Seminarski rad
-2-
OSNONE TRIGONOMETRIJSKE JEDNA
č
INE
sin x =
a
Jednačina sin x =
a
ima skup rešenja :
S =
{
Neka je
a
fiksiran realan broj za koji je
, tj.
[-1,1]. Treba
dokazati da jednačina sin x=a ima jedno i samo jedno rešenje x za koje važi
Na osnovu definicije sinusa, sin x je ordinata neke tačke na jediničnom
krugu. Za svako
postoji jedna i samo jedna tačka na
y
osi čija je
ordinata
a
, to je tačka P(0,
a
). Prava koja je paralelna
x
osi, a prolazi kroz
Seminarski rad
-3-
tačku P seče trigonometrijski krug najviše u 2 tačke, ali se samo jedna od
njih, označimo je sa M, nalazi desno od
y
ose (ili, u slučaju
a
= ±1, na
y
osi). Tačka M odredjuje usmereni luk AM dužine | α | gde
je
, za koji važi
sin α
=
a.
Dakle
postoji samo jedan luk dužine | α | čija je završna tačka M u prvom
kvadrantu (ako je α > 0) ili u četvrtom (ako je α < 0) i broj α je jedino
rešenje jednačine sin x =
a
koje ispunjava uslov .
Jedinstveno rešenje jednačine sin x =
a
koje pripada intervalu [-π/2, π/2]
označva se sa arcsin
a
. Oznaka potiče od latinske reči arcus (luk) i ukazuje
naskoro očiglednu činjenicu da je rešenje jednačine sin x =
a
broj x koji
predstavlja duzinu luka čiji je sinus jednak
a
, ako je luk pozitivno usmeren,
tj. ako je
a
> 0. Ako je
a
< 0, luk je negativno usmeren.
Dakle, pod uslovima
jednakosti sin x =
a
i x = arcsin
a
su ekvivalentne.
Prava koja prolazi kroz tačku P i koja je paralelna x – osi seče trigonome-
trijski krug u dvema tačkama, M i M', pa je ordinata tačke M' takodje
jednaka
a
. Prema tome, postoji još jedan luk, dužine | β | , čija je završna
tačka u drugom kvadrantu (ako je
a
> 0) ili u trećem kvadrantu(ako je
a
< 0),
i za broj β važi sinβ =
a
. Očigledno je β= π – α, pa se može zaključiti da je i
π – arcsin
a
rešenje jednačine sinx =
a
.
Do ostalih rešenja se dolazi uzimajući periodičnost sinusne funkcije.
cos x =
a
Jednačina cosx =
a
ima skup rešenja
S =
{
Seminarski rad
-5-
jednaka
a
. Prema tome, postoji još jedan luk, dužine | β | , čija je završna
tačka u četvrtom kvadrantu (ako je
a
> 0) ili u trećem kvadrantu
(ako je
a
< 0) i za broj β važi cosβ =
a
. Očigledno je β = – α, pa se može
zaključiti da je i – arccos
a
rešenje jednačine cosx =
a
.
Do ostalih rešenja se dolazi uzimajući periodičnost kosinusne funkcije.
tg x =
a
Jednačina tg x =
a
ima skup rešenja
S={ arctg
a
+ k π}, k Z
Jednačina ima rešenje za svako
a
R. Na intervalu
postoji jedno
i samo jedno rešenje, a to je arctg
a
.
Posmatrajmo jedinični krug i osu
s
koja ga dodiruje u tački A(1,0).
Ako je
a
dati realan broj, njemu odgovara odredjena tačka P(1,
a
) ose
s.
Poluprava OP seče ''desnu'' polovinu trigonometrijske kružnice u tačno
jednoj tački, T.
