Средње вредности
Кад споменемо реч „статистика“, прво се помисли на скуп нумеричких података
о стању неке појаве или на државну статистику.Као порекло речи
„статистика“наводи се латинска реч статус, што значи стање а статистика
описивање стања.
Треба узети у обзир да статистичке анализе датирај неколико векова пре наше
ере. Прва позната пребројавања спроведена су у Кини око 4000 година пре нове
ере и у Египту око 3000 година пре нове ере, док су први организовани пописи
вршени у старом веку у Римској републици. У почетку, основни задатак
статистичког истраживања сводио се на прикупљање података о бројном стању
становника и војске, пописи земљишта и стоке. Обрада ових података се
изводила да би држава имала увид у своју војну и финансијску моћ. У XVI веку
установљени су у неким европским земљама и регистри рођњних, умрлих и
венчаних, из којих се касније развила статистика природног кретанја
становништва.
Зачеци статистике као науке настали су у Немачкој и Енглеској у VXII веку.
Немачка школа статистике развила је методе за дескрипцију појаве. Енглеска
школа уводи у статистику математичке методе и анализу података чиме је
отворен пут брзом развоју статистике. Коришћенје теорије вероватноће у
статистици, које датира од XIX века, омогућило је развој теоријске статистике.
Такође, развој и коришћење теори вероватноће омогућили су и развитак нових
статистичких теорија као што је статистичка теорија одлучивања.
Данас је статистика посебна научна дисциплина која, за реализацију
постављених циљева истраживања на организован начин прикупља, врши
одабир и груписање података, презентује и врши анализу податак, те
интерпретира резултате спроведене анализе. Из изложеног изводимо
дефиницију да статистика као наука се бави прикупљањем, обрадом и
анализирањем података о масовним појавама.
У овом раду ће мо посветити пажњу појму среднје вредности која се у
литератури среће под називом мера централне тенденције.
2. Појам, значај и врсте средњих вредности
Средња вредност је репрезентативна вредност, која, по датим мерилима,
замењује све вредности обележја у датој серији. У статистичкој литетарури
добила је назив репрезентативна вредност зато што представља и замењује све
вредности серије, јер из њих проистиче и носи њихове заједничке
карактеристике. Као репрезентативни показатељ серије средња вредност
карактерише статистички скуп. Ако се посматра један статистички скуп по
једном нумеричком обележју и пође се од индивидуалних вредности тог
обележја, тешко ће се уочити битна и заједничка карактеристика чак и кад су
појединачни подаци, груписањем у серије, сведени на мањи број. Зато се настоји
да се та серија замени једним бројем који омогућава да се уочи карактеристика
посматраног скупа.
Значај средње вредности састоји се у томе што као информација може да замени
низ вредности серије; полазећи од посебних и појединачних одлика појаве,
доводи до опште и заједничке одлике као правилности појаве. Средња вредност
на уопштен и једноставан начин омогућава да се из променљивих вредности
(варијабилности) појаве открије у њима оно што је битно и типично. Она се
употребљава како за сажимање података у скупу, тако и за карактерисање
његове динамике. То је вредност која омогућава упоређење карактеристика
разних скупова. Средња вредност, као синтетички и репрезентативни показатељ,
налази примену у свим областима статистичке анализе.
Да би средња вредност имала значај репрезентативне и типиче вредности,
неопходно је да се одређује из хомогеног статистичког скупа. Под хомогеним
скупом подразумева се скуп истоврсних јединица посматрања. У случају да је
скуп хетероген (састављен од различитих јединица), потребно је најпре
извршити поделу скупа у хомогене делове, а затим ће се посебно одредити
средње вредности за сваки од тих делова. Рачунски и формално могуће је наћи
средњу вредност и у хетерогеном скупу, али таква вредност нема значај
статистичке средње вредности као репрезентативног показатеља. Узмимо, као
пример, одређивање просечне плате у једном предузећу на основу плате
директора, производног квалификованог радника, психолога и спремачице.
Рачунски, то је једноставан поступак јер су све плате у динарима, па их можемо
сабрати и поделити са четири. Међутим, шта такав просек значи и чију плату
представља? Из вредности таквих хетерогених јединица не може се добити
репрезентативна вредност у статистичком смислу. Сасвим други случај је ако
израчунамо просечну плату свих спремачица.
Исто тако, и приликом упоређивања средњих вредности два статистичка скупа
води се рачуна о хомогености тих скупова. Значи, при одређивању и примени
средњих вредности мора бити задовољен принцип хомогености статистичког
скупа.
Средња вредност датог обележја у статистичком скупу може се одредити по
разним мерилима: као вредност која се израчунава на основу свих вредности
посматраног обележја или изабрати између конкретних вредности обележја
према положају који заузима у серији. Према томе да ли се израчунавају или
одређују према положају појединих вредности обележја, средње вредности се
могу поделити у две групе: потпуне средње вредности и положајне средње
вредности.
n
На пример, у неком одељењу одабрали смо узорак од 5 ученика и посматрали их
по броју оправданих изостанака: 24, 25, 27, 30, 34. Аритметичка средина
израчунаће се применом датог обрасца на следећи начин:
x = ∑x = 24+25+27+30+34 = 140 = 28
n 5 5
Аритметичка средина у датом примеру значи да је просечан број изостанака по
ученику 28.
2.1.2. Аритметичка средина из груписаних података
У статистичким истраживањима често се појављује већи број података и
њихових различитих фреквенција, наиме груписани подаци у виду распореда
фреквенција. У таквим случајевима вредности обележја се најпре множе
одговарајућим фреквенцијама, затим се тако добијени производи саберу и тај
збир се, најзад, подели збиром фреквенција, односно укупним бројем свих
јединица посматрања.
За израчунавање аритметичке средине може се, према томе, написати следећи
образац:
x = x1f1+x2f2+...+xifi+...+xnfn
f1+f2+...+fi+...+fn
или, упрошћено:
x = Σxf
Σf
Ова аритметичка средина добила је назив пондерисана аритметичка средина
према самом поступку израчунавања, који се састоји у пондерисању вредности
датог обележја. Множење појединачних вредности одговарајућим
фреквенцијама (x1*f1; x2*f2; и тако даље) назива се пондерисање вредности,
што у ствари значи давање одговарајућег значаја свакој вредности или
одмеравање важности сваке вредности обележја. Мерило значаја, или важности,
назива се пондер, у овом случају то су фреквенције. Уколико нека вредност има
већу фреквенцију, утолико јој је и значај већи, јер јаче утиче на величину
аритметичке средине. Пондерисањем вредности обележја обухватају се све
вредности датог обележја, јер множење појединачних вредности њиховом
фреквенцијом представља узимање те вредности толико пута колико се јавља.
Код аритметичке средине за негруписане податке узимају се све вредности
обележја, али пондерисања нема, зато што се свака вредност једном јавља и
према томе све вредности су подједнако значајне или важне.
За израчунавање пондерисане аритметичке средине узећемо као пример податак
о броју радника омладинаца иноватора (запослених у највећим индустријским
предузећима Србије) и о броју њихових проналазака којим су допринели
савременој и економичној производњи. Подаци груписани у виду серије
расподела фреквенција приказани су у табели 1. На основу ових података и
датог обрасца за израчунавање пондерисане аритметичке средине, поступак
израчунавања може се лакше и прегледније обавити помоћу радне табеле, као
што је табела 2.
Табела 1. Распоред радника иноватора према броју проналазака
Број проналазака Број радника
3 2
5 8
8 5
10 3
12 2
Укупно 20
Табела 2. Поступак израчунавања пондерисане аритметичке средине
Број проналазака (x) Број радника – иноватора (f) x . f
3 2 6
5 8 40
8 5 40
10 3 30
12 2 24
∑ 20 140
Узмимо коначан образац: x = Σxf
Σf
Из обрасца се види поступак рада:
- помножити вредности обележја фреквенцијама (x * f), при чему се вредности
пондеришу;
- сабрати добијене производе (∑xf),
- сабрати фреквенције (∑f) и
- поделити збир производа вредности обележја и фреквенција збиром
фреквенција Σxf
Σf
Израчунате величине увршћују се у образац и добија се понерисана аритметичка
средина:
x = Σxf = 140 = 7
Σf 20
