ЈУ СШЦ „Светозар Ћоровић“
Љубиње
Матурски рад из математике
ИЗВОДИ
Ментор:
Ученик:
Слободан Рудан, професор
Божо Драпић, IV
1
Љубиње, мај 2019.
M
атурски
рад
-
ИЗВОДИ
САДРЖАЈ:
Страна
1. УВОД................................................................................................................................... 3
2. ПРОБЛЕМ ТАНГЕНТЕ..................................................................................................4
3. ИЗВОД ФУНКЦИЈЕ........................................................................................................5
3.1. ДЕФИНИЦИЈА ИЗВОДА....................................................................................5
3.2. ИЗВОДИ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦИЈА....................................................6
3.3. ИЗВОДИ ЗБИРА, ПРОИЗВОДА И КОЛИЧНИКА .....................................8
3.4. ИЗВОД СЛОЖЕНЕ ФУНКЦИЈЕ.......................................................................9
3.5. ИЗВОД ИНВЕРЗНЕ ФУНКЦИЈЕ.....................................................................9
3.6. ИЗВОД ИМПЛИЦИТНЕ ФУНКЦИЈЕ...........................................................10
3.7. ЛОГАРИТАМСКИ ИЗВОД...............................................................................10
3.8. ИЗВОДИ ВИШЕГ РЕДА................................................................11
4. ПРИМЈЕНА ИЗВОДА.................................................................................................. 12
4.1. ТАНГЕНТА И НОРМАЛА КРИВЕ................................................................12
4.2. МОНОТОНОСТ И ЛОКАЛНЕ ЕКСТРЕМНЕ ВР ИJЕДНОСТИ...........14
4.3. КОНВЕКСНОСТ, КОНКАВНОСТ И ПРЕВОЈНЕ ТАЧКЕ ....................16
5. ЗАДАЦИ........................................................................................................................... 17
6. ЗАКЉУЧАК..................................................................................................................... 18
7. ЛИТЕРАТУРА................................................................................................................ 19
2
M
атурски
рад
-
ИЗВОДИ
2. ПРОБЛЕМ ТАНГЕНТЕ
Проблем тангенте се састоји у одређивању тангенте на задату криву у некој њеној тачки.
Зна се, из аналитичке геометрије, како се одрђује тангента на круг, елипсу, хиперболу и
параболу. До тих тангенти се лако долази због тога што су јеначине свих ових кривих
једначине другог реда, те се проблем своди на рјешавање квадратне једначине коју можемо,
без већих тешкоћа, ријешити. Мана те методе је да се не може примјенити на сваку криву јер
ако се узме само мало сложенија крива, на примјер,
, јавља се проблем прецизног
дефинисања и одређивања тангенте. Зато је било потребно дати рјешење примјенљиво на
сваку криву чија је једначина позната.
У општем случају, за произвољну криву једначине
, тангенту у
тачки
A
дефинишемо као гранични
положај сјечице
AA
h
, кад
h
0, гдје
A
h
припада тој кривој и
A
h
A
.
Поставимо двије тачке
и
које припадају некој
кривој
,
праву
s
(сјечица) кроз те
двије тачке и тангенту
t
у тачки
A
( сл. 1).
Једначина тангенте гласи:
,
а једначина сјечице:
Када пустимо да
тада
па је
једначина тангенте
Одавде се види да је
( * )
или пошто је
(
прираштај функције
) и
(
прираштај
аргумента
), се може изразити и као
.
Гранична вриједност ( * ) је од великог значаја, не само за проблем тангенте, већ и за
многе друге проблеме у математици, механици, физици...
Она је основа за
диференцијални рачун
.
4
сл. 1.
M
атурски
рад
-
ИЗВОДИ
3. ИЗВОД ФУНКЦИЈЕ
Много послије
Лајбница и Њутна
, тек у XIX вијеку, су дате прве, строге, дефиниције
граничне вриједности,
извода,
интеграла. До тада су већ биле развијени многи дијелови
инфинитезималног рачуна
, али без чврсте логичке основе те је многима било тешко да
схвате шта је
извод или интеграл
.
Тек након што је
Карл Вајерштрас
(Karl Weierstrass)
дао модерну дефиницију граничне
вриједности,
Огистен Луј Коши
(Augustin Louis Cauchy)
, француски математичар, дефинисао
је
извод функције
.
3.1. ДЕФИНИЦИЈА ИЗВОДА
Нека је функција
дефинисана у околини тачке . Извод функције
представља граничну вриједност
Као што се може видјети извод функције
f
у произвољној тачки се означава са
или
. Ако функција
f
има извод у тачки онда је она
диференцијабилна
у тој тачки.
Ако функција
f
има извод у свакој тачки неког интервала
онда је, за свако
,
дефинисана функија :
Функција се назива
изводна функција
функције
f
, или само извод функције
f
на
.
Изрази
и
се називају
лијеви
и
десни извод
у тачки .
Да би постојао
потребно је да функција буде непрекидна, а потребно је и довољно
да је лијеви извод једнак десном тј.
. У случају да је функција непрекидна, а
кажемо да функција има
бесконачан извод
у тачки . Тада
нормала на
X
осу у тој тачки представља тангенту.
Пошто је речено да је за постојање
потребно да функција буде непрекидна, а
потребно и довољно да је
испитаћемо однос непрекидности и диференцијаби-
лности. Испоставиће се да је класа непрекидних функција шира од класе диференцијабилних
функција.
То значи да важи следеће тврђење:
Ако је функција диференцијабилна у тачки
онда је непрекидна у тој
тачки.
Обрнуто тврђење није тачно:
Ако је функција непрекидна у тачки
не мора бити диференцијабилна.
5
