1. Osnovni pojmovi kinematike translatornog I rotacionog kretanja
Kinematika je oblast fizike koja se bavi proucavanjem premestanja tela u prostoru i vremenu
ne uzimajuci u obzir uzrok takvog kretanja. Oblik kretanja koji se manifestuje promenom
polozaja tela naziva se mehanicki oblik kretanja. Polozaj tela se odredjuje u odnosu na neko
drugo telo. To telo se naziva uporedno telo ili sistem referencije. Kao sistem referencije
uzimamo dekartov pravougli koordinatni sistem. Ako se materijalna tacka krece po nekoj
krivoj putanji onda se njen polozaj odredjuje pomocu koordinata u svakom trenutku.
X = f
1
(t)
Y = f
2
(t)
Z = f
3
(t)
Polozaj tacke se moze
odrediti i pomocu vektora
polozaja OA=rA cije su
koordinate x, y, z.
r = r(t) ; x = x(t); y = y(t);
z = z(t)
r = x i+y j+z k
Putanja je linija koja spaja sve tacke kroz koje prolazi materijalna tacka. Na osnovu putanje
kretanje se deli na krivolinijsko i pravolinijsko.
Odnos puta i vremena daje brzinu:
v = lim (
∆
t->0)
∆
r/
∆
t
v = dr/dt
|v| = |dr|/dt = ds/dt
v = dx/dt i + dy/dt j +
dz/dt k
Promena brzine u vremenu je ubrzanje:
a = lim (
∆
t->0)
∆
v/
∆
t
a = dv/dt = d
2
r/dt
2
∆
v = v’ - v
a = d
2
x/dt
2
i + d
2
y/dt
2
j +
d
2
z/dt
2
k
Pravolinijsko kretanje:
-ravnomerno:
v = const a = 0 ∫ds = ∫v dt s = v t – v t
0
t
0
= 0 => s = v t
-jednako ubrzano:
a = const a = dv/dt dv = a dt ∫dv = ∫a dt v - v
0
= a t - a t
0
t
0
= 0 => v =
v0 ± a t
∫ds = ∫ v dt s - s
0
= ∫v
0
dt ± ∫a t dt = v
0
t
0
± a t
2
/2 s = s
0
+ v
0
t ± a t
2
/2
Krivolinijsko kretanje:
a = a
τ
+ a
n
a
τ
– tangencijalno ubrzanje
a
n
– normalno ubrznje
a
τ
= d|v|/dt
τ
a
n
= v
2
/R n
R – poluprecnik krive
Kruzno kretanje:
ω
= lim (
∆
t->0)
∆θ
/
∆
t =
d
θ
/dt
α
= lim (
∆
t->0)
∆ω
/
∆
t =
d
ω
/dt
∫d
θ
= ∫
ω
dt
ω
= const =>
θ
=
ω
t
r = r cos
θ
i + r sin
θ
j = r cos
ω
t i + r sin
ω
t j
v = dr/dt = -r
ω
sin
θ
i + r
ω
cos
θ
j
v v =v
2
=> v
2
= r
2
ω
2
(sin
2
θ
+ cos
2
θ
)
v = r
ω
v = r x
ω
ω
= const => a = dv/dt = -r
ω
2
cos
θ
i - r
ω
2
sin
θ
j = -
ω
2
r a
n
= v
2
/r n
ω
≠ const => a = a
n
+ a
τ
a
τ
= d|v|/dt
τ
= r d
ω
/dt
τ
a
τ
= r
α τ
∫d
ω
= ∫
α
dt
ω
=
ω
0
±
α
t
∫d
θ
= ∫
ω
dt
θ
-
θ
0
=
ω
0
t ±
α
t
2
/2
θ
=
θ
0
+
ω
0
t ±
α
t
2
/2
2. Njutnovi zakoni dinamike
I Njutnov zakon: zakon inercije
Svako telo ostaje u stanju mirovanja ili uniformnog pravolinijskog kretanja sve dok pod
dejstvom spoljnih sila ne bude prinudjeno da to stanje promeni.
F = 0 => v = const odnosno mv = const
sa
γ
i naziva se gravitaciona konstanta. Njena brojna vrednost odredjena je silom kojom se
privlace dva tela jedinicnih masa koja se nalaze na medjsobnom rastojanju jedinicne duzine.
F =
γ
(m
1
m
2
)/r
2
γ
= 6.67 10-11 Nm
2
/kg
2
F =
γ
(m M)/r
2
; r ≥ R
F =
γ
(m M)R
3
r ; r < R
Zakon gravitacije vazi strogo za dve materijalne tacke. Ako su tela znatnih dimenzija onda se
ovaj zakon moze primeniti samo na delove tela koji se mogu smatrati materijalnim tackama.
Tezina tela se definise kao sila izmedju Zemlje i datog tela.
Q =
γ
(m M
z
)/R
z
2
Q = m g g =
γ
M
z
/R
z
2
– gravitaciono ubrzajne g = 9.81 m/s
2
Jacina (intezitet) gravitacionog polja nekog tela definise se kao kolicnik sile F kojom to polje
deluje na bilo koje drugo telo u mase tela n koje deluje sila F.
G = F/m G = (
γ
(M m)/r
2
)/m => G =
γ
M/r
2
5. Mehanicki rad i zakon odrzanaj mehanicke energije
Ako telo pomeramo pod dejstvom neke sile kazemo da vrsimo rad.
dA = F ds = F cos
α
ds
A = ∫F cos
α
ds F = const => A = F cos
α
ds
0<
α
<
π
/2 – rad je pozitivan
α
>
π
/2 – rad je negativan
Telo u kretanju moze istovremeno imati i kineticku i potencijalnu energiju. Kada se telo krece
onda se moze menjati i brzina i visina u odnosu na nulti nivo potencijalne energije. Ukupna
energija se odrzava, tj. ostanje konstantna pod uslovom da nema trenja, odnosno prelaza te
energije u druge oblike.
A
AB
= ∫m dv/dt ds = ∫m dv/dt ds/dt dt = m ∫dv/dt v dt
d/dt v
2
= d/dt (v v) = 2 dv/dt v
A
AB
= m/2 ∫d(v
2
) A
AB
= m/2 (v
B
2
– v
A
2
)
A = E
p
(r
A
)-E
p
(r
B
) => mv
B
2
/2-mv
A
2
/2 = V
A
-V
B
=> mv
B
2
/2+V
B
= mv
A
2
/2 + V
A
E = E
k
+ V = const
Za sistem od vise tela takodje vazi ovaj zakon:
mv
1
2
/2 + mv
2
2
/2 + . . . + V
1
+ V
2
+ . . . = const
6. Zakon odrzanja kolicine kretanja i momenta kolicine kretanja
Zakon odrzanja kolicine kretanja:
Tela teze da zadrze stalnu kolicinu kretanja. Po zakonu inercije tela se krecu uniformno
konstantnom brzinom v, pa samim tim i kolicina kretanja mv, odnosno impuls, ostanje stalna.
Npr., neka se dva tela krecu po nekim putanjama. Ako zanemarimo dejstvo ovih tela na
okolna tela, mozemo ih posmatrati kao sistem.
Po III Njutnovom zakonu F
AB
= -F
BA
p
A0
= m
A0
v
A0
p
B0
= m
B0
v
B0
p
A
= m
A
v
A
p
B
= m
B
v
B
F =
∆
(m v)/
∆
t =
∆
p/
∆
t F
∆
t =
∆
p
F
AB
∆
t = p
A
- p
A0
=> p
A
- p
A0
+ p
B
- p
B0
= 0 => m
A
v
A
+ m
B
v
B
= m
A0
v
A0
+ m
B0
v
B0
=> p =
const =>
∑
m
i
v
i
= const
F
BA
∆
t = p
B
- p
B0
Zakon odrzanja momenta kolicine kretanja:
M = 0 => dL/dt = 0 => L=const => ∑(r
i
x p
i
) = const
Ako je rezultanta momenta svih spoljasnjih sila jednaka nuli, ukupan moment kolicine kretanja
sistema stalan je u toku vremena.
7. Raspad i sudari
Raspad je proces pri kome setelo mase m i brzine v seli na 2 ili vise tela ciji je zbir masa
jednam m. Prilikom raspada vazi zakon odrzanja energije i impulsa.
m v = m
1
v
1
+ m
2
v
2
+ m
3
v
3
∆
E = m
1
v
1
2
/2 + m
2
v
2
2
/2 + m
3
v
3
2
/2 + m v
2
/2
Postoje elasticni i neelasticni sudari. Kod elasticnih sudara vazi zakon odrzanja energije i
impulsa, dok kod neelasticnih vazi zakon odrzanja impulsa.
Elasticni:
Moment inercije nekog tela u odnosu na osu Z
1
jednak je zbiru momenata inercije u odnosu na
osu Z koja prolazi kroz teziste tela i paralelna je sa Z
1
, i proizvoda mase tela i kvadrata
rastojanja.
I = I
0
+ m
2
Moment inercije homogenog stapa
dI = x
2
dm dm = m/L dx I = ∫x
2
m/L dx = m/l ∫x
2
dx = m/L
x
3
/3 (0-L)
I = 1/3 m L
2
– osa na kraju stapa
I = I
0
+ m (L/2)
2
=> I
0
= I - m (L/2)
2
= m (L
2
/3 - L
2
/4)
I
0
= 1/12 m L
2
– osa kroz sredinu stapa
Moment inercije cilindra mase M, poluprecnika R: i = 1/12 M R
2
Moment inercije sfere: I = 2/5 M R
2
9. Dinamika rotacionog kretanja
Proizvod momenta inercije krutog tela i njenog ugaonog ubrzanja jednak je momentu svih
spoljasnjih sila koja deluje na telo.
M = I
α
α
= d
ω
/dt => M = I d
ω
/dt = d(I
ω
)/dt = dL/dt => L = I
ω
Moment kolicine kretanja jednak je proizvodu momenta inercije i ugaone brzine.
Kinematicka energija kod rotacionog kretanja:
Rotaciona kinematicka energija cvrstog tela mase m koja rotira oko ose ugaonom brzinom
ω
jednaka je zbiru kinematickih energija elementarnih delova mase m
i
koje se krecu razlicitim
tangencijalnim brzinama v
i
i istom ugaonom brzinom
ω
.
E
k
= 1/2 ∑m
i
v
i
2
v
i
= r
i
ω
=> E
k
= 1/2 ∑m
i
r
i
2
ω
i
2
= 1/2 I
ω
2
