
Anali
za
zatvorenog
i otvorenog
grani
þ
nog
uslova
kod
disperz
ionog
modela
M
od
el
od
N
-s
ek
cij
a
u
niz
u
s
a
po
vr
atn
im
to
ko
m
mo
žže
s
e
up
otr
ebiti
za
analizu
i
postavljanje
grani
þ
nih
uslova
na
m
estu
doda
vanja
i
m
erenja
koncentracije
obeležživa
þ
a,
neophodnih
kod
reššavanja
di
ferencijalne jedna
þ
ine
bilansa
m
ase
disperzionog
m
odela.
N
a
sl.
1
0
pr
ik
az
an
je
s
lu
þ
aj
kada
se
obeležživa
þ
,
vrlo
m
alim
zaprem
inskim
protokom
'
v, dodaje u cev u preseku definisanom
za z=0.
Sl.
10.
Dodavanje
obeležživa
þ
a - grani
þ
ni uslovi
Dodavanje
obeležživa
þ
a
odgovara
ubacivanju
u
sekciju
odgovaraju
ü
eg
niza
u
kom
e
se
javlja
idealno
m
eššanje
sa
povratnim
strujanjem
. Budu
ü
i
da
je
'
v<<v,
a
u
slu
þ
aju
kada
se
ne
javlja
i
disperzija
obeležživa
þ
a
u
aksijalno
m
pravcu
,koncentracija
obeležživa
þ
a
nizvodno
od
ulazne
ta
þ
ke m
ožže da se izrazi
v
Cv
vv
Cv
C
o
o
ob
˜'
#
'
˜'
)(
(3
8)
U
ko
lik
o d
ola
zi
do
a
ks
ija
ln
og
m
ešš
an
ja
, k
on
ce
ntr
ac
ija
o
be
le
žživ
a
þ
a
nizvodno
od
preseka
z=0
se
razlikuje
od
vrednosti
definisane
jed.
(38)
n
a šš
ta
u
ka
zu
je
a
na
liz
a b
ila
ns
a m
as
e z
a N
-tu
sekciju:
)2
(
)(
1
1
1
˜
˜¸
¹
·
¨
©
§
nn
n
ob
n
n
n
CC
C
VC
C
C
v
dt
dC
N
V
D
(3
9)
K
or
išš
ü
enjem
izvedene
analize
povezanosti
disp
erznog
m
odela
i
m
odela
od
N-sekcija
sa povratnim tokom
(jd. 31.b i 18.a), bilans
m
ase
(jed.
39)
možže
da
se
napišše
u
obliku
¸
¹
·
¨
©
§
'
'
w
w
˜'
z
CC
z
CC
DC
C
C
u
t
C
z
nn
n
n
L
ob
n
n
n
1
1
1
)
(
U
ko
lik
o s
e r
as
to
ja
nje
'
z
sm
an
ju
je
(
'
z
o
0)
odnosno
pove
ü
ava
broj
sekcija
sa
idealnim
me
šša
nje
m
od
go
va
ra
ju
ü
eg
m
od
ela
, s
le
di
o
o
o
o
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
˜
˜
˜
0
0
0
0
)(
)
(
z
L
z
L
ob
z
z
z
C
D
z
C
DC
u
C
u
C
u
(4
0)
U
p
re
se
ku
z
=
0,
pr
of
il
ko
nc
en
tra
cij
e
ob
ele
žživ
a
þ
a
m
ora
da
bude
nepromenjen,
ššto
je
i
razum
ljivo
prem
a
sl.
9,
bez
obzira
da
li
je
z,
m
ala
p
oz
iti
vn
a i
li n
eg
ati
vn
a v
re
dn
os
t t
j.
o
o
oz
z
CC
0
te
jed.
(40)
ko
ja
preds
tav
lja
defin
iciju
otvorene
ulazne
gran
i
þ
ne
o
bla
sti
, im
a o
bli
k
o
o
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
0
z
L
oz
L
ob
z
C
D
z
C
D
uC
(4
1)
O
va
j g
ra
ni
þ
an
uslov
za
m
esto
doda
vanja
obeležživa
þ
a
izv
eli
su
Yano
i
Aratan
i
i
m
ožže
se
prim
eniti
na
cev
kod
ko
je
ulazna
ob
last
nije
su
žžena.
S
li
þ
nom
analizom
bilansa
m
ase
m
ogu
se
grafi
þ
ki
prikazati
i
definisati
grani
þ
ni
us
lov
i:
zatvoreni
za
ulaznu
oblast
i otvoreni
odn.
zatvoreni
za
izlaznu
oblast
(Sl.11)
