SADRˇ
ZAJ
1
Sadrˇ
zaj
1
Uvodni deo
1
1.1
Kratka istorija linearne algebre i sistema linearnih jednaˇ
cina . . . . . . . . . .
1
1.2
O Krameru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2
Akademski deo
3
2.1
Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1.1
Osnovne definicije i osobine matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1.2
Specijalni oblici matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.3
Operacije sa matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.4
Transponovana matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.1
Osnovna svojstva determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.2
Razvoji determinante
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2.3
Sarusovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.3
Linearne jednaˇ
cine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.4
Sistemi linearnih jednaˇ
cina
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.5
Kramerova teorema
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3
ˇ
Skolski deo
18
3.1
Priprema za ˇ
cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.2
Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1
UVODNI DEO
2
poˇ
cinje od determinanti, vrednostima koje se dodeljuju kvadratnim matricama izuˇ
cavanim
od strane nemaˇ
ckog matematiˇ
cara Lajbnica, u kasnim godinama 17.
veka.
ˇ
Svajcarski
matematiˇ
car Kramer predstavlja svoju ideju reˇ
savanja sistema linearnih jednaˇ
cina pomo´
cu
determinanti skoro 50 godina nakon Lajbnica. Medjutim, zanimljivo je da Kramer nije mogao
da da dokaz mogu´
cnosti reˇ
savanja
n
linearnih jednaˇ
cina sa
n
nepoznatih. Linearna algebra
postaje daleko vaˇ
znija nakon ovih otkri´
ca, iako jednaˇ
cina oblika
ak
+
b
= 0 datira vekovima
unazad.
Ojler je obelodanio ideju da sistem linearnih jednaˇ
cina ne mora nuˇ
zno da ima reˇ
senje.
Prepoznao je neophodnost uslova koji moraju da budu ispunjeni za odgovaraju´
ce promenljive
kako bi sistem linearnih jednaˇ
cina imao reˇ
senje. Inicijalni rad do tog perioda uglavnom je
bio zasnovan na problemu pronalaˇ
zenja jedinstvenog reˇ
senja sistema jednaˇ
cina i kvadratnih
matrica, gde se broj jednaˇ
cina poklapa sa brojem nepoznatih promenljivih.
S poˇ
cetkom 19. veka, nemaˇ
cki matematiˇ
car Gaus pronalazi naˇ
cin za reˇ
savanje sistema
linearnih jednaˇ
cina. Njegov rad se, uglavnom, bazirao na linearnim jednaˇ
cinama, i tek je
trebalo uvesti ideju o matricama, kao i njihovu notaciju. Gaus se bavio jednaˇ
cinama sa
razliˇ
citim koeficijentima i promenljivim, kao i minuli nauˇ
cnici pre 19. veka, Ojler, Kramer i
Lajbnic.
Gausov metod za reˇ
savanje sistema linearnih jednaˇ
cina je prihva´
cen i sumiran pod
nazivom Gausov metod eliminacije. Ovaj metod koristi koncepte kombinovanja, zamene,
i mnoˇ
zenja redova medjusobno u cilju eliminisanja promeljive iz konkretne jednaˇ
cine.
Kao ˇ
sto je ve´
c napomenuto, Gaus se bavio samo reˇ
savaju´
ci linearne jednaˇ
cine, bez
bilo kakve upotrebe matriˇ
cnih notacija. Da bi poˇ
cela da se razvija matriˇ
cna algebra, bilo
je neophodno prona´
ci odgovaraju´
cu notaciju ili metod. Takodje, od vitalnog znaˇ
caja za
ovaj proces bila je definicija mnoˇ
zenja matrica. Uvodjenje matriˇ
cnih notacija kao i samo
otkri´
ce reˇ
ci matrica bili su inspirisani pokuˇ
sajima da se razvije pravi algebarski jezik za
izuˇ
cavanje determinanti. Godine 1848.,engleski matematiˇ
car Silvester prvi put koristi reˇ
c reˇ
c
matrica, latinsku reˇ
c koja u prevodu znaˇ
ci utroba, kao naziv za niz brojeva. Iskoristio je
baˇ
s reˇ
c utroba, jer je posmatrao matricu kao generator determinanti. Drugi deo, mnoˇ
zenje
matrica ili matriˇ
cna algebra, dolazi od Artura Kejlija (eng. Arthur Cayley) 1885. godine.
Kejli je definisao mnoˇ
zenje matrica kao: Matrica koeficijenata za kompozitnu matricu
T
2
T
1
je proizvod matrice
T
2
pomnoˇ
zene matricom
T
1
. Njegov rad sa matricama kulminirao je
teoremom Kejli-Hamilton (eng. Cayley-Hamilton) koja govori da je svaka kvadratna matrica
nula svog karakteristiˇ
cnog polinoma. Takodje je predstavio ideju o jediniˇ
cnoj matrici kao
i o inverzu kvadratne matrice.Takodje, u znaˇ
cajnoj meri je unapredio simboliˇ
cku algebru.
Koristio je slovo “A” kako bi predstavio matricu, ˇ
sto nije bilo bilo uobiˇ
cajeno pre njegovog
rada. Njegov rad nije bio prepoznat van Engleske sve do 1880. godine.
Matrice su s kraja 19. veka bile usko povezane sa problemima u fizici, i za matematiˇ
care,
viˇ
se paˇ
znje je bilo posve´
ceno vektorima, koji su se smatrali osnovnim matematiˇ
ckim elemen-
tima. Vremenom, interesovanje za linearnu algebru opada, sve do kraja Drugog svetskog rata,
kada dolazi do razvoja raˇ
cunara. Sa napretkom tehnologije, koriste´
ci metode Gausa, Kejlija,
Lajbnica, Ojlera i drugih, determinante i sama linearna algebra je sve viˇ
se napredovala i
bivala sve efikasnija. Bez obzira na tehnologiju, Gausov metod i dalje vaˇ
zi za najefikasniji
metod za reˇ
savanje sistema linearnih jednaˇ
cina.
Uticaj linearne algebre u matematici je ˇ
siroko rasprostanjen, jer su mnogi principi zas-
novani na njoj. Neke od stvari koje linearna algebra moˇ
ze uspeˇ
sno da reˇ
si su sistemi linearnih
jednaˇ
cina, upotreba Furijeovih redova u diferencijalnim jednaˇ
cinama, itd. Takodje, koristi se
za reˇ
savanje pitanja energije u kvantnoj mehanici, kao i za kreiranje jednostavnih igara kao
2
AKADEMSKI DEO
3
ˇ
sto je Sudoku.
Iako je linearna algebra u poredjenju sa drugim matematiˇ
ckim disciplinama relativno
nova, ipak je ˇ
siroko rasprostranjena. Kako tehnologija sve viˇ
se napreduje, i dalje se oslanja
na osnovne principe linearne algebre.
1.2
O Krameru
Gabrijel Kramer (franc. Gabriel Cramer) je bio ˇ
svajcarski matematiˇ
car. Rodjen je u ˇ
Zenevi.
Pokazao je interesovanje za matematiku veoma rano. Sa 18 godina je doktorirao, a sa 20 je
bio zamenik ˇ
sefa katedre za matematiku.
Godine 1728, predloˇ
zio je reˇ
senje za sanktpeterzburˇ
ski paradoks, koje je bilo veoma
blisko konceptu teorije oˇ
cekivane korisnosti koju je dao Danijel Bernuli deset godina kasnije.
Delo po kome je najviˇ
se poznat nastalo je u njegovim ˇ
cetrdesetim godinama. To delo je
njegova rasprava o algebarskim krivama (franc. ”Introduction `
a l’analyse des lignes courbes
alg´
ebraique”) objavljena 1750; ono sadrˇ
zi najranije dokaze da je kriva n-tog stepena odredjena
sa n(n + 3)/2 taˇ
caka. Uredjiivao je dela dva starija Bernulija; pisao je o fiziˇ
ckom uzroku
sferoidnog oblika planeta i kretanju njihovih apsida (1730), kao i o Njutnovom tretiranju
kubnih krivih (1746). Bio je profesor u ˇ
Zenevi, a umro je u Banjol sir Sezu.
Bio je sin lekara ˇ
Zana Kramera i An Male Kramer.
2
Akademski deo
2.1
Matrice
Matrice se koriste pri izuˇ
cavanju svih pojava koje se mogu opisati linearnim funkcijama
i njihovim transformacijama.
Stoga teorija matrica predstavlja veoma vaˇ
zan instrument
istraˇ
zivanja kako u primenjenoj matematici tako i u apstraktnim konstrukcijama savremene
matematike.
2.1.1
Osnovne definicije i osobine matrica
Pod matricom tipa
m
×
n
podrazumeva se ˇ
sema brojeva od
m
vrsta
n
kolona:
a
11
a
12
a
13
. . .
a
1
n
a
21
a
22
a
23
. . .
a
2
n
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n
1
a
n
2
a
n
3
. . .
a
nn
Brojevi
a
ik
i
= 1
,
2
..., m
;
k
= 1
,
2
, ..., n
zovu se elementi matrice
A
. Prvi indeks
i
elemenata
a
ik
oznaˇ
cava vrstu a drugi indeks
k
kolonu tj. element
a
ik
nalazi se na preseku
i
-te vrste i
k
-te kolone. Na primer, element
a
32
pripada tre´
coj vrsti i drugoj koloni, odnosno nalazi se na
preseku tre´
ce vrste i druge kolone. Elementi
a
ik
u opˇ
stem sluˇ
caju pripadaju nekom polju. Mi
podrazumevamo da su oni iz polja realnih ili kompleksnih brojeva. Matrica
A
se moˇ
ze kra´
ce
oznaˇ
citi sa :
A
= [
a
ik
]
m
×
n
. Ako je
m
=
n
, onda se matrica zove kvadratna matrica reda
n
i oznaˇ
cava se
A
= [
a
ik
]
n
. Elementi
a
11
, a
22
, ...a
nn
odredjuju tzv glavnu dijagonalu kvadratne
matrice.
2
AKADEMSKI DEO
5
2.1.3
Operacije sa matricama
Pod
Zbirom dveju matrica
A
= (
a
ik
)
m
×
n
i
B
= (
b
ik
)
m
×
n
podrazumeva se tre´
ca matrica
C
= (
c
ik
)
m
×
n
gde je
c
ik
=
a
ik
+
b
ik
za
i
= 1
,
2
, ..., m
,
k
= 1
,
2
, ..., n
i piˇ
se se
A
+
B
=
C
. Na
primer:
2
3
−
4
5
3
0
+
1
−
2
4
3
8
−
2
=
3
1
0
8
11
−
2
Proizvod broja
k
i matrice
A
= (
a
ik
)
m
×
n
jeste matrica
kA
ˇ
ciji elementi nastaju mnoˇ
zenjem
svih elemenata matrice
A
sa brojem
k
. Na primer, ako je
k
= 3:
k
·
[
5
4
7
−
3
]
=
[
15
12
21
−
9
]
Pomo´
cu proizvoljnih istotipnih matrica
A, B, C
i realnih brojeva navodimo osobine:
1.
A
+ 0 = 0 +
A
=
A
2.
r
·
A
=
A
·
r
3. 0
·
A
=
A
·
0 = 0
4.
r
·
(
s
·
A
) = (
r
·
s
)
A
5. (
r
+
s
)
·
A
=
r
·
A
+
s
·
A
6.
r
·
(
A
+
B
) =
r
·
A
+
r
·
B
7. Ako je (
−
1)
·
A
=
−
A
⇒
A
+ (
−
A
) = 0
Dokazi ovih osobina neposredno slede iz navedenih definicija i zakona realnih brojeva
(uz pretpostavku da su elementi matrice realni brojevi). Za bilo koje istotipne matrice
A
i
B
postoji jedinstvena matrica
C
istog tipa kao i
A
i
B
takva da
C
=
A
+ (
−
B
) =
A
−
B
i zove se
razlika matrica
A
i
B
.
Proizvod
matrice
A
sa matricom
B
je mogu´
c samo ako matrica
A
ima toliko vrsta
koliko matrica
B
ima kolona, tj.
A
= (
a
ik
)
m
×
n
,
B
= (
b
ik
)
n
×
p
. Za takve matrice kaˇ
ze se da su
saglasne
.
Proizvod
saglasnih matrica
A
= (
a
ik
)
m
×
n
i
B
= (
b
ik
)
n
×
p
u oznaci
A
·
B
nazivamo
traˇ
zenu matricu
C
= (
a
ik
)
m
×
p
, ˇ
ciji se elementi
c
ik
odredjuju po pravilu. Elementi
c
ik
i
-te
vrste i
k
-te kolone matrice
C
jednak je zbiru proizvoda odgovaraju´
cih elemenata
i
-te vrste
matrice
A
i
k
-te kolone matrice
B
, odnosno
c
ik
=
a
i
1
·
b
1
k
+
a
i
2
·
b
2
k
+
· · ·
+
a
in
·
b
nk
=
n
∑
j
=1
a
ij
b
jk
za
i
= 1
,
2
, ..., m
,
k
= 1
,
2
, ..., p
.
Primer 1
Za matrice
A
=
[
a
b
c
d
]
i
B
=
[
m
n
p
q
]
A
·
B
=
[
a
b
c
d
]
·
[
m
n
p
q
]
=
[
am
+
bp
an
+
bq
cm
+
dp
an
+
dq
]
