Висока пословна школа струковних студија Блаце
Семинарски рад
СТАТИСТИКА
Тема: Средње вредности
Ментор: Студенти:
Мр Гордана Прлинчевић Дијана Ристић 85/16П
Ивана Дикић 14/16 Ф/Ј
Јагодина, март 2017.
Садржај
страна
УВОД.....................................................................................................................3
1. Појам, значај и врсте средњих
вредности..........................................................................................................4
2. Аритметичка средина….……....……………………………………….........6
2.1. Аритметичка средина из негруписаних података.................................6
2.2. Аритметичка средина из груписаних података......................................7
2.3. Особине аритметичке средине...............................................................10
3. Геометријска средина.....................................................................................11
4. Хармонијска средина......................................................................................13
4.4. Хармонијска средина за негруписане податке......................................14
4.5. Хармонијска средина за груписане податке..........................................15
5. Медијана..........................................................................................................16
5.1. Медијана за негруписане задатке..........................................................16
5.2. Медијана неинтервалних серија дистрибуције фреквенција..............17
5.3. Медијана интервалне серије
дистрибуције фреквенција....................18
6.
Модус................................................................................................................20
ЗАКЉУЧАК………….………………………………………………........24
ЛИТЕРАТУРА.............................................................................................25
2
У овом раду ћемо посветити пажњу појму средње вредности која се у литератури
среће под називом мера централне тенденције.
1. ПОЈАМ, ЗНАЧАЈ И ВРСТЕ СРЕДЊИХ ВРЕДНОСТИ
Средња вредност је репрезентативна вредност која по датим мерилима, замењује
све вредности обележја у датој серији. У статистичкој литетарури добила је назив
репрезентативна вредност зато што представља и замењује све вредности серије,
јер из њих проистиче и носи њихове заједничке карактеристике. Као
репрезентативни показатељ серије средња вредност карактерише статистички скуп.
Ако се посматра један статистички скуп по једном нумеричком обележју и пође се
од индивидуалних вредности тог обележја, тешко ће се уочити битна и заједничка
карактеристика чак и кад су појединачни подаци, груписањем у серије, сведени на
мањи број. Зато се настоји да се та серија замени једним бројем који омогућава да
се уочи карактеристика посматраног скупа.
Значај средње вредности састоји се у томе што као информација може да замени
низ вредности серије; полазећи од посебних и појединачних одлика појаве, доводи
до опште и заједничке одлике као правилности појаве. Средња вредност на
уопштен и једноставан начин омогућава да се из променљивих вредности
(варијабилности) појаве открије у њима оно што је битно и типично. Она се
употребљава како за сажимање података у скупу, тако и за карактерисање његове
динамике. То је вредност која омогућава упоређење карактеристика разних
скупова. Средња вредност, као синтетички и репрезентативни показатељ, налази
примену у свим областима статистичке анализе.
Да би средња вредност имала значај репрезентативне и типиче вредности,
неопходно је да се одређује из хомогеног статистичког скупа. Под хомогеним
скупом подразумева се скуп истоврсних јединица посматрања. У случају да је скуп
хетероген (састављен од различитих јединица), потребно је најпре извршити
поделу скупа у хомогене делове, а затим ће се посебно одредити средње вредности
за сваки од тих делова.
4
Рачунски и формално могуће је наћи средњу вредност и у хетерогеном скупу али
таква вредност нема значај статистичке средње вредности као репрезентативног
показатеља. Узмимо као пример одређивање просечне плате у једном предузећу на
основу плате директора, производног квалификованог радника, психолога и
спремачице.
Рачунски, то је једноставан поступак јер су све плате у динарима, па их можемо
сабрати и поделити са четири. Међутим, шта такав просек значи и чију плату
представља? Из вредности таквих хетерогених јединица не може се добити
репрезентативна вредност у статистичком смислу. Сасвим други случај је ако
израчунамо просечну плату свих спремачица.
Исто тако, и приликом упоређивања средњих вредности два статистичка скупа
води се рачуна о хомогености тих скупова. Значи, при одређивању и примени
средњих вредности мора бити задовољен принцип хомогености статистичког
скупа.
Средња вредност датог обележја у статистичком скупу може се одредити по разним
мерилима: као вредност која се израчунава на основу свих вредности посматраног
обележја или изабрати између конкретних вредности обележја према положају који
заузима у серији. Према томе да ли се израчунавају или одређују према положају
појединих вредности обележја, средње вредности се могу поделити у две групе:
потпуне средње вредности и положајне средње вредности. Потпуне средње
вредности рачунају се употребом свих података у статистичком низу, а оне су:
аритметичка средина, хармонијска средина и геометриска средина
Положајне средње вредности одређују се положајем података у низу. Најважније
положајне средње вредности су: модус и медијана. Свака од поменутих средњих
вредности одређује се посебним статистичко-математичким методама и има
одређене карактеристике.
Средње вредности се не могу израчунати код свих серија. Оне се израчунавају,
односно одређују само код нумеричких, а могу се израчунати из временских серија.
5
На пример, у неком одељењу одабрали смо узорак од 5 ученика и посматрали их по
броју оправданих изостанака: 24, 25, 27, 30, 34. Аритметичка средина израчунаће се
применом датог обрасца на следећи начин:
x = ∑x = 24+25+27+30+34 = 140 = 28
n 5 5
Аритметичка средина у датом примеру значи да је просечан број изостанака по
ученику 28.
2.2 АРИТМЕТИЧКА СРЕДИНА ИЗ ГРУПИСАНИХ ПОДАТАКА
У статистичким истраживањима често се појављује већи број података и њихових
различитих фреквенција, наиме груписани подаци у виду распореда фреквенција. У
таквим случајевима вредности обележја се најпре множе одговарајућим
фреквенцијама, затим се тако добијени производи саберу и тај збир се, најзад,
подели збиром фреквенција, односно укупним бројем свих јединица посматрања.
За израчунавање аритметичке средине може се, према томе, написати следећи
образац:
x = x 1 f 1+
x 2 f 2+...+
xifi
+...+
xnfn
или упрошћено : x = Σxf
f1+f2+...+fi+...+fn Σf
Ова аритметичка средина добила је назив пондерисана аритметичка средина према
самом поступку израчунавања, који се састоји у пондерисању вредности датог
обележја. Множење појединачних вредности одговарајућим фреквенцијама (x1*f1;
x2*f2; и тако даље) назива се пондерисање вредности, што у ствари значи давање
одговарајућег значаја свакој вредности или одмеравање важности сваке вредности
обележја. Мерило значаја назива се пондер, у овом случају то су фреквенције.
Уколико нека вредност има већу фреквенцију, утолико јој је и значај већи јер јаче
утиче на величину аритметичке средине. Пондерисањем вредности обележја
обухватају се све вредности датог обележја јер множење појединачних вредности
7
