Statističko modeliranje binarnih promenljivih odgovora podrazumeva merenje izbora koje za
svaki subjekat može biti uspešno ili neuspešno. Binarni podaci su verovatno najčešći oblik
kategorijskih podataka. Najrasprostranjeniji model binarnih podataka je

logistička regresija

Za binarni izbor Y i kvantitativnu objašnjavajuću promenljivu X, neka π(x) predstavlja
verovatnoću uspeha kada X ima vrednost x. Ova verovatnoća je parametar za binomnu
distribuciju. Model logističke regresije ima linearni oblik za logit ove verovatnoće.

(Jednačina 1)

Ova formula prikazuje da π(x) raste ili opada sa S-funkcijom od

Druga formula za logističku regresiju odnosi se direktno na verovatnoću uspeha. Ova formula
koristi eksponencijalnu funkciju exp(x) = e

u obliku

(Jednačina 2)

1.1 Tumačenje linearne aproksimacije

Parametar β određuje stopu rasta ili opadanja S-krive. Oznaka β β ukazuje na to da li je kriva
opadajuća ili rastuća, kao i na stopu rasta promene kako | β | raste. Kada model ima vrednost β
= 0, desna strana Jednačine 2 pojednostavljuje se u konstantu. Zatim, π(x) je identičan sa svim

, te kriva prelazi u horizontalnu pravu liniju. Binarni izbor Y postaje potom konstanta X.

Grafik 1 pokazuje S-stranu modela logističke regresije za π(x). Budući da ova funkcija ima
zakrivljeni, a ne pravolinijski izgled, zaključuje se da stopa promene u π(x) po jedinici
promene u

varira. Prava linija koja predstavlja tangentu na krivi za datu vrednost

prikazuje

stopu promene u toj tački. Za parametar β logističke regresije, ta prava ima nagib jednak

. Na primer, linija tangente na krivu za vrednost x kod koje je π(x) = 0,5 ima

nagib β(0,5)(0,5) = 0,25β; s druge strane, kada je π(x) = 0,9 ili 0,1, nagib iznosi 0,09β. Nagib
se približava vrednosti 0 kako se verovatnoća približava vrednosti 1,0 ili 0.
Najoštriji nagib krive događa se za vrednost

kada je π(x) = 0,5; ova vrednost

iznosi

x = -α / β. (Vrednost π(x) = 0,5 se ovde može proveriti zamenom -α / β za x u Jednačini 2, to
jest, zamenom vrednosti π(x) = 0,5 u Jednačini 1 i rešavanjem po

) Ova vrednost

se ponekad

naziva

srednjim nivoom efektivnosti

i označava se sa EL

. Njime se prikazuje nivo kod kojih

svaki rezultat ima 50% šanse.

SEMINARSKI RAD

Graf 1: Linearna aproksimacija logističke regresione krive

1.2 Primer sa krabama

Izračunavanja maksimalne verodostojnosti (ML) za modele uklapanja logističke regresije su
prilično složena, ali se lako izvode korišćenjem statističkog softvera. U svrhu ilustracije ovog
modela mogu se koristiti podaci u vezi sa krabama. Binarni izbor će se koristiti da bi se videlo
dali ženke krabe imaju prisutnog mužjaka (tj. satelita); u tom smislu, važi Y = 1 ako ženka
krabe ima bar jednog satelita, a Y = 0 ako nema satelita.
Grafik 2 prikazuje podatke koji se sastoje od skupa tačaka na nivou Y = 1 i drugi niz tačaka na
nivou Y = 0. Numerisani simboli ukazuju na broj opservacija u svakoj tački. Izgleda da Y = 1
teži da se dogodi relativno češće što su veće

vrednosti. Pošto Y uzima samo vrednosti 0 i 1,

teško je odrediti da li model logističke regresije ima smisla prilikom razvijanja Y za vrednost

. Bolje informacije rezultiraju iz grupisanja vrednosti širine u svaku katerogoriju i računanja

uzorka za udeo kraba koji imaju satelite za svaku kategoriju. Ovim se otkriva da li prave
proporcije slede približno trend koji zahteva ovaj model. Tabela 1 prikazuje podatke
grupisanja kojima se može ispitati adekvatnost Pojzonovih modela regresije. U svakoj od osam
kategorija širine računali smo uzorak za udeo kraba koji imaju satelite, kao i srednju širinu za
krabe u ovoj kategoriji. Grafik 2 takođe sadrži osam tačaka koje predstavljaju uzorak
proporcije ženki kraba koje imaju satelite koji se računa preko srednjih širina za ovih osam
kategorija.