FAKULTET ZA EKOLOGIJU
Banja Luka
SEMINARSKI RAD
IZ PREDMETA:STATISTIKA
NAZIV SEMINARSKOG RADA: SREDNJE VRIJEDNOSTI
Student:
Mentor:
Broj indeksa:
Ocjena:
_________________
Banja Luka
, maj 2014. godine
Srednje vrijednosti
SADRZAJ:
1.
Uvod.....................................................................................................................................3
2.
Pojam, vrste i značaj srednje vrijednosti..............................................................................4
3.
Aritmetička sredina..............................................................................................................5
3.1.
Aritmetička sredina iz negrupisanih
podataka...............................................................5
3.2.
Aritmetička sredina iz grupisanih
podataka...................................................................6
3.3.
Osobine aritmetičke
sredine...........................................................................................9
4.
Geomatrijska sredina.........................................................................................................10
5.
Harmonijska sredina..........................................................................................................11
5.1.
Harmonijska sredina iz negrupisanih
podataka...........................................................12
6.
Medijana............................................................................................................................14
6.1.
Medijana za negrupisane
podatake..............................................................................14
6.2.
Medijana neintervalnih serija distribucije
frekvencija.................................................14
6.3.
Medijana intervalne serije distribucije
frekvencija......................................................16
7.
Modus................................................................................................................................17
8.
Zaključak............................................................................................................................20
9.
Literatura............................................................................................................................21
2
Srednje vrijednosti
2. POJAM, VRSTE I ZNACAJ SREDNJIH VRIJEDNOSTI
Srednja vrijednost je reprezentativna vrijednost, koja, po datim mjerilima, zamjenjuje sve
vrijednosti obiljezja u datoj seriji. U statističkoj litetaruri dobila je naziv reprezentativna
vrijednost zato što predstavlja i zamjenjuje sve vrijednosti serije, jer iz njih proističe i nosi
njihove zajedničke karakteristike. Kao reprezentativni pokazatelj serije srednja vrijednost
karakteriše statistički skup. Ako se posmatra jedan statistički skup po jednom numeričkom
obiljezju i pođe se od individualnih vrijednosti tog obilježja, teško će se uočiti bitna i zajednička
karakteristika čak i kad su pojedinačni podaci, grupisanjem u serije, svedeni na manji broj. Zato
se nastoji da se ta serija zamijeni jednim brojem koji omogućava da se uoči karakteristika
posmatranog skupa.
Značaj srednje vrijednosti sastoji se u tome što kao informacija može da zamijeni niz vrijednosti
serije; polazeći od posebnih i pojedinačnih odlika pojave, dovodi do opšte i zajedničke odlike
kao pravilnosti pojave. Ona se upotrebljava kako za sažimanje podataka u skupu, tako i za
karakterisanje njegove dinamike. To je vrijednost koja omogućava upoređenje karakteristika
raznih skupova. Srednja vrijednost, kao sintetički i reprezentativni pokazatelj, nalazi primjenu u
svim oblastima statističke analize.
Da bi srednja vrijednost imala značaj reprezentativne i tipiče vrijednosti, neophodno je da se
određuje iz homogenog statističkog skupa. Pod homogenim skupom podrazumjeva se skup
istovrsnih jedinica posmatranja. U slučaju da je skup heterogen (sastavljen od različitih jedinica),
potrebno je najpre izvršiti podjelu skupa u homogene dijelove, a zatim će se posebno odrediti
srednje vrijednosti za svaki od tih dijelova. Računski i formalno moguće je naći srednju
vrijednost i u heterogenom skupu, ali takva vrijednost nema značaj statističke srednje vrijednosti
kao reprezentativnog pokazatelja. Uzmimo, kao primjer, određivanje prosječne plate u jednom
preduzeću na osnovu plate direktora, proizvodnog kvalifikovanog radnika, psihologa i
spremačice. Računski, to je jednostavan postupak jer su sve plate u dinarima, pa ih možemo
sabrati i podeliti sa četiri. Međutim, šta takav prosek znači i čiju platu predstavlja? Iz vrednosti
takvih heterogenih jedinica ne može se dobiti reprezentativna vrijednost u statističkom smislu.
Sasvim drugi slučaj je ako izračunamo prosječnu platu svih spremačica.
Isto tako, i prilikom upoređivanja srednjih vrednosti dva statistička skupa vodi se računa o
homogenosti tih skupova. Znači, pri određivanju i primjeni srednjih vrijednosti mora biti
zadovoljen princip homogenosti statističkog skupa.
Srednja vrijednost datog obiljezja u statističkom skupu može se odrediti po raznim mijerilima:
kao vrijednost koja se izračunava na osnovu svih vrijednosti posmatranog obiljezja ili izabrati
između konkretnih vrijednosti obiljezja prema položaju koji zauzima u seriji. Prema tome da li se
izračunavaju ili određuju prema položaju pojedinih vrijednosti obiljezja, srednje vrijednosti se
mogu podjeliti u dvije grupe: potpune srednje vrijednosti i položajne srednje vrijednosti.
Potpune srednje vrijednosti, računaju se upotrebom svih podataka u statističkom nizu. Potpune
srednje vrijednosti su: aritmetička sredina, harmonijska sredina i geometriska sredina
4
Srednje vrijednosti
Položajne srednje vrijednosti određuju se položajem podataka u nizu. Najvažnije položajne
srednje vrednosti su: modus i medijana .
Svaka od pomenutih srednjih vrijednosti određuje se posebnim statističko-matematičkim
metodama i ima određene karakteristike.
Srednje vrijednosti se ne mogu izračunati (odnosno odrediti) kod svih serija. One se
izračunavaju, odnosno određuju samo kod numeričkih (rasporeda frekvencija), a mogu se
izračunati iz vremenskih serija. Za utvrđivanje karakteristika rasporeda frekvencija one
predstavljaju polaznu osnovu.
Srednja vrijednost jedne serije ne može biti manja od najmanje vrijednosti obiljezja, niti veća od
najveće vrijednosti obiljezja. Srednja vrijednost može biti i neka vrijednost koja uopšte ne postoji
u seriji (na primjer, u jednom preduzeću može biti prosječna plata 557 dinara a da niko u tom
preduzeću takvu platu nema). Srednja vrijednost može imati i decimalan broj, i ako se vrijednosti
obiljezja izražavaju u cijelim brojevima (na primjer: prosječan broj članova domaćinstva može
biti 3,4 ).
3. ARITMETICKA SREDINA
Najširu upotrebu u statističkim istraživanjima, kao i u svakodnevnom životu, stekla je
aritmetička sredina ili, kako se popularno naziva, prosjek. U praktičnom životu često se govori o
prosječnoj proizvodnji, prosječnoj zaradi, prosječnoj potrošnji mleka, prosječnoj težini i tako
dalje. Aritmetičku sredinu dobijamo kad zbir svih vrijednosti obiljezja podijelimo njihovim
brojevima . Aritmetička sredina može se izračunati iz grupisanih i negrupisanih podataka.
Osnovna formula za izracunavanje aritmeticke sredine glasi:
ARITMETICKA SREDINA = SUMA SVIH REZULTATA
BROJ REZULTATA
3.1.
Aritmetička sredina iz negrupisanih podataka
Kad su podaci negrupisani, to jest svaki podatak se javlja samo jedanput (sa frekvenciom 1),
aritmetička sredina se izračunava tako što se zbir vrijednosti obiljezja podjeli njihovim brojem.
Ako se pojedine vrijednosti obiljezja označe sa x1, x2, x3,..., xn, njihov broj sa n (koji
predstavlja broj jedinica posmatranja), a aritmetička sredina sa x (iks sa crtom čita se: iks bar),
izračunavanje aritmetičke sredine iz negrupisanih podataka može se izraziti slijedećim obrascem:
x =x1+x2+x3+...+xn ili ako zbir označimo sa ∑ (sigma)
n
x = ∑x
n
5
