5 Sistemi linearnih jednaˇcina
47
5 Sistemi
linearnih
jednaˇcina
U opˇstem sluˇcaju, pod sistemom linearnih jednaˇcina
podrazumevamo sistem od m jednaˇcina sa n nepoznatih
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ . . . + a
2n
x
n
= b
2
.
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ . . . + a
mn
x
n
= b
m
U sistemu su x
1
, x
2
, . . . , x
n
nepoznate veliˇcine, dok su a
ij
, 1
≤
i
≤
m,
1
≤
j
≤
n zadati koeficijenti, a b
i
, 1
≤
i
≤
m zadati slobodni
ˇclanovi. Pri
tome broj jednaˇcina m i broj nepoznatih n mogu biti u bilo
kom od odnosa
m < n, m = n ili m >
n.
Pod reˇsenjem sistema linearnih jednaˇcina podrazumevamo
bilo koji skup od n brojeva α
1
, α
2
, . . . , α
n
koji za x
1
= α
1
, x
2
=
α
2
, . . . , x
n
= α
n
identiˇcki zadovoljavaju sistem.
Sistem linearnih jednaˇcina ne mora uvek imati reˇsenje.
Npr. sistem
x + y =
1
x + y =
2
nema reˇsenja jer ne postoje brojevi koji mogu da ga
zadovolje.
Tako
➒
e, ukoliko sistem ima reˇsenje, to ne znaˇci da mora imati
samo jedno reˇsenje. Tako, npr. sistem jednaˇcina
x + y =
1
2x + 2y =
2
ima beskonaˇcno mnogo reˇsenja oblika x = α, y = 1
−
α gde je α
proizvoljan broj. Za nepoznatu x se u ovom sluˇcaju kaˇze da
je slobodna a za y da je vezana. Uopˇste, kada sistem linearnih
jednaˇcina ima viˇse od jednog reˇsenja, onda je barem jedna
nepoznata slobodna, ˇsto praktiˇcno znaˇci da sistem ima
beskonaˇcno mnogo reˇsenja.
Prema tome da li ima ili nema reˇsenja, i ukoliko ih ima, da
li ima jedno jedino ili viˇse reˇsenja, sistem linearnih jednaˇcina
moˇze biti:
1. odre
➒
en, ako ima samo jedno reˇsenje,
2. neodre
➒
en, ako ima viˇse od jednog (beskonaˇcno mnogo)
reˇsenja,
5.1 Gausov postupak eliminacije
49
−
x + 2y + 3z = 4
x + y + z =
3
Zamenom mesta prve i tre´ce jednaˇcine dobija se
ekvivalentan sistem
x + y + z =
3
−
x + 2y + 3z = 4
2x + y
−
z = 2
Ako se koeficijenti prve jednaˇcine najpre dodaju odgovaraju
´cim koeficijen- tima druge jednaˇcine, a potom se pomnoˇze sa -
2 i dodaju koeficijentima tre´ce jednaˇcine dobija se sistem:
x + y + z =
3
3y + 4z =
7
−
y
−
3z =
−
4
Zamenom mesta druge i tre´ce jednaˇcine dobija se:
x + y + z =
3
−
y
−
3z =
−
4
3y + 4z =
7
Mnoˇzenjem koeficijenata druge jednaˇcine sa 3 i njihovim
dodavanjem na koeficijente tre´ce jednaˇcine dobija se sistem
ekvivalentan polaznom:
x + y + z =
3
−
y
−
3z =
−
4
−
5z =
−
5
5.1 Gausov
postupak
eliminacije
a
1
a
2
a
3
a
n
a
1
a
2
a
3
a
n
m2
m1 2
m3
a
m1 3
mn
a
m1 n
m
a
a
a
a
5.1 Gausov postupak eliminacije
50
Ako se sada prva jednaˇcina podeli sa a
11
dobije se
ekvivalentan sistem
x +
a
12
11
x +
a
13
11
x + . . . +
a
1n
11
x =
b
1
11
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ a
23
x
3
+ . . . + a
2n
x
n
= b
2
.
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ a
m3
x
3
+ . . . + a
mn
x
n
= b
m
Ako se sada prva jednaˇcina ovog sistema pomnoˇzi sa
−
a
21
i
doda drugoj jednaˇcini, a zatim pomnoˇzi sa
−
a
31
i doda tre
´coj jednaˇcini i tako redom,
dobija se novi ekvivalentni sistem
a
12
x +
a
12
11
x +
a
13
11
a
13
x + . . . +
a
1n
11
x =
b
1
11
a
1n
b
1
(a
22
−
11
a
21
)x
2
+ (a
23
−
11
a
21
)x
3
+ . . . + (a
2n
−
11
.
a
21
)x
n
= b
2
−
11
a
21
(a
−
a
12
11
a )x + (a
−
a
13
11
a )x + . . . + (a
−
a
1n
11
a )x = b
−
b
1
11
